Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для того чтобы дрА (М) <л; необходимо и достаточно, чтобы Тогл+, (Ао, М) =О. Если дрл (М) < и, то Тогл+г (Ао, М) = 0 (с. 142, лемма 1) . Обратно, пусть О -+ К -+ -+ Е„а -+... -ъ Ег - 1ю - М -+ 0 — точная последовательность ограниченных снизу градуированных А-модулей, в которой Ео,..., 1, — свободные градуированные модули (с. 61, предложение 11); согласно следствию 3, с. 136. равенство Тоглиь, (Ао, М) = 0 влечет за собой, что Тога~ (Ао, К) = 0; так как К/ЛоК вЂ” проективный Ао-модуль (поскольку кольцо Ао полупростое, см. предложение 6, с.
147), А-модуль К проективен согласно предложению 8 (с. 150) и йря(М) < аа С л е д с т в и е 5. Предположим что кольцо Ао полупростое Ьсли Тогли+ а (Ао, Ао ) = О, ю дрл (М) <п для всякого ограниченного снизу градуированного А-модуля М. Обозначим через А градуированное кольцо, противоположное А; имеем (А')о = = (Ао), следовательно, кольцо (А') о полупростое (ЧИ1, й 5, и'1,'гегпагоце 3; Алгебра, Ч)11, с.
167, предложение 2). Так как Тогя~ъ,(Ао, Ао) = О, то дрА (Ао,) <п согласно следствию 4; это влечет, что Тогл+,(М', Ао) = 0 для всякого А-модуля М, следовательно. Тоги г (Ао, М) =О, и можно применить следствие 4. Упражнения 1. Пусть и: А  — гомоморфизм колец, М вЂ” В-модуль. Доказать неравенство аРА (М) к йрв Ои) + аРА (Ва) ° (Провести индукцию ло йрв(М) или использовать спектральную последовательность из упражнения б, с. 102.) 2. Предположим, что кольцо А латерово; пусть М вЂ” А-модуль конечного типа проективноа размерности л. Показать, что й модуль ела~А(м, А) иеиулавои. 3. Пусть л — целое число В 1.
Показать что аи(Мл(А) ) " ав (А) (ср ЪП1, % 4). 4. Пусть М вЂ” А-модуль. Илъекгяелой размернопъю модуля М называется ниицяя грань в К длин его ияъацтивиых резольввиг; опа обозцачаеся через бчл(М). Если л — целое число ) О, показать; что следующие условия эквивалентны: о) а(А(М) Ки; 6 В, Гомологическлл размериасгь 153 Р) Ехэ", (Х, М) =0 для всякога А-модуля Х н всякого целогог > л; т) Ех1ААл (Х, М) = 0 для всякого А-модуля Х; 6) Ехт" (Х, М) " 0 для всякого моногеинаго А-модуля Х; о л-1 е) дла всякой точной последовательности 0 М 1 -«... 1 Х -«О, в которой модули! иньективиы, мопуль Х ннъективен. 5.
Пусть (М()(Ы Е вЂ” иекатоРае семейство А-модулей а) Показать,что А)А( П М() = эпр А)А(М(). (ЕЕ (кЕ б) Если кольцо А нетераво, показать, чта сДА( Э М() шр сДА (Мг). (ПЕ (ЦЕ в) Если ббд( Ю М( ) эцр 68А(М() для всякого семейства А-модулей (Мт)(ы е,такольца А !аЕ 1ЕЕ нетерава (использовать упражнение 21, с. 27). 6. Пусть! — множества всех левых идеалов косица А, Показать, что АЬ (А) = щр АРА (А/А ) .
АЫ! 7. Пусть М вЂ” А.модуль. Плоской размерностью модуля М называется нижняя грань в Е длин его плоских резольвент; она обозначается через АР1А (М) . а) Если л — целое число ж О, то показать, что следующие уславья зквивалентпЫ: а) Ар!А (М) ж л; р) Тоге (Х, М) = 0 для всякого правого А-модуля Х и всякого целого г > и; Г) Тоглгэ (Х, М) = 0 для всякого правота А-модуля Х; 6) Тоглгэ (Х, М) = 0 дла всЯкого моногенного пРавого А-модУлл Х; е) для всякой точной последовательности 0 К - ° Рл 1 ...
Р, -«М О, в которой модули Ря плоские, модуль К плоский. б) Показать, что АР1А(М) ц АРА(М); если кольцо А нетерово н М вЂ” модуль конечного типа, то имеет место равенство. в) Пусть (Ха)а ~ 1 — ИНДУКтиниаа СиетЕМа А-модулей и Х вЂ” ее индуктивный предел. Доказать леравенство: АР!А (Х) ~ эцр АР(А (Ха). а ы 1 8. 1ог.размерностью кольца А называется верхняя грань в Е множества целых чисел л, плл кото- рых существуют левый А-модуль Х и правый А-модуль М такие, что Тоги (М, Х) Ф 0; она обознача- А ется через 1 А (А) .
а) Пусть л — целое число ж О. Показать, что следующие условна эквивалентны: а)1А (А) ил; 6) АР1А (М) <и (упражнение 7) для всякого А-модуля М; т) АР1А(М) Цл для всякого манагеннаго А-модуля М, б) Показать, что 1А(А) = 18(А') и 1А(А) к АЬ(А); если кольцо А иетерово слева, то имеет мес- то равенство. $9. а) Показать, чта следующие условия эквнвзлентны: а) Всякий (левый) идеал конечного типа в А является проективным А-модулем. В) Всякий лодмодуль конечного типа в праективном А-модуле проектнвеи.
г) 10(А) ц ! (Упражнение 8) и кольцо А когерентно (с, 67, упражнение 11) . 6) Для всякого множества 1 всякий лодмодуль в А плоский. б) Предположим, что кольцо А удовлетворяет эквивалентным условиям из пункта а) . Доказать, что всякий проективиый А-модуль изоморфен прямой сумме идеалов конечного типа кольца А. (Рассмотреть сначала случай модуля конечного типа; затем рассмотреть случай модуля, обладающе- го счетной системой порождающих, замечая, что всякий элемент прасктнаного А-модуля Р содер- жится в прямом множителе конечного типа модуля Р.
Общий случай вывести из теоремы Капланс- кого (П, р. 183, ехегс(се 2) .) 10. Предположим, что кольцо А целостное; пусть К вЂ” его поле частных. Идеал А кольца А иаэы- вае.гся обратимым, если существуют такие элементы х,,..., хл щ К. что хэйс А для ! к ( к л и а х! А = А. а) Показать, что всякий обратимый ицеал имеет конечный тип б) Показать, чта ненулевой ицеап кольца А представляет собой проективный А-модуль в том и толька том случае, если он обратим. в) Пусть А - обратимый идеал кольца А, П вЂ” ценимый А-модуль. Доказать, что Ех1А(А!А, О) =0 при( ж !.
11. а) Предположить, чта кольцо А целостное. Показать, чта условия а) — 6) нэ упражнения 9 эк- вивалентны еше следующим условиям: е) Всякий А-модуль калечного типа без кручения проективен. э ) Всякий А-модуль без кручения плоский. л) Всякий подмоцуль плоского А-модуля плоский. (Использовать упражнение !З,с. 26.) Нелестное кольцо, удовлетворяющее этим условиям, называется лрюферааым. 11.
Н. Бурбаки 6 8. 2"омовогическвя рвзмериосю 6) Пусть  — целостное козьцо, представляющее собой объединение возрастающего направлен- ного семейства прюферовых подколец, Показать, что кольцо В прюферово. ° в) Показать, что кольцо всех целых алгебраических чисел лрюферово. ° 12. Предположим, чта колыю А целостное. Показать, что следующие условия эквивалентны: а) ди(А) С1. й) Всякий делнмый А.модуль инъективен.
т) Кольцо А прюферово (упражнание 11) и питерово. (Чтобы доказать, чта из а) следует д), использовать упражнение 10.) Когда эти условия выполняютсн, А называют дедекиндовым кольцом. 13. Предположим, что кольцо А нетерово слева и справа.
Показать, что следующие условия эк- вивалентны: а) дй(А) С2. д) /[ля любых целых чисел р, ц и всякого А-линейного отображения и: Ар Ав ядро и представ- ляет собой проектнвный А-модуль. «) Модуль, сопрюиеиный к произвольному А модулю конечного тяпа, проективея. 14. Пусть х — элемент кольца А, регулярный слева. а) Показать, что идеал хА двусторонщгй, если и талька если существует элдоморфизм а коль.
ца А, для которого вх = хе (в) при любом в и А. 6) Предполагаем, далее, что выполнены условна пункта э). Пусть М вЂ” А-модуль, для которого хМ = О. Наказать равенство дрд (М) = ИРА/хА (М) + 1 (можно использовать спектральную последа. вательность из упражнения 6, г), с. 102). в) Предполминм, что х принадлежит радикалу кольца А и что А иетерово. Пусть М вЂ” А.модуль конечного типа, для которого гомотетия относительно х ннъективна в Х. Показать, что дрА(РП = = бр А/~А(]4/я[э) г) В условивх пункта в) йоказать, чта дй(А) = да(А/хА) +!. 15. Пусть е — ввгоморфиэн кольца А. а) Обозначим через Аа[Х[ кольцо, определенное в 9[П, 8 1, и' 3. Показать, что дй (Ав [Х]) = дй (А)+ 1.
(ИеРавеиство дй (Ае[Х[) П дй(А) + 1 сЛедУет нз Упуажнеиил 14, 6); дюг полУченнл пРотивопо- ложного неравенства, взять за образец доказательство леммы 3, а), с, 149.) 6) ОбозначнмчерезА„[[Х]] кольцо,определенное в!У, 64,ехегс]се 8 (Алгебра, [т', с. 80-81, упрэпщение 10) . Показать, что если кольцо А нетерово, то ди(Аа[[Х] [) = дй (А) + 1 (испольэовать упрюанение 14), 16. Пусть А — локальное кольцо, нетерово справа и слева, щ — его максимальный идеал; обозна- чим чеРез йг (соответственно йд) левый (соответственно пРавый) А.моДУль А/Щ. ПУсть М вЂ” левый А-модуль конечного типа и л — целое число. а) Показать, что дрд(М) С л, если и только если Тот я+ ! (/сд, М) "0 (использовать упражнение 4, А с.
86). 6) Показать, что дауд (А) дрл(йг) ! для того чтобы дй (А) С н, необходима и достаточна, чтобы Тоти+! (8,1, /сг) = О. А в) Пуси х — элемент ю центра кольна А. принадлежащий щ, причем гамотетил относительно х в М пнъектнвна. Показать. что дрл (М/хМ) = дрА (М) + 1 (см. также упражнение 14) . 17. Пусть М вЂ” А-модуль, 1 — вполне упоряцоченнае множество, (Ма) и 0 ! — возрастающее семейство подмодулей в М, для которого М = (/ М„.
Положим Ма " (/ Мй для а и 1. оц! 5<а а) Наказать неравенства дрл (М) С зцр дрл (Ма/Ма). и 01 6) Предположим, что существует целое число н, для которого дрА(М~„) С л при всяком а ц 1. Показать, что дРА Об) С л + !. 18. э) Пусть (М„)оп ! — индуктивная система А модулей относительно счетного множества 1, М вЂ” ЕЕ ПРЩЕЛ, Л вЂ” ЦЕЛОЕ ЧИСЛО Ь О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
