Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 32
Текст из файла (страница 32)
с. 57, замечаиие,и с. 58, замечание); на члене степени О зта структура совпадает со структурой (В, В') -бимодуля на НощА (М, Х) (П, р. 35). Если ЛЕ В,Л'Е В'иеслиобозначитьчерезЛм,Лн,Ль,Лв гомотетиих хЛ,у +уЛ', г ь Лг, г н г Л' на М, Х, Ехтя(М, Х), Ехта(М, Х) соответственно, то Лв = Ехта(Лм 1) Лв = Ехтя(1, Лн), и зто дает другое описание структуры бнмодуля на ЕхтА(М, Х). Мы предоставляем читателю обобщить результаты и 4 и 6 наслучай комплексов муль' ти модулей.
Пусть С, С', С" — комплексы А-модулей. Композиция отображений определяет градуированный гомоморфизм степени нуль: Нопщга(С, С") вь НопщгА(С, С') -~ Нотбгд(С, С") . (14) Пусть В, В', Š— кольца, С, С', С" — комплекстя (В', А).бимодулей, (А, Е)-бимодулей, (В, Е)-бимолулей соответственно, Посредством ограничения канонического изоморфизма из 11, р. 73, получаем биективный гомоморфизм (В, В')-бимодулей Нотйгв(Сна С', С") Нопщга(С, Нотпйгв(С', С")).
(15) Пусть, наконец,  — кольцо, С вЂ” комплекс правых В-модулей, С вЂ” комтвтекс правых А-модулей, С" — комплекс (В, А).бимодулей. Из канонических гомоморфизмов (П, р. 75) Ср ~в Нощя(Сч С~~) Ноща(Сч, Са ив С~~) получаем градуированный гомоморфизм степени пульс Сев Нотпйга(С',С"). Нощйга(С', С вв С"). (16) Этот гомоморфизм биективен, когда С вЂ” проектнвный модуль конечного типа (П, р. 75, ргор.
2). П р е д л о ж е н и е 12..Гомоморфизмы (14), (15), (16) представляют собой морфизмы комплексов. 101 1 5. Модули расширений Докажем это, например, для гомоморфизма (14). Обозначим этот гомоморфиэм через к: Нопщгд(С,С )ЭаНопщгь(С,С )- Нопщгл(С,С ), Пусть у Е Нопщгд(С, С )р и Ь'Е Нопщгд(С, С )„; тогда по определению имеем: К(уЭ й) о У" о я. КРОМЕ ТОГО: 1)()'Э й) = ОУЭй+ ( — 1)Р)'Э 08 = т ф" о 7) Э и — ( — 1)~(у'о г(') Э г+ ( — !)руоп (г(' о я) — (-1)р+ 7'Э (я о г(), откуда к(1Муюй))му" ~ й-(-1)рГ (' й+(-1)'5 (* й-(-1)"Ч й 1- = Н" о уо е — ( — 1) ~+~у о я о Н = О(у о я) = О(к(у э я) ) .
Аналопгчно доказывается, что гомоморфизмы (15) и (16) являются морфизмамп комплексов. Из морфизма (14) получаем гомоморфиэмы (с-модулей (с. 7 1): НР(Нопэйг, (С', Со)) За Не(Нотйг„(С, С')) — Нг~е(Ногпйг„(С, Со)) . (17) Взяв С = А, мы видим, что гомоморфизм Нотйгл(С', Со) э„С'-+ С", (18) который отображает 7 эх на у (х), является мор(шгзмом комплексов левых А-модулей; с ним ассоциируется канонический гомоморфнзм (с. 85) градуированных А-ьюдулей У: Н(НопщгА(С, С )) эи Н(С ) -+ Н(С ), который соответствует каноническому ' гомоморфиэму (с-модулей Л: Н(Нопщгр(С С ))" Нощйгя(Н(С ) Н(С )).
Упражнения ч 1, А-комплекс с называется чистым, есин н(рея С) = О длялсакого правого А-модуля Р. а) Комплекс, пэмотолный нулю, истый; комплекс из плосиих модулей, имеющей кулевую вэмологию и ограниченный справа, является истым. Дать пример комплекса из свободных модулей ранга 1, имеющего нулевую гомолощю, но не эшлпсщегося истым. б) Показать, что следующие условия зквивалеятны: о) комгшексС чистый; д) Н(Ношщд(М, С)) = О дли всакого конечно представимого А-модуля М; 7) СУЩЕСтВУет исправленная индуктивная система (С )а е 7 комгшексов, гоэюголимт нУлю, (о) для«ор й С йюс( 1. (Чтобы увидеть, что условие Р) влечет 7), СВЕСГИ докааатспзетео к слУчаю, когда Сг = О п(ш г < г„я представать с(, как иядукзнвный предел ковечио представимых модулейд 2. Пусть М вЂ” А-модуль.
Подмодуль М' в М называется чистым, если комплекс, определяемый точной последовательностью О М' — М М/М' О, истый '(упракнение1). а) Показать, что когда А — кольцо глааиых идшлое, зго понятие истого подмодуля совпадает с введенным в ЧП, 1 2 ехегс(се 7 (Алгебра, ЧП, с. 37, упражнение 7). б) Предполоиим, что А-вюдуль М плоский. Показать, что скедуапше условия эквивалентны: о) подмодульм' истый; Р) фактормолуль М/М' цлоскнй; 7) М' о ам аМ лливсякогондеала а в А. 3. Пусть М вЂ” А-модуль, л — целое число В 1. Показать, что следуалцие успевая зквивалентны: о) М попускает конечное л-предсгевлешге (с. 66, упракнеэше 6) .
а) для всякой направленной индуктивной сисюмы (х„) о е 1 канонический го моморфизм йп Ех(А(М, Хо) о Ехгя(М, 1лп Ха) биективенпри э <л. 7) Плввсккого семейства (Рр) правых А-модулей каноиичесвий гэмоьюрфизм тогА( П Рр, М) П Тогг (Р, М) ФЕЮ рЕХ бнективен прн г <л. 102 5 5. Модули расширений 6) Ппя всякого множесша 1 канонический гомоморфизм А,1 еА М -~ М биектнвен и 1 То!( (А1, М) =0 при 0 <1<и.
А 1 (Применить индукцию по я, испопьзуя упражнение 18, с. 27.) 4. Пусть Р— комплекс проективных А-модупеЯ, нупевоЯ справа, и и - такое целое часно, что Н( (Р) = 0 при 1 < я. Пусть М вЂ” левый А-модувц Х вЂ” правый А-модупь. Показать, что Н (Ношпт, (РМ)) =0 и Н (Хе) Р) =0 при! <я и что каноническиетомоморфизмы ! Х": Н"(Н )ПА(Р,М». Н А(Н„(Р),М), т„: ХеАН„(Р). Н„(ХеАР) биективны. $ 5. Пусп, Р— проекпшный А-комппекс, нулевой справа, и — целое чиано д О. Показать, что сиедуюшпе условия эквивэнентиы: о) Существуют комплекс Р' нз проективных А-модупей конечного типа, дчи которого Р1 = 0 при 1 > и ипи 1 < О, н такой морфизм 7': Р' -~ Р, что отображение Н1 (~) бхективно при 1 < и н сюръе ктивпо при !' = я.
й) Дпя всякой напрэвяенной изщуктивноЯ систеьэы'А-модупей (М„)о 1 канонический гомоморфизм Иш Н (Нопцэя(Р, Мой Н (Нопцэя(Р, Яш Мо)) бнективен при ! < и н инъективен при 1 и. т) Лпя всякого семейства правых А-модупей (Хо) оп ! канони юскиЯ гомоморфизм Н1((П Хо) ея Р) П Н1(Хо е Р) и а бпективен при ! < и н сюрьективенпри (=и. (Чтобы доказать, что нз а) следуют 6) н т), применить упражнение 4 к конусу морфнэма 1'.
Чтобы доказать, что нз 6) нпн т) шедует о), рассухпшть индукциеЯ по я, п(жменях упражнение 4, упражнение 18 (с. 27) и упрюкненне 10 (с. 48).) 6. Пусть А н  — две 1с-апгебры (ассоциативные н унитарные), М вЂ” левый А-модухь, Р— левый В-модухь, Х вЂ” (В, А)-бимодупь. а) Показать, что существуют две спектральные последовательности (с. 49-51, упражнения 14-! 7) 1с-модупей 'Е н 'Е, сходящиеся к одному н тому же градуированному 1с-модуяю, дпя которых 'ЕШЧ =Ех1АР(М, ЕЮВ(Х Р)).
Е, ' = Ех1й(То! (Х, М). Р). А б) При помощи композиции гомоморфизмов т н 6 из упражнения 15, с. 50, определить |с-пзмоморфизм И: Ехэя(М. Ношп(Х. РИ Ношв(Тот (Х. М), Р). Если модуль Р ииъективен, то показать, что и — нзоморфизм. в) Еазн Х вЂ” плоский А-модуяь, то показать, что посяедоватехьность 'Е сходится к Ехзп(Х ед М, Р); есин Х вЂ” проективный В-модухь, то последовательность 'Е сходится к Ех1А(М, Ноши(Х, Р)). г) Пусть р: А  — гомоморфнзм 1с-ахтебр.
Показать, что существуют спектраяьная поспедоватеп ьноеть Е, сходящаяся к Ехз А(М, Р), дня которой Ез = Ех10(Тес (В, М), Р), Ро Р А и спектральная поспедоватеньность 'Е, сходюцаяся к Ехэх(Р, М), дпя которой 'Еэ = Ех1В(Р, Ех1А (В, М)). 7. Пусть С вЂ” А-комплекс, М вЂ” А-модупь. Модулем расширений модуля М посредством комплекса С (соответственно комплекса С посредством модуля М) называется градуированный й-мод)'пь Йхсд (С, М) = Н (Нопзйтд (С, ! (М)) (соответственно Й хт(М, С) = Н (Наша!А (Е (М), С))). Если 7: С ~ С' — морфизм комппексов н йч М ~М' —. гомоморфнзм А-модулей, то похожим Йхтя(7;й) = Н (Ношат (1,1(1))), Йхсд(8,1) = Н (Ношпз (1.
(8),1'))). а) Если!' С С' — гомопогизм. то й-гомоморфнзмы Йхся(у, 1) н Йхэх(!,Д биективны. Если комплекс С проективен и ограничен справа (содтветственно инъектнвен н ограничен слева), то градуированный 1с модуль Й хсд (С М) (соответствеиио Йжя (М, С) ) нзоморфен Н (Нома!я (С, М) ) (соответственно Н (Ноша с я (М, С) ) ) . а 6. Использование лекелоличесилх резолееелт б) Пусп О ~С' С С" мб — точная последовательность А-комплексов и О М' М М" ~ Π— точная последовательность А-модулей. Показать, что существуют точные последовательности Йжл (С,М)-» Йхгд (С', М)-~ Йхгл (С",М) Йхгл(С,М) Йх(А(С,М")-~ Йхгл (С,М') Йхгг (м с) Йх(А(м Г ) ~ Йхгл (м с ) Йх(~, (М,С) Йхт~ (М', С) Йх(А (М", С) Йхтл (С", М) Йхе",, (С, М')- ...
-> Й т(А (М, С ) Йхгл(м",с) еда "нр(еща (Р,О)), "еда=, е„ехгр (н '(Р),на (О)) 3 а'+а"=а (где Ех(А(Р, О) обозначает комплекс, ассоциированный сбикомплексом е Еж~А (Р„, О )). ГД б) Если комплекс Р проективен или О ииъективеп, то спектральная последовательность "Е сходится к Н (Нотатя (Р, О) ). Если Н(Р) лрсективен или Н(О) инъективен, то псслецоватечънощь Е сходится к Нотазл (Н(Р), Н(О)). б б.
НспОльзОВАние некАнОнических РезОлъвент По-нрезялему сохраняются соглашения из $ 4, 1. Вычисление модулей Тот А (Р, М) н Ех(А (М, Х) Пусть М, Х вЂ” левые А-модули, Р— правый А-модуль. Пусть, с другой стороны, а: К - М вЂ” левая резольвента для М, Ь: Б -ър — левая резольвента для Р и с: Х - Š— правая резольвента для Х.
Согласно предложениям 3 и ЗЫа, с. 55 — 56, существуют морфиэмы комплексов гс Ь(М) К, (): Ь(Р) ьБ,7: Е-ь!(Х),длякоторыха о=рм,Ь с б=рр,т е смен, и гомотопические классы морфизмов э, )), т зависят только от заданных резольвент. Согласно предложению 3, с. 73, и предложению 3, с. 90, гомотопические классы морфизмов )) и а: Ь(Р) нА Ь(М). Б нА К, Нопзйгл (о, у): Нопщгл (К, Е) е Нозлбгл (Ь(М), 1(Х)) зависят только от заданных реэольвент, откуда при переходе к гомологии получаем градуированные я-гомоморфизмы степени 0 й (Б, К): Тот А (Р, М) -+ Н (Б ел К), И(К, Е): Н (Нопц)гл (К, Е)) -+ Ех(А (М, Х), не зависвцме от выбора о, (), 7. Например, берн в качестве а, Ь, с тождественнные отображениа модулей М, Р, Х соответственно, мы приходим к гомоморфизмам ч) (Р, М): Тогл (Р, М) .+ Р еА М и чз (М, Х): Нощя (М, Х) ь Ех(А (М, Х), введенным в замечании 2 на с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
