Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Обозначим через Е градуированный А-модуль А [Хы..., Х„]; А-модуль Е, свободен с базисом Хю..., Х„, а Ь, есть А-подмодуль в Е,, порождаемый элементами (х~Х1 — хуХг) для 1 < /< /' < п. Следовательно, модуль ((Е/Ь ) вк М) ~ отождествляется с модулем К,(х, М)/В1(К.(х, М)), причем гомоморфизм (п~м), отождествляется с отображением модуля К,(х, М)/В1(К.(х, М)) на Во(К,(х, М)), индуцированным гомоморфизмом Ы1 Таким образом, обращение мо.
дуля Н,(х, М) в нуль равносильно ннъективности отображения (пм),, откуда следует импликация (1ч) = (ш) . Чтобы доказать, что нз условия (ш) следует (19), мы воспользуемся следующей леммой: Лемма 4. Пусть Ао — кольцо 2 [Т„..., Т„] и пусть и: Ао[Х,,...,Х„] -+Ао[Щ— гомоморфизм Ао.алгебр, при котором и(Х,) =Т;1). Ядром гомоморфизма и служит идеал Ьо в Ао [Хы..., Х„], порождаемый элементами (Т~Х вЂ” Т Х;) длл 1 <! < /<и. Если 1 обозначает идеаз в Ао, порожденный последовательностью (Т,, ..., Т„), то и индуцирует изоморфизм й: Ао [Х,,..., Х„]/ Ьо -+ ю Ф", «ьо Достаточно, очевидно, доказать первое утверждение.
Дпя всякой последовательности натуральных целых чисел а = (оо,..., а„) и всякого целого числа /г Е [О, и] обозначим через Р„» одночпен 1 "к Х"»+1 Х "л. 1 ... »+!»еэ пусть |Ч вЂ” Е-подьюдуль в Ао [Х„..., Х„],порожденный одночпенами Р к для его )чл+' и 0 </с <и. Мы покажем, что ограничение гомоморфизма и на Н инъективно и что Ао [Х,,...,Х„] = Ьо +1Ч; так как Ьо С Кеги,то отсюда будет следоватьлемма. Заметим, что Н порождается множеством Б, образованным теми одночпенами Р лля которых либо /с =О, либо /е) 0 и ок Ф О. Чтобы доказать инъектнвность ограпиче. ния и на Н, достаточно показать, что два разных элемента из Б имеют в качестве образа м' а; при и разные одночпены в Ао(1/). Но и(ра г) =Т,' ...
Т к, к" ... Т„л13' так что равенство и(Р„») =и(Р„» ) влечет за собой„что (оо,...,ок как„,...,о„) = =(по,...,о» ьик,~„...,о„) и г.' а;м г' о, Предположим, что одночлены ~ь »+1 ~ьк'е1 Ра,» и Ра,» принадлежат В.Если/е =Он во =О,той =0 цо =Она=и'. Если жеп» ФО, топ» ФО,откуда й =/е и а «се. Это дает искомый результат. Покажем, что всякий одночлен Т Хе ~ Ао [Х„...
„Х„] сравним по модулю Ьо с некоторым Р„к. Для всякого Х Я 1чл обозначим через 1(к) (соответственно / Щ) наименьшее (соответствеино наибольшее) целое число К Е [1, п] лля которого й» ФО. В множестве одночпенов ТтХа, сравнимых с ТаХВ по модулю Ьо, выберем тот, для которого целое рациональное число/(Т) — 1(Б) минимально; покажем, что тогда/(у)— — /(8) <О. Предположим, что /(у) >1(8); обозначим /=/(у), /«/(8) и пусть е= 1 Р.
Комилексы Козюля 169 = шг(7/, 61). Так как многочлен (Т!'Хг' — Тг'Х/') делитсв на (Т.Х1 — Тг Х ), следова- тельно, принадлежит Ьо, то видим, что олночйен Т" Х сравним по модулю Ьо с Тт Х, где 71 м71+ е, 7; 71 — е,7а м7» при Ф Ф/,/ и б, м 61 — е,б; = 61+ е, б„мб, при 1 чь 1',/. Так как 7/ или бь! равно нулю, то /(7') — г(6') (/(7) — 1(6), что противоре вгт минимальности /(у) — 1(б).
Следовательно, /(у) <1(6), откуда ТтХ Е М, что завеР шает доказательство леммы. Докажем, что из условия (ш) следует (ач) . Рассмотрим кольцо Ао = Х [Т„..., Т„) и идеал 1 в Ао, порожденный элементами Т„..., Т„. Наделим М структурой Ао. модуля, относительно которой Тгль =х гл для глЕ М, ! < 1< л. Согласно сказанному на с. 163, /с-модуль Нг (х, М) канонически отождествляется с Н! (Т, М) .
Так как последовательность Т регулярна относительно А,ь, то из импликации (1) ьь ~ (й) следует, что комплекс К. (Т, А,) определяет свободную резольвенту Ао-модуля Ао/1 . Заметим, что последний отождествляется с группой 2, наделенной структурой Ао-модуля, относительно которой Т12 О для 1 <1<л. Таким образом, условие (!и) эквиваленгио условию Тот~' (М, Е) = О. Покажем, что условие (!1!) влечет за собой, что Тогльь (М, Ао/ 1") О для всякого г> 1. Это следует из предыдущего при г = 1.
В общем случае рассмотрим точную по- следовательность О-+ 1 "/ 1 еАо/ 1 Ао/ 1 -+О. (16) Ао-модуль 1'/ 1"+' изоморфен конечному произведению экземпляров модуля Х. Следовательно, Тотьмах (М, 1 "/ 1"+') = О. Отсюда нндукцией по г вьюодим, что Тот' ь(М,Ао/1") =О для всякого 1. Поэтому точная последовательность (16), умноженная гензорно на М, дает точную последовательность О-'( 1"/ 1'+') Вх,М- М/ Г"+1М-'М/ Г"М- О, (17) откуда получаем нэоморфизм модуля ( 1 "/ 1"+') за М на 1" М/Г"'М. Рассматривая точную последовательность О-+ 1'~' -+ 1'- 1 "/1'+ь -+О, далее получаем индукцней по г, что отображение и„: 1" з,~ М -+ Г'М, нндуцируемое действием Ао в М, является нзоморфнэмом. Для доказательства условия (1ч) остается заметить, что диаграмма [Х.ОЬ„...,Х.УЬ,1З„М 'Ь" Е ЬЬЗ..МЬ ьао ~е, 1Мх„...,хуь)з„м ~ е 'м, ьоо в которой е — канонический иэоморфизм расширения скаляров (11, р.
85, ргор.6), коммутативна, и применить лемму 4. 9. Доказательство теоремы 1: вторая часть Рассмотрим снова точную последовательность О + 1~/1 ~ с+Ао/! +1-~геАо/1ь-ьО (1 6) н соответствующую точную последовательность модулей кручения: Тот~а(Ао/1 ь1, М)-ь ТогАь(Ао/1', М)-+ 1 /1 )ФА,М~(Ао/1 )вА,М вЂ” е(Ао/1 )вл М О. (!8) Ядро гомоморфнзма р, з11и отожпествляется с г" м/г"" м; кроме того, модуль 1 "/ 1"" аннулируется элементами Тг и отождествляется с однородной компонентой степени г в Ао, гак что гомоморфизм ( 1" / 1'+') вя М-+ г'М/6'+' М, получаемый из 1„з 1м, отождествляется с однородной компонентой степени г гомоморфизма бм. 12.
Н. Бурбаки )то й 9.Комгшексы Кизюяя Поэтому из точной последовательности (18) следует, что условие (и) эквивалентно уаювию (и'): гомоморфизм Тогл (р„1М): Тот~а (Ас/ 1"+', М) ~Тот~* (Аа/1", М) сюрьекгивен для всех гъ 1. Нам остается доказать имлликацню (и) ш (1), когда модули М/(х,М+...+х; сМ) отделимы относительно р -адической топологии (1 <1< л). Обознажм А.модуль М/х|М через М.
По определению, последовательность х регулярна для М, если н только если гомотетия (х,) м ннъективна и последовательность х = (ха,..., х„) регулярна для М. Проводя индукцию по и, достаточно, таким образом, доказать, что если модуль М отделим относительно С -аднческой топологии и если гомоморфнзм/(" биективен, то отображение (х,) и инъективно, а Я биективно. Но биективность /)м влечет за собой, в частности, что гомотетия относительно Х, в Э т" М/р"+' М инъективна'), г следовательно, что Кег(х1) м С ()у~ М и тем самым, что отображение (х,) м инъективно, если р -адическая топология на М отделима. Таким образом, остается доказать, что если отображение (х,)м инъективно и модуль М удовлетворяет условию (и ), то модуль М удовлетворяет условию (ч ) относительно последовательности х . По предположению, имеем точную последовательность (к,)М О -ь М вЂ” — ь М -ь М -ь О; положим Аа иАс/ТсАв, 1 = 1Ас.
Пустьв: Ь- М вЂ” свободная резольвентаАс-модуля М; так как гомотетия относительно Т, инъективна в Ас, то она ннъективна в Ь и мы имеем точную последовательность комплексов (т,), О-ьЬ вЂ” '>Ь Ь- О, где Ь = Ь/х, Ь, и коммутативную диаграмму (к )с Π— ьЬ- Ь- Ь вЂ” «О ~т ~е ~е (к,)„ О- М вЂ” М вЂ” М О Так как в — гомологизм, то в: Ь -ьМ вЂ” свободная резольвента Ав.модуля М (след- ствие 1, с. Зб) . Для всякого Ач-ыэдуля Р имеем канонический иэоморфиэм Р вАе1 1 Аа(" откуда, переходя к гомологии, получаем изоморфнзм рр. Тот~а(Р,М)-ьТог~е(Р,М). Если и: Р- Р' — Аа-гомоморфизм,то ЧГ ° с ТОГ,'Ья(И, 1Ы) ТОГАа(и,!М) смр.
Усытывая это, предположим, что условие (и ) удовлетворяется для М, и докажем, что оно справедливо для М. Пусты — целое число > 1; некем коммутативную диаграм- му с точными строками: О м Ас/1' -Ь- Ас/1"' — ~ Ас/1'" -~ О ~А ~р, Π— ' Ас/1' ~ Ас/1' ~ Ас/1' ь- О, ') Здесь в ргы/рвы М рассматривается как градуированный модуль над градуированным кольг псм (А/т) (Х„..., Х„1. — (тримеч. иер. $9. Комплексы Каэюлх из которой получаем коммутативную диаграмму с точными строками: Тот',~ч(Ао/1~+1 М) -ч Тот"'(Ао/1'«~ М) М/т'М -'ч М/*"' М т, 1Э„Г) ~ тч, С)„Ц~ Тогь1'(Ао/1 М) — ч" Тогьэ(Ао/1". М) ' М/а' ' М )ч М/а' М Но умножение на х1 определяет вложение М/ у" М в М/ у'~' М: зто немедленно следует индукцией по г из точной последовательности 0-' й« ' М/ у«М- М/ у"М- М/ т« 'М- 0 и инъектнвности гомотетни относительно Х1 в ю ( а'М/ь'~ М)').
Условие (и), «ив таким образом, влечет за собой, что гомоморфизм Тот~1' (р„, 1и) сюрьективен для всякого г > 1. Беря композицию с изоморфизмами ()э — т «+1 ) ' и)9 „, поч/т й ь/Г"' лучаем отсюда, что гомоморфизм 'Тог1 ' (р „' 1-); Тот, '(А Я "+1, М )-+ Тот1 ' (А е/Ф, М) сюръективен при «> 1, т.е. справедливость условия (ч ) для М. Это завершает доказательство теоремы.
1О. Класс расширений, ассоциированный с регулярной последовательноспао Пусть А — кольцо, М вЂ” А-модуль, х= (х,,,,х„) — последовательность элементов из А. Обозначим через М г А модуль М/ (х М +... + «1 1М ) для 1 = О,..., п+ 1, так что Ме н М1 отоясдествляются с М, а М„+1 = М/(х) М. Обозначим через х)'. М) 1. М), 1,...,п, А-гомоморфизм, представляющий собой композицию гомотетии модуля М), отно- сительно х) н канонической проекции М) 1 на М,. Обозначим, наконец, через р: М„-+ - М/(х) М каноническую проекцию.
Диаграмма х!х« 0 М- М,— Мз- ... - М- М/(х)М-0 (19) представляет собой точную последовательность, если и только если последовательность х М-регулярна. Предполагаем в дальнейшем, что, последовательность «регулярна для М. Элемент 1)хЕ Ехт" (М/(х),М),м), ассоциированный с точной последовательностью (19) 1 называется также ассоциированным с М-регуллрной последовательностью х. Пусть 1 — целое число, 1 <1' <п. Заметим, что последовательность (19) может быть разложена на две точные последовательности х3 х« х) 0- М вЂ” М, — Мэ - ..; — М)- М/(хэм+...