Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 27
Текст из файла (страница 27)
С) (-1) — — — (В(С) З„Н(С)) (-,!) . Последовательность градуированных й-модулеи Π— Н(С) Зь Н(С') и — ' Н(С ®„С') — Тога, (Н(С), Н(С')) ( — 1) — О точна. Имеем, следовательно, дня каждого п точную последовательность Π— ® Нт(С) Зд Н,(С ) -'" — ' Н„(С З„С') неч=н (11) — Я Тот (Н (С), Н,(С')) — О. ече — > Положим дпя простоты В = В (С), 2 = 2 (С), Н = Н(С) и Н' = Н(С') . Так как модуль В плоский, получаем нз (1) точную последовательность (с.
79, следствие 2) (12) Π— + 2 З„С -~ — С К„С вЂ” э (В ®„С ) ( — 1) — О. Л е м м а 3. Связывающий гомоморфизм Н(В эя С ) -+Н(2 эл С ), соответствующий точной последовательности (12), равен Н(1 э 1) . Действительно, пусть а Е 2(В эя С'); так как модуль В плоский, то а принадлежит образу В эя 2(С ), следовательно, записывается в виде Хдах э Ьх, где аь Е С, Ьх б С, 1 4. Проиэееаенне кручения «Ьх = О. Образ класса а при искомом гомоморфизме есть, по определению, класс элемента Р(Бал в Ьх) = В<<ах в Ьл = (1 в 1) (а), откУДа слеДУет лемма.
Гомологическая точная последовательность, ассоциированная с (12), имеет, следовательно, вид: Н(В 6) я С') — — + Н(Х 6) я С') — Н(С 6) я С') Н(В6) С')( — 1) Н(2® С')(-1). Кроме того, так как модуль е. плоский, получаем из (П) точную последовательность градуированных )<-модулей О Тот! (Н, Н') — '- В 6)я Н' — 2 ®ь Н' — Н ®я Н' — 0; наконец, мы располагаем каноническими гомоморфизмами из п. 1: 7в 7(В, С ): В вл Н' -+ Н(В на С'), 7т =7(К,С ): Хая Н'-+Н(Евя С ), 7с =7(С,С'): НвлН'. Н(СвлС'), откуда получается диаграмма градуированных 1<-модулей с точными строками ВЯН' — ~ 7.8Н' е — ~-Нй)Н' 0 У н< эл ц«з<! н<ьвл н< во Н<В Э С') Н<г <8< С') н<С Е с') — н<В <о С') < — Н вЂ” н<г Э С') <- Н 0 Тог~ <Н, Н') < — 1) ~ <В ® Н')(- 1) т- <2 ® Н') < — 1), которая коммутативна по определению гомоморфизмов 7. Но так как комплексы В и 2 расщепляемые и плоские, отображения ув и 7т биективны (с.
74, следствие 1). Из этого выводим, с одной стороны, что отображение 7с ииъективно и его образ равен КегН(Ь в 1), а с другой стороны, что отображение 7в е д(П, Н') инъективно и его образ равен 1га Н(б в 1) . Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. Следствие 1. Если модули В(С) и Е(С) лаоские, то для всякого левого А- модуля Ь< и всякого целого и имеет место точннн яоследовательность 0 — Н„(С) 9я 1Ч -"-"+ Н„(С 6)я Х) -'-" Тот! (Н„,(С), Х) — 0 .
(13) Следствие 2. Предполозким, что модули В(С) и В(С') проективны и модуль У,(С) плоский. Тогда последовательности )с-модулей (11) и' (13) точные и расщепляемые Это вытекает из теоремы и следующей леммы: Л е м м а 4. Если модули В (С) и В (С') проективны, то канонический гомоморфизм 7(С,С'): Н(С) в„Н(С')- Н(С вяС') обладает й-линейной ретракцией Действительно, согласно замечанию б), с. 40, существуют гомологизмы р: С- Н(С) н <р': С'-'Н(С'), для которых Н(ч<) = 1н<с) и Н(<с') =1н<с'), В коммутатнвной диаграмме е<е<е.я<с! "' ' я<се.е< н<ч)эн<ч)~ ~н<ч е< чз <<и<С), Н<С )) я!с< е„я<с'< е<е< З,в<е') Н(ч<) в Н(<е ') и 7(Н(С), Н(С')) — тождественные отображения, откуда следует утверждение.
С л е д с т в н е 3 (" формула универсальных коэффициентов") . Предполозаем. что А — кольцо главных идеалов. Если комплексы С и С' свободные, то последовательб' 1 4. Произведение иручеиил ности А-модулей (11) точные и расщепляемые; если комплекс С свободен, то последовательности А модулей (13) точные и расщепляемые для всякого А модуля М. Действительно, В(С), Х(С) и В(С') — подмодули свободных модулей С, С, С', следовательно, свободны (УП, $ 3, сот.
2; Алгебра, УП, с. 43, теорема 1), н применимо следствие 2. Сл ед с тв н е 4 ("формула Кюннета"). Предположим, что комплекс С ограничен справа, С и Н(С) — плоские; тогда канонический гомоморфизм 7(С ', С): Н(С) эзь Н(С ) -+ Н(С эя С ') биективеп. Согласно теореме, достаточно доказать, что модули В(С) и г. (С) плоские. Но имеют место точные последовательности О- В.(С) 2и(С)- Н.(С) О, О - Е„(С)-. С„ - В„ ,(С)- О, откуда, согласно следствию 1, с. 81, импликапии: (В„ , (С) плоский) - "(г,„(С) плоский) ~ (В„(С) плоский); завершаем доказательство, замечая, что В„(С) = О при достаточно малом п.
Следствие 5. Пусть и: С- С" — гомологизм комплексов правых А-модулей, плоских и ограниченных справа Для всякого «омплекса Е левых А-модулей морфизм ив 1и: С эл Е - С' эл Е Явллетсн гомологизмом. Действительно, комплекс Соп(и) плоский, ограниченный справа н с нулевой гомологией; следовательно, Н(Соп(и) эАЕ) =О согласно следствию 4, следовательно, Н(Соп(и э 1в)) = О (с. 75, лемма 2), и и э1в — гомологизм.
8. Огразьичеиные плоские комплексм над нетеровым кольцом П р е дл о жение П.Предполохаич, что кольцо А петерово слева, и пусть С вЂ” ограниченный плоский комплекс левых А-модулей, для которого Н(С) — А-модуль конечного типа Пусть а и Ь вЂ” два таких целых чиоза, чго а <Ь и Н„(С) = О при и< а, С„= О при и> Ь. Существуют комплекс Р левых А-модулей, в котором Є— проекгивный модуль конечного типа при каждом п и Р„О при пф '1а, Ь1, и гомологизм и: Р-+ С. Кроме того, для всякого комплекса Е правых А-модулей гомоморфизм Н(1и э и): Н(ЕэлР) Н(Е эь С) биекгивев. Согласно предложению 7, с.
59. существуют комплекс (1., д), в котором модуль 1.„свободен и конечного типа при каждом и и нулевой при и< а, и гомологизм У: Е~С. Пусть Р— факторкомплекс ЕД.', где Еи'= О при п < Ь, Е„= Ее при и> Ь, 1.ь = = Вь(Ь). Так как С„= О при п> Ь„тоУ(Е') = О, следовательно, отображениеХфакторизуется через морфизм комплекеов и: Р-ьС: А.
А Еь+ ь ' 1"ь 1.ь- ь 1! Рь ' Рь-1 о с, с, , Так как) - гомологлзм, то Н(Соп(7 )) О, откуда получаем точную последовательность зь+ь "-"Еьм — 'Еь +Еь-гесь~~-ь з еСь-з-+". Имеем, следовательно, точную последовательносп О-+Рь-+ Ьь-ь е Сь +1ь-з е Сь-ь + Оиа показывает, с одной стороны, что конус морфизма и имеет нулевую гомологию $ 4.
Пронзеебенне кручения и, следовательно, и — гомологизм, а с другой стороны, что модуль Рь плоский (с. 82, следствие 2); так как модуль Рь конечного типа как фактормодуль модуля )„е,, то он проективен (с, 17, следствие). Пара (Р, и) отвечает, таким образом, требуемым условиям. Последнее утверждение следует из следствия 5, с. 84. *При же р. Пусть А — нетерово коммутативное кольцо, Х - собственная плоскаа А-схсма.
лт- когеРеитный йзх.модтль, плоский над А. сУществУет такой огРаниченный комплекс Р. обРазованимй проективнымн А-модулями конечною типа, что для всякого А-модуля М модуль Н(Х, Я еАМ) естественкым образом отождествляется с Н(реАМ), действительно, пусть ц покрытке Х конечным числом аффнкных открытых множеств, д( ц, Я) — соответствующий комплекс Чеха. Показывается, что модуль Н((П(ц, я)) изоморфен А-модулю Н((Х, зт) н по этот последкий имеет конечный тип; кроме того, для всякого А модуля М комплекс д(ц„я еАМ изоМОРфен комплексУ П(и,хеАМ). Применял предложение !1 к комплексу а(Ц ..Ч) (который ограничен), получаем искомый комплекс Р. Плл вовкой точки У из ВРес(А) обозначим чеРез й (У) поле вычетов кольца А в У.
вРез Ху = =ХЕА/С(У) — СЛОЙ Х НаД У Уу =ЛЕАА(У), И ПОЛОЖИМ ЬР(У) =бана(у) Н (Х1 ~з) ЛЛЛ Рн О. Из существованкя комплекса Р легко выводятся следующие результаты: б) функция й р полунепрерывна сверху на Брег(А); (В) функция г' (-!) пар локэлько постоянна на прес(А)., ухо 9. Обобщение на комплексы мультнмодулей Пусть В и  — два кольца, С вЂ” комплекс (В, А)-бимодулей, С' — комплекс (А, В')- бимодулей (с. 45); тогда (СнАС', 0) (с. 71) — комплекс (В, В )-бимодулей и канонический гомоморфизм у: Н(С) еА Н(С ) -е Н(С нА С ) совместим со структурами (В, В')-бимодулей на обоих членах.
Если В' — третье кольцо и С' — комплекс (В', Ве)-бимодулей, то канонический гомоморфизм (П, р. б4, ргор. 8) (СнАС')нв С" Сня(С'нв Се) представляет собой нзоморфизм комплексов (В, В )-бимодулей. Для дальнейпюх обобщений мы предоставляем читателю развить теорию тензорных произведений линейно упорядоченных конечных семейств комплексов мульгимодулей по образцу п.1 (с. 72) и П, р, б5 — 72 (изоморфизм ассоциативности, коммутатив- ности,...
) . Пусть В и В' — два кольца, я и (с — моноидные алгебры мультиплнкативных (в) (в') моноидов колец В и В' соответственно, М вЂ” (В, А)-бимодульч Х вЂ” (А, В')-бимодулги тогда согласно (8), с. 57, Ь(М) представляет собой комплекс (1с(в), А)-бнмодулей, а Ь(Х) — комплекс (А, (с(в ) )-бимодулей, и, следовательно, 1.(М) нА Е(Х) — комплекс (lс(в), lс (в ) ) -би модулей, так что Тот А (М, Х) естественным образом наделяется струк- турой градуированного ((с~~~, )с( ))-бнмодуля, которая посредством канонических гомоморфизмов к(~) — В, (с(~ - В индуцирует на Тот (М, Х) структуру (В, В )- бимодуля (ср.
с. 57, замечание); на члене степени О зга структура совпадает со струк- турой (В, В )-бнмодуля на МнАХ. Если ЛЕ В, Л П В' и если обозначить через Лм,'Л)ч, Лт, Лз гомотетин х ее Лх, у ь +УЛ', гг Лг, гь+гЛ' на М, Х,ТогА(М, Х),ТогА(М, Х) соответственно, то Л, = Тога(Лм,)и), Лт = Тот" (1М, Л;„), и зто дает другое описание структуры бимодуля на Тот (М, Х). Мы предоставляем читателю обобщить п.5 и 7 на случай комплексов мультимодулей.
Упражнения !. Обозначим через В кольцо А(е) (с. 32); пусть С вЂ” комплекс (В, В)-бимодулей, для которого Се= В пРи всЯком ли 2, й(х) = ах пРи любом хп О Показать, что комплекс С имеет нУлевУю гомологию, но что модУль Н„(СевС) изомоРфен А пРи вслком лп 2. Вывести отсюда, что нельзЯ устранить предположение "комплекс Е ограничен справа" в лемме ! и предложении 4, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
