Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ог, М), для которой Е р ° ° ° л ° 1 =нр (ь', нч «»', м) ) . 8. пусть А — кольцо, м — А-модуль,х' = (х,,...,х ) их" (х,ег,..., х„) — две последова- тельности элементов из А; обозначим через х последовательность (х,,.... хл) и через М' — А-мо- дуль М/(т') М, а) Если х' есть полное пересечение для М и т" — полное пересечение цля М'. то показать, что х — полное пересечение для М. б) Если последовательность х и х' являются полными пересечениями для М, то показать. что последовательность х" есть полное пересечение двя М'. в) Дать пример такой А-регулярной последовательности (х, у), содержащейся в рацнкале кощ ца А, что х есть полное пересечение для А/уА, но у не ввлиется полным пересечением длл А. 9.
Пусть А — кольцо, М вЂ” Ачеодуль, й — целое число В 1. (емейство х элементов из А называ- ется /с-пересечением цля М, если Н( (х, М) = 0 при 1 ц / к Е Таким образом, семейство х есть пол- ное пересечение, если и только если оно является Ащересечением для всякого /г в 1.
а) Пусть 0 М' М М" 0 — точная последовательность А-модулей. Показать, что если се- мейство х является З-пересечением для М' и М", то оно обладает тем же свойством для М. б) Если х — 1-пересечение для М и если Н вЂ” плоский А-модуль, то х — 4-пересечение для М "А М в) Пуоп е,,..., ал — Целые числа В 1. Показать, что последовательность (х,,..., х„) является Ьпересечением дпэ М в том и только том случае, если этим свойством обладает последовательность г) Для всякой пары целых чисел х, л.
где 1 ц 4 < л, дать пример кольца А, А-модуля М н после- дователыккти (х,,..., хл) элементов из А, которая является Ф-пересечением, но не (/с + 1)-пере- сечением для М (использовюь замечание 4, с. 166) . 10. Пусть А — кольцо, М вЂ” А-модуль, х = (х,,..., х„) — последовательность элементов иэ А, р — целое число К л. Введем обозначения: х' = (х,., х,), х" = (х +1,..., хл) И М' = М/(х')М. а) Пусть е, й' — целые числа, причем й ц й . Првдполойим, что последовательность х' является 4'-пересечением для М (упражнение 9) . Показать, что последовательность х является й-пересечением для М, если и только если последовательность х" — /с пересечение для М' . б) Показать, что если последовательность х является 1.пересечением для М, то последователь- ность х" — 1-пересечение для М'.
9 11. Пусть А — иегерово локальное кольцо, 3ц — его максимальный идеал, 4 А/йз . Пусть м — ненулевой А-модуль конечного типа. Глубиной модуля М называется верхняя грань целых чи- сел л, для которых существует последовательность (х,,..., х„) элементов из Ю, представлюо- шая собой полное пересечение для М; глубина модуля М обозначается через рго( (М).
а) Показать, что рго1' (М) = О, если н только если идеал а ассоциирован с М (с. 29. Упражне- на 28), иначе говоря, если модуль М содержит подмодуль, иэоморфиый Ь (эмеезкть, что идеал, содержащийся в обьециненни конечного множества простых идеалов, непремеиио содержится в одном из них/. б) показать, что рго( (м) есть нюкияя грань целых чисел л, для которых модуль ехтА(х, м) ненулевой (провести индукюею по л).
Если рто((М) =л, то всякая последовательность (х,,... ..., хр) элементов нз Ю, предспщляющая собой полное пересечение для М (р Сл), может быль про- должена до последовательности (х,,., х„), содержащейся в и( и являющейся полным пересе- чением длл М. в) Если (х„..., ха) — последовательность элементов из ю, являющаяся полным пересечением для М, то показать, что рго((М/(х, М+...+хаМ)) =рто((М) — 4. г) Предположим, что модуль М имеет коиечяую ироекгивеую размерность. Доказать равенство брд(М) +рго( (М) =рго( (А) (провести индукцию по дрА(М)). ! 9.
Комплексы Козюля 375 д) Показать, что ргоГ (А) есть верхняя грань проективных размерностей А-модулей. имеющих конечный гия и конечную яроекгиеную размерность. $12. Пусть А — иетерово локальное кольцо, Ш вЂ” его максимальный идеал, е) Показать, что если О < 633(А) <, то существует непелнтель нуля, содержащийся в 3В- — ш' (показать, как н в упражчении 11, а), что в противном случае идеал н3 был бы ассоялирован с А, и, следовательно, существовала бы точная последовательность О /с А Н О; привести зто к противоречию, используя Упражнение 16, с.
154) . б) Пусть и — целое число. Показать, что бй (А) =н в том и только том случае, если существует последовательность (х,..... х„) являющаяся полным пересеченкем для А и порождающая 3В (провести индукцию по я, используя а) и упражнение 14, с. 154) . Локальное кольцо А называется регулярным, если оно нетерово и имеет конечную гомологическую размерность. 13. Пусть А — регулярное локальное кольцо (упражнение 12) гомологической размерности я; обозначим через тв его максимытьиый идеал.
и пусть /с = А/38. а) Показать.что(Вша(Ш/Ш') =л. б) Показать, что /с.алгебра е (38 "/Ш ) изоморфна апгебре многочленов от я переменных. с+1 гво в) Еслк я =О, то А — поле. Если и = 1, то показать. что А — колъцо главных идеалов* и, слеповательно, кольцо дискретного нормирования, (показать, что А целостное, замечая. что йт /) Ш" л й Ш", откупа /) Ш" = О) . и п я г) Показать, что кольцо А [ [ Т [ [ регулярное. 14. Пусть А — кольцо, я — идеал в А. Рассмотрим косокоммутативиую гралуировэнную (А/Е )- алгебру тот (А/е . А/а ) (см.
с.141, упрюхнение 9) и гомоморфизм градуированных (А/я )-ал- А гебр э: АА/ (4/е ') тот (А/е, А/и ), получаемый из изоморфизма а/ а* тот, (А/е, А/е ) (с. 79) . показать, что если илеэл а порожпается последовательностью, являю3цейся полным пересечением для А, то э — нзоморфпзм. 15. Пусть А — ябтероео кольцо, а — идеал, содержащейся в рацнкале кольца А. Препположим, что А/я-модуль а/ е' свободен и что гомоморфизм в,: А', / ( а/ а*) тотА (А/я, А/а ) (упражнение 14) сюръектнвен, Показать, что а порождаетсл последовательностью, являющейся полным вересеченнем для А.
(Если х — минимальное семейство порождающих в я, то показать с номошью упрюкненнл 7 (или непосрепсгвенно), что модуль со!сет (в,) изоморфен и, (т, А) еА А/а .) 16. Пусть А — нйгероео локальное кольцо, 3 — его максимальный идеал, /с = А/Ш. Показать, что гомоморфнзм градуированных /с-алгебр в: Аа(ап/в*) тотд(/с,й) ннъектнвеи; если отображение а, биективио,то кольцо А регупнрное (упражнение 12). (Если х — мннималыюя система порождающих ндеапа ш, то показать, что комплекс К (х, А) упоэпетворяет условиям упражнения 14, с. 67-68; использовать Упражнения 4 и 15.) $ !7. Пусть А — колъцо.
для которого Амодуль Ат ИМЕЕТ кОНЕЧнУю ихьекгиеяую размерность (с. !52, упражнение 41 регулярное локальное кольцо (упражнение ! 2) обладает этим свойством) . а) Пусть х — элемент, который ие является делителем нуля и необратим в А. Показать, что б!А/Ах (А/Ах) = ГНА(А) — 1. (Пусть О А 1' 1' ... — минимальная инъективная резольвента (с. 67, Упражнение !1) для А; показать, что комплекс нощА(А/Ах,!') ношА(А/Ах, !з) ... опрепеляет минимальную инъективную резольвенту (А/Ах) -модуля А/А х ) б) Предполагаем, далее, что А — ящерово локааьяое кольцо. Показать равенство Гй (А) = ргоГ (А) (упражнение 11; провести индукцию по Гй (А)). в) ПУсть х = (х„..., х„) — последовательность, нвпающаяся полным пересечением лля А, содер.
жашаяся в максимальном ицеапе кольца А, причем и = ГЕ(А). Показать, что кольцо А/(х) самояяьекгиеяо (с. 28,упражнение 26). 18. Пусть А — иетерово кольцо,%' — устойчивое множество классов А-модулей (с. 43), х = (х,,... ..., х„) — послеповательность элементов из А, у — идеал, порожденный послеповательностью х.
()бозиачим через юх множество элементов из Ж, аннулируемых ипеалом У . Пусть М вЂ” А.мопуль конечного типа. а) Показать, что для всякого 1 в О существует такой элемент м3 .в гб», что (-!)а[Нюх (х, М)[ = [М,[ авв в К (Жх) (провести индукцию по л, используя предложение 4, с. 163; в случае я = 1 рассмотреть последовательные степени зипоморфизма (х, ) м ) . б) Препноложнм, что модуль А/У имеет конечную длину.
Показать, что существуют такие положительные целые числа т/ г! х О),что 1опб Н( (х, М) =хе/ + гл/+3. УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ (С,с() 30 С„,С" 30 Е(С,с1),2„(С,с(), В(С,с(), В„(С,с1), Н(С), Н„(С, с1), Н" (С, с1) 31 Н(и), 2(и), В(и) 32 С(р) 32 А(е) 32 д„„,д 34 Соп(и), СУ1(и) 40 К(Ф), 1М!са, 1М) 43 Х,(М) л(М) 43 17 47 ЦМ), $.(Д 56 !(М), !(г ) 58 В(А,М) 62 Сэ, С70 7(С,С ): Н(С) эл Н(С )-+ Н(С эл С ) 71 а(С,С') 71 Тогл(М Н) 75 Тогл(К,8) 75 Фм(%*гси(М) 76 ам,ы 78 Ногпдгл (С* С ') 88 ЦС,С') 89 Ехгл(М, Н),Ехг" (М,Х) 92 ум (Н)"р к(М) 93 8(М,В)95 б(1,Х) 96 Ф(8, К), Ф(Н, Е) 103 Ф'(Вс, Вс),а'(Вг,Ес) 104 Н" (О, М), Ни(О, М) 111 ам,н 121 см и р, и о о 122 8 со(РЖ), д"'(Ж, Р) 132 ерд;м !33 се;м,и 134 ди,(Р,Ж ), д,„($с, М) ! 35,! 36 Ь Ч Ь', а Та'140(упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
