Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра

Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 53

Файл №947363 Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики) 53 страницаБурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363) страница 532013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Обозначим через Е градуированный А-модуль А [Хы..., Х„]; А-модуль Е, свободен с базисом Хю..., Х„, а Ь, есть А-подмодуль в Е,, порождаемый элементами (х~Х1 — хуХг) для 1 < /< /' < п. Следовательно, модуль ((Е/Ь ) вк М) ~ отождествляется с модулем К,(х, М)/В1(К.(х, М)), причем гомоморфизм (п~м), отождествляется с отображением модуля К,(х, М)/В1(К.(х, М)) на Во(К,(х, М)), индуцированным гомоморфизмом Ы1 Таким образом, обращение мо.

дуля Н,(х, М) в нуль равносильно ннъективности отображения (пм),, откуда следует импликация (1ч) = (ш) . Чтобы доказать, что нз условия (ш) следует (19), мы воспользуемся следующей леммой: Лемма 4. Пусть Ао — кольцо 2 [Т„..., Т„] и пусть и: Ао[Х,,...,Х„] -+Ао[Щ— гомоморфизм Ао.алгебр, при котором и(Х,) =Т;1). Ядром гомоморфизма и служит идеал Ьо в Ао [Хы..., Х„], порождаемый элементами (Т~Х вЂ” Т Х;) длл 1 <! < /<и. Если 1 обозначает идеаз в Ао, порожденный последовательностью (Т,, ..., Т„), то и индуцирует изоморфизм й: Ао [Х,,..., Х„]/ Ьо -+ ю Ф", «ьо Достаточно, очевидно, доказать первое утверждение.

Дпя всякой последовательности натуральных целых чисел а = (оо,..., а„) и всякого целого числа /г Е [О, и] обозначим через Р„» одночпен 1 "к Х"»+1 Х "л. 1 ... »+!»еэ пусть |Ч вЂ” Е-подьюдуль в Ао [Х„..., Х„],порожденный одночпенами Р к для его )чл+' и 0 </с <и. Мы покажем, что ограничение гомоморфизма и на Н инъективно и что Ао [Х,,...,Х„] = Ьо +1Ч; так как Ьо С Кеги,то отсюда будет следоватьлемма. Заметим, что Н порождается множеством Б, образованным теми одночпенами Р лля которых либо /с =О, либо /е) 0 и ок Ф О. Чтобы доказать инъектнвность ограпиче. ния и на Н, достаточно показать, что два разных элемента из Б имеют в качестве образа м' а; при и разные одночпены в Ао(1/). Но и(ра г) =Т,' ...

Т к, к" ... Т„л13' так что равенство и(Р„») =и(Р„» ) влечет за собой„что (оо,...,ок как„,...,о„) = =(по,...,о» ьик,~„...,о„) и г.' а;м г' о, Предположим, что одночлены ~ь »+1 ~ьк'е1 Ра,» и Ра,» принадлежат В.Если/е =Он во =О,той =0 цо =Она=и'. Если жеп» ФО, топ» ФО,откуда й =/е и а «се. Это дает искомый результат. Покажем, что всякий одночлен Т Хе ~ Ао [Х„...

„Х„] сравним по модулю Ьо с некоторым Р„к. Для всякого Х Я 1чл обозначим через 1(к) (соответственно / Щ) наименьшее (соответствеино наибольшее) целое число К Е [1, п] лля которого й» ФО. В множестве одночпенов ТтХа, сравнимых с ТаХВ по модулю Ьо, выберем тот, для которого целое рациональное число/(Т) — 1(Б) минимально; покажем, что тогда/(у)— — /(8) <О. Предположим, что /(у) >1(8); обозначим /=/(у), /«/(8) и пусть е= 1 Р.

Комилексы Козюля 169 = шг(7/, 61). Так как многочлен (Т!'Хг' — Тг'Х/') делитсв на (Т.Х1 — Тг Х ), следова- тельно, принадлежит Ьо, то видим, что олночйен Т" Х сравним по модулю Ьо с Тт Х, где 71 м71+ е, 7; 71 — е,7а м7» при Ф Ф/,/ и б, м 61 — е,б; = 61+ е, б„мб, при 1 чь 1',/. Так как 7/ или бь! равно нулю, то /(7') — г(6') (/(7) — 1(6), что противоре вгт минимальности /(у) — 1(б).

Следовательно, /(у) <1(6), откуда ТтХ Е М, что завеР шает доказательство леммы. Докажем, что из условия (ш) следует (ач) . Рассмотрим кольцо Ао = Х [Т„..., Т„) и идеал 1 в Ао, порожденный элементами Т„..., Т„. Наделим М структурой Ао. модуля, относительно которой Тгль =х гл для глЕ М, ! < 1< л. Согласно сказанному на с. 163, /с-модуль Нг (х, М) канонически отождествляется с Н! (Т, М) .

Так как последовательность Т регулярна относительно А,ь, то из импликации (1) ьь ~ (й) следует, что комплекс К. (Т, А,) определяет свободную резольвенту Ао-модуля Ао/1 . Заметим, что последний отождествляется с группой 2, наделенной структурой Ао-модуля, относительно которой Т12 О для 1 <1<л. Таким образом, условие (!и) эквиваленгио условию Тот~' (М, Е) = О. Покажем, что условие (!1!) влечет за собой, что Тогльь (М, Ао/ 1") О для всякого г> 1. Это следует из предыдущего при г = 1.

В общем случае рассмотрим точную по- следовательность О-+ 1 "/ 1 еАо/ 1 Ао/ 1 -+О. (16) Ао-модуль 1'/ 1"+' изоморфен конечному произведению экземпляров модуля Х. Следовательно, Тотьмах (М, 1 "/ 1"+') = О. Отсюда нндукцией по г вьюодим, что Тот' ь(М,Ао/1") =О для всякого 1. Поэтому точная последовательность (16), умноженная гензорно на М, дает точную последовательность О-'( 1"/ 1'+') Вх,М- М/ Г"+1М-'М/ Г"М- О, (17) откуда получаем нэоморфизм модуля ( 1 "/ 1"+') за М на 1" М/Г"'М. Рассматривая точную последовательность О-+ 1'~' -+ 1'- 1 "/1'+ь -+О, далее получаем индукцней по г, что отображение и„: 1" з,~ М -+ Г'М, нндуцируемое действием Ао в М, является нзоморфнэмом. Для доказательства условия (1ч) остается заметить, что диаграмма [Х.ОЬ„...,Х.УЬ,1З„М 'Ь" Е ЬЬЗ..МЬ ьао ~е, 1Мх„...,хуь)з„м ~ е 'м, ьоо в которой е — канонический иэоморфизм расширения скаляров (11, р.

85, ргор.6), коммутативна, и применить лемму 4. 9. Доказательство теоремы 1: вторая часть Рассмотрим снова точную последовательность О + 1~/1 ~ с+Ао/! +1-~геАо/1ь-ьО (1 6) н соответствующую точную последовательность модулей кручения: Тот~а(Ао/1 ь1, М)-ь ТогАь(Ао/1', М)-+ 1 /1 )ФА,М~(Ао/1 )вА,М вЂ” е(Ао/1 )вл М О. (!8) Ядро гомоморфнзма р, з11и отожпествляется с г" м/г"" м; кроме того, модуль 1 "/ 1"" аннулируется элементами Тг и отождествляется с однородной компонентой степени г в Ао, гак что гомоморфизм ( 1" / 1'+') вя М-+ г'М/6'+' М, получаемый из 1„з 1м, отождествляется с однородной компонентой степени г гомоморфизма бм. 12.

Н. Бурбаки )то й 9.Комгшексы Кизюяя Поэтому из точной последовательности (18) следует, что условие (и) эквивалентно уаювию (и'): гомоморфизм Тогл (р„1М): Тот~а (Ас/ 1"+', М) ~Тот~* (Аа/1", М) сюрьекгивен для всех гъ 1. Нам остается доказать имлликацню (и) ш (1), когда модули М/(х,М+...+х; сМ) отделимы относительно р -адической топологии (1 <1< л). Обознажм А.модуль М/х|М через М.

По определению, последовательность х регулярна для М, если н только если гомотетия (х,) м ннъективна и последовательность х = (ха,..., х„) регулярна для М. Проводя индукцию по и, достаточно, таким образом, доказать, что если модуль М отделим относительно С -аднческой топологии и если гомоморфнзм/(" биективен, то отображение (х,) и инъективно, а Я биективно. Но биективность /)м влечет за собой, в частности, что гомотетия относительно Х, в Э т" М/р"+' М инъективна'), г следовательно, что Кег(х1) м С ()у~ М и тем самым, что отображение (х,) м инъективно, если р -адическая топология на М отделима. Таким образом, остается доказать, что если отображение (х,)м инъективно и модуль М удовлетворяет условию (и ), то модуль М удовлетворяет условию (ч ) относительно последовательности х . По предположению, имеем точную последовательность (к,)М О -ь М вЂ” — ь М -ь М -ь О; положим Аа иАс/ТсАв, 1 = 1Ас.

Пустьв: Ь- М вЂ” свободная резольвентаАс-модуля М; так как гомотетия относительно Т, инъективна в Ас, то она ннъективна в Ь и мы имеем точную последовательность комплексов (т,), О-ьЬ вЂ” '>Ь Ь- О, где Ь = Ь/х, Ь, и коммутативную диаграмму (к )с Π— ьЬ- Ь- Ь вЂ” «О ~т ~е ~е (к,)„ О- М вЂ” М вЂ” М О Так как в — гомологизм, то в: Ь -ьМ вЂ” свободная резольвента Ав.модуля М (след- ствие 1, с. Зб) . Для всякого Ач-ыэдуля Р имеем канонический иэоморфиэм Р вАе1 1 Аа(" откуда, переходя к гомологии, получаем изоморфнзм рр. Тот~а(Р,М)-ьТог~е(Р,М). Если и: Р- Р' — Аа-гомоморфизм,то ЧГ ° с ТОГ,'Ья(И, 1Ы) ТОГАа(и,!М) смр.

Усытывая это, предположим, что условие (и ) удовлетворяется для М, и докажем, что оно справедливо для М. Пусты — целое число > 1; некем коммутативную диаграм- му с точными строками: О м Ас/1' -Ь- Ас/1"' — ~ Ас/1'" -~ О ~А ~р, Π— ' Ас/1' ~ Ас/1' ~ Ас/1' ь- О, ') Здесь в ргы/рвы М рассматривается как градуированный модуль над градуированным кольг псм (А/т) (Х„..., Х„1. — (тримеч. иер. $9. Комплексы Каэюлх из которой получаем коммутативную диаграмму с точными строками: Тот',~ч(Ао/1~+1 М) -ч Тот"'(Ао/1'«~ М) М/т'М -'ч М/*"' М т, 1Э„Г) ~ тч, С)„Ц~ Тогь1'(Ао/1 М) — ч" Тогьэ(Ао/1". М) ' М/а' ' М )ч М/а' М Но умножение на х1 определяет вложение М/ у" М в М/ у'~' М: зто немедленно следует индукцией по г из точной последовательности 0-' й« ' М/ у«М- М/ у"М- М/ т« 'М- 0 и инъектнвности гомотетни относительно Х1 в ю ( а'М/ь'~ М)').

Условие (и), «ив таким образом, влечет за собой, что гомоморфизм Тот~1' (р„, 1и) сюрьективен для всякого г > 1. Беря композицию с изоморфизмами ()э — т «+1 ) ' и)9 „, поч/т й ь/Г"' лучаем отсюда, что гомоморфизм 'Тог1 ' (р „' 1-); Тот, '(А Я "+1, М )-+ Тот1 ' (А е/Ф, М) сюръективен при «> 1, т.е. справедливость условия (ч ) для М. Это завершает доказательство теоремы.

1О. Класс расширений, ассоциированный с регулярной последовательноспао Пусть А — кольцо, М вЂ” А-модуль, х= (х,,,,х„) — последовательность элементов из А. Обозначим через М г А модуль М/ (х М +... + «1 1М ) для 1 = О,..., п+ 1, так что Ме н М1 отоясдествляются с М, а М„+1 = М/(х) М. Обозначим через х)'. М) 1. М), 1,...,п, А-гомоморфизм, представляющий собой композицию гомотетии модуля М), отно- сительно х) н канонической проекции М) 1 на М,. Обозначим, наконец, через р: М„-+ - М/(х) М каноническую проекцию.

Диаграмма х!х« 0 М- М,— Мз- ... - М- М/(х)М-0 (19) представляет собой точную последовательность, если и только если последовательность х М-регулярна. Предполагаем в дальнейшем, что, последовательность «регулярна для М. Элемент 1)хЕ Ехт" (М/(х),М),м), ассоциированный с точной последовательностью (19) 1 называется также ассоциированным с М-регуллрной последовательностью х. Пусть 1 — целое число, 1 <1' <п. Заметим, что последовательность (19) может быть разложена на две точные последовательности х3 х« х) 0- М вЂ” М, — Мэ - ..; — М)- М/(хэм+...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,59 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее