Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Вывести отсюда, чго если йс(С) <, то всякий элемент группы С, отличный от неатрального элемента, имеет бесколечлып порядок (в этом случае говорят, что С— группа без кручения), зО Если С вЂ” группа без кручения и Н вЂ” подгруппа конечного индекса в С, то показать, что йс(Н) = йс(С) . (Если (Р, р) — проектнвная резольвента Х -модуля Х и если (С: Н) л, то опре- (Н) делить ка грызунровэниом Х( )-модуле ТХ(Р) структуру Х )-комллекса таким способом, чтобы (Н) л (С) и ел (а) пара (ТХ(Р), р ) была.проективиод резольвентоп Х' .модуля Х.) е) Если Н вЂ” нормальная подгруппа в С, то показать, по йс(С) < йс(Н) + йс(С/Н). 1 9. Комноексы Козюля 157 1 9.
кОмплексы кОЗюля В этом параграфе все рассматриваемые кольца коммутатиены. 1. Комплексы К(и), К.(и, С), К (и, С) Пусть А — кольцо, Ь вЂ” А-модуль, и: Ь ~ А — линейная форма и й(Ь) — внешняя алгебра А-модуля Ь. Для х Е й(Ь) обозначим через г/„(х) внутреннее произведение х1 и (Ш, р. 161, ехетр1е; см, также Алгебра, И1, с. 442 — 445). Согласно Ш, р. 162, формула (60), имеем: бн(е~Л...
Ле„'1= Я ( — 1)о+~и(е~)е, Л...Ле; тЛеыьЛ... Ле„ г 1 для ем ..., ея Е Ь. Согласно И1, р. 164 н 165, отображение д„; й(1.) -+й(Ь) представляет собой антндифференцнрованне степени — 1, имеющее нулевой квадрат. Это единственное антидифференцнрование А.алгебры й(Ь), продолжающее отображение и: й'(Ь)-+йо(Ь). Оп редел е мне 1. Комплекс (й(Ь), а„) обозначается через К~(и) или К(и). Следует обратитьвниманне,что К (и) = й"(и) = К "(и). Ясно, что комплекс К(и) нулевой справа и что Но (К(и)) = Сокег (и) = А/й, где й — идеал и(Ь) в А.
Для всякого комплекса А-модулей С положим: К (и, С) = Нонщгя(К (и), С), КА(и, С) = С вк К~(и), Н~(и, С) = Н(Сея К~(и)), НА(и, С) = Н(Нопщгя(КА(и), С)), Н„(и, С) = Н„(С вя К (и)), НА(и,С) = Н"(Нопщгя(К (и), С)). Имеем, следовательно, канонические гомоморфизмы А-модулей (с. 71 и с. 89): то' Но(С)вя А/й -+ Но(и, С), Хо: НА(и, С) . Нощи(А/р, Н'(С)). Л е м м а 1. Если комплекс С нулевой справа (соответственно слева), то комплекс КА(и, С) (соответственно Кл(и, С)) нулевой справа (соответственно слева) и отображение то (соответственно Х ) биективно.
Это следует из предложения 1, с. 71, и предложения 1, с. 89. П редложение 1. ПустьхЕ Ь; обозначимчереэй„: уььхЛу умножениесаева на х в алгебре й(1.) . Тогда с/„о Кя+ й„о с/ню и(х) ° 1А(ь> = и(х)А(Ь1. Действительно, (б„о Кя+ кя о с(„)(у) = а„(хЛу) +х Лс/„(у); так как с/н — анти- дифференцирование, то с/н(х Лу) +х Л с/о(у) = бн(х) Лу и(х) .у, С л е д с т в и е 1, Если отображение и сюрьективно, то комплекс К(и) гомотопен нулю (с.
38), так же как и комплексы КА(и, С) и КА(и, С) для всякого комплекса С. Действительно, существует элемент х Е Ь, для которого и(х) 1. Поэтому комплекс К(и) гомотопен нулю согласно предложению 1, следовательно, тем же свойством обладают комплексы КЯ(и, С) (с. 73, предложение 3) и КА(и, с) (с. 90,предложение 3).
С л е д с т в н е 2. Лусть С вЂ” комплекс, Алп(С) — его аннулятор. Тогда идеал й + Апп(С) аннулирует Н~(и, С) и НА(и, С). Дпя всякого Х Е й гомотетия ХК(„1 гомотопиа нулю согласно предложению 1, следовательно, тем же свойством обладают и отображения 1С в Х 1ц„1 и Нолщг (Х1ц„), 1с), согласно предложению 3, с. 73, н предложению 3, с. 90; отсюда вытекает, что эле- В Р. Комплексы Козюля мент Л аннулируеТ Н(и, С) и Н (и, С). ЕслиЛЕАлл(с) то отображения 1к(ч) е Лс н Нолщг(1к(„1, Лс) нулевые.
Предположим, что модуль 1. проективен (соответственно, что комплекс К(и) ацикличен в стеленях > О) . Тогда комллекс К(и) цроективен согласно 1П, р. 87, сот. 2 (соответственно лредставляет собой резольвенту для А/р ) согласно изложенному на с. 104 (соответственно на с. 103) имеем, следовательно, для всякого А-модуля М гомоморфизмы Н„(«,М). Тог,(А/4,М), Ех1А(А/В,М). НА(«,М), (2) соответственно Тот~(А/й, М) -+ Н~(и, М), Ня(и, М) Ех1А(А/11, М).
(3) Если модуль Ь лроективен и комллекс К(и) ацикличен в степенях > О, то гомоморфизмы (2) и (3) биектнвны и взаимно обратны (с. 104, предложение 1) . П р е дл о же ни е 2. Пусть (Ь1);и! — семейство А-модулей, где множество 1 конечно и линейно упорядочено. Лусть и — линейная форма на е Ьг, «1 — ееограни1и 1 чение на Ьо Канонический изоморфизм А-алгебр (1П, р. 84) йз ге й(Ь1) Л( е 1.1) 1И 1 (и 1 т.е.
изоморфизмы се„к"(«, с') - к"(и, се„с'), (4) Нолтйгя(с', Кс,(и, С)) -+ Нопщгя(к~(и, С'), С). (5) В (4) и (5) возьмем С' = К(и'), где и': '1.' -+А — линейная формананекотором А модуле 1.', и заметим, что комплекс КЯ(и, К(и ')), который равен, ло определению, К(и') ея К(и), отождествляется, согласно предложению 2, с К(и' еи), где и' ел: Ьг е'Ь ь А — линейная форма (х', 'х) ~ьи (х') +и(х) . Получаем поэтому нзоморфиэмы комплексов КЯ(и'е и, С) -+ КА(и, КЯ(и', С)), Кя(и', Кь(и, С)) . Кя(и' е и, С). (7) Переходя к гомологни, получаем отсюда изоморфиэмы А-модулей: Нг (и'е и, С) — НА(«,.К"(и', С)), т Е Х, Нь(и, КА(«,СЭ вЂ” Ня(и'еи, С), т Е Х. определяет изоморфизм комплекса е К(и1) (с.
72) на комплекс К(и) . ги 1 Действительно, согласно замечанию 4, с. 73, дифференциал Р комплекса е К(«1) 1И1 лредставляет собой антидифференцирование; антнцифференцировання дч и я ь Р ь е ' алгебры Л(еЬ1) совладают на еЬ! с отображением х ь и(х) 1 модуля еЬ1 в Л(е 1.1) и,следовательно, равны (1П,р.128,сот.). Пусть С и С' — два комллекса А-модулей. Имеем (с. 72 и с. 100) канонические изоморфнзмы комллексов Сея(С ея К(и)) - (Сея С')ея К(и), Нол181А(с', Нопщгя(К(и), С)) Нолщгя(с'ея К(и), С), й 9. Ком«лексы Козюля Отметим, наконец, что гомоморфизм, получаемьй из произведения в алгебре Л(Ь), ин К~(и)ея К~(и)- КА(и), представляет собой морфизм ком«лексов (так как б„— антидифференцнрование).
Предполагая модуль 1. свободным ранга «и беря композицию с морфизмом комплексов КА(и) -+ Л"Ь( — и), который является тождественным в степени «, получаем морфизм комплексов КА(и) ея КА(и) + ЛЯЬ( «). этому морфизму канонически соответствует, согласно предложению 12, с. 100, мор- физм комплексов ю: К~(и) -» Нотйгя(КА(и), Л" 1.( — «)), который биекгивен (П1, р. 87, формула (20); см. также Алгебра, П1, с. 445 — 448) . Для всякого комплекса С отсюда получаем, беря композицию, изоморфизм ге р К~(и, С) = С ея К~(и ) — ~ С е Нотйгя(К~(и ), Лк1.( — «)) -» -» Нотйгч(К (и), С ел Л" Ь( — н)) = Кь(и, Сея Л"Ц вЂ” «)).
При переходе к гомологни имеем, следовательно, канонические изоморфизмы Н~(и, С) -+ НА '(и, С еи Л" 1.), г е 2. (8) 3 а м е ч а ни я. 1. е Все предшествующее остается справедливым, когда 1. — проектнвньй модуль ранга «. е 2. Так как 1. — свободный модуль ранга «, то модуль Л" Ь нзоморфен А, и мы имеем неканонические изоморфизмы Н»(и, С) -» Н~х (и, С).
2. Фуикто)пыльность Пусть |: С - С вЂ” морфизм комплексов. Обозначим через КА(и, У'): КА(и, С) - К~(и, С'), КА(и, У): КА(и, С) КА(и, С') морфизмы комплексов У'е 1и(к) н Нот8гя(1ц(к), ~), Обозначим через Н~(и, У): Н~(и, С)-'Н (и, С ), НА(цУ): НА(и, С) ~ Нл(и,С ), Н~(и, у): Нл(и, С)-+Н",(и, С'), НА(и,)): Нл(и, С)-+НА(и, С') морфизмы, индуцируемые в гомологии. Отображение г'- К'~(и.
У) линейно; если йч С'- Со — другой морфизм комплексов, то К~'(и, я» г ) КА(и, я)» К'~'(и, г ); аналогично для К,ь„Н~, Ня, Н» НА. ,у е Пусть 0 -» С -+ С -+ С -» 0 — точная последовательность комплексов. а) Пред«олозшм, что модуль 1. «ловкий; тогда Л(Ь) — плоский модуль (с.
18, следствие) . Поэтому последовательность А '~ ' А О ~ К~(и, С') — -» К~(и, С) — — + КА(и, Со) -+ 0 точная, и она определяет (с. 35) гомологическую точную последовательность Нл(к у) А Нп(о, я)»», Эл ... -» Ниле(и, С') — - Нл(и, С) — - Нл(и, Со) — » Н„г(и, С') -» ... 1 9, Комюеекеы Козюля б) Предлолохгим, что модуль 1.
ироекгивный; тогда Л(Ь) — проективный модуль. Поэтому последовательность кл(о, з ) . Клбо г) О . Кл(и, С') Кл(и, С) — Кл(и, С ') . О гочкаа, и она определяет гомологическую точную последовательность и л я н (и,У) „н Оса) „„а „+, Нл(и, С') — Нл(и, С) — — -+ Нл(и, С ) — + Нл (и, С ) -> ... Пусть рч А -+ А' — гомоморфизм колец, Ь' — А'.модуль А' эл Ь, и'.
Ь' — А'— линейная форма 1 э и. Биективный канонический гомоморфизм (Ш, р. 83, ргор. 8) чг Лл'(А эл Ь) э А'эл Л(Ь) представляет собой изоморфизм комллексов А'-модулей. Отсюда: 1) для всякого комплекса А'-модулей С' получаем изоморфизм комплексов А-модулей Кл (и', С') е Кл(и, С'), беря композицию С э,(Л.'(А ел 1)) С э, А эл Лл(1.) - С э Л, (1.), где э — каноническая биекция (П1, р. 85, ргор, 14); 2) для всякого комплекса А-модулей С получаем изоморфизм комплексов А'-модулей Кл (и, А'эл С) . А эл К, (и, С), откуда возникают го моморфизмы А -модулей А'эл Нл(и, С) - Нл (и, А'эл С), которые биективвы, когда А' — ллосгеий модуль над А (с.
74, следствие 2) . Пусть Ь' — А-модуль, и'. Ь ~ А — линейная форма, у'; Ь ~ Ь~ — А-гомоморфизм, для которого п' е У = и. Из П1, р, 1б1, формула (55), следует, что гомоморфизм Л(т"): Л(Ь) -+Л(Ь') удовлетворяет соотношению две Л(т") = Л(Г') а г(, и, следовательно, определяет морфизм гсомивексов Л(и)с Кл(и) ~ Кл(и'). Если С вЂ” А-комплекс,то получаем мор физмы комплексов )сэ Л(и): К (и, С) -+ Кл(и', С) и Ношйг(Л(и), 1с): Кл(и', С) - Кл(и, С), Если отображение т биективно, то зги морфизмы являются изоморфизмами. 3. Пример 1: комплекс $(Ь) эл Л(1.) Пусть А — кольцо, Ь вЂ” А-модуль, $(Ь) — его симметрическая алгебра, $(Ь) эл Ь- $( 1.)- модуль, получаемый посредством расширения скаляров, и: $(Ь) эл Ь -з $(Ь) — линейная форма, для которой и(з эх) = зх при з Е $(Ь),хЕ Ь. При каноническом изоморфизме $(1.) -модулей (1П, р, 83, ргор, 8) Лв(ь)($(Ь) эл Ь) $(Ь) эл Л(Ь) — дифференциал комплекса К~1ь)(и) превращается в отображение д: $(Ь)эл Л(1-) е $(Ь) элЛ(1.) 1 Д Комилексы Козюля га! пРикотоРомдлЯ х,, -, хр, У,,....
Уч Е 1. имеем иИх! - х~)в(у! Л... Луч))= Х ( — 1)г+ угх, ... х, в(у,Л,, Лу! Л г=! Лу„, Л... Л у„) (9) Отметим, что с( отображает А-модуль 8" (Ь) вл Ла (1) в 8р+ (Ь) в Лч-!(Ь еле. довательно, комплекс А-модулей $(Ь) юн Л(Ь) распадается в прямую сумму комплексов, описываемых следующими диаграммами: (бя): О $~ЬвнЛл1 8'ЬвАЛ" 1-.... -+ 8"ЬвнЛ 1.-+О, лЕ1Ч. Если А-модуль 1. представляет собой прямую сумму конечного семейства (Ь;) г н!, где множество ! линейно упорядочено, то каноническая биекцня ($((ч) ин Л(Ьг)) -+ $(1.) юн Л(Ь) чн ! представляет собой нзоморфизм комплексов А.модулей (зто следует из предложения 2 (с. 158) или из фдрмулы (9) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
