Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Часть б) вытекает, если рассмотреть згу же гомологическую точную последовательность, из следующей леммы: Л е м м а 5. Пусть М-+Х- Р-+0-~К вЂ” точная последовательность Амодулей. Если '6 устойчиво и если М, 1ч', 1г, К вЂ” модули типа Ж, то модуль Р также типа Ж. Положим г! =Со1сег(М- 14) и Я = Кег(О- В). Модули г! и О типа»',иимеем точнуюпоследовательность О- 1! - Р- 0 — О.
Следствие. Предположим, что Ж устойчивое, и пусть и: С'~С вЂ” морфизм комплексов, для которых Н(С) и Н(С') ограниченные типа Ж. Тогда Н(Соп(и)) ограниченный типа 'й' и Х(Н(Соп(и)) = Х(Н(С)) — Х(Н(С )). 5 2. Комолексм А.модулей Это следует из предложения 12, примененного к точной последовательности комплек- сов (с. 41, предложение 7) 0-+ С -+ Соп(и) -+ С ( — 1) -+ О. 3 а м е ч а н и е. Пусть Š— комплекс, И: Е.+ С и И': Е -+ С' — гомотопизмы, где С и С' ограниченные типа й . Тогда имеем: Х(С) = Х(С') . Действительно, если И| — мор- физм, обратный к И с точностью до гомотопни, то И е И, — гомотопизм, следовательно, гомологизм С в С", и можно применить предложение 10.
Следовательно, можно распро- странить определение 8, положив Х(Е) = Х(С), когда существует гомотопиэм Е на огщс- ниченный комплекс С типа с(. Предложещ|я 10, 11, 12 и их следствия обобщаются на эту ситуацию. Прело жемса: Пусть Х вЂ” топопо(нческое пространство, допускающее конечное клеточное разбиение (см. п. 3). а) пусть к и к' — деа пони, поаоамм ьс = 61юк (ис (х, к)) и ьс~ = а|юкО(с (х, к) ). ие обюапе ь ь|, ио х(-И ьс= х(-йь|'. | с, б) Пусть (Х„) и (Х,',) .— даа конечных илеточнмх разбиенан простренстаа Х, и обозначим врез с„и с'„мспо клеток разме риосзи и е этих двух разбиениих. Имеем: х(-П с| = х(-П с,.'.
| и) В обозначениахиз а) и б) имеем: х(-1) с|" х(-1) Ь|. Свойства а) и б) следуют из а), а е) следует из предпоненин 11, примененного к комплексу Г, описанному а п. 3, если е качестве Ж азать класс векторных К-пространста конечной размерности из иачестае и фунииию, при которой р([М)) были(М) (с. 43, пример))., 9. Комплексы правых модулей, комплексы мультимодулей Комплекс правых Амодулей — это градуированный правый А-модуль (М„)„ наделенный градуированным эндоморфизмом сс степени — 1 с нулевым квадратом; таким образом, зто комплекс модулей над кольцом А', противоположным А. Все определения и свойства, сформулироващсые в предыдущих пунктах, слесювательно, применимы к комплексам правых модулей, рассматриваемым как комплексы молулей над колыюм А'.
Кроме того, если А и  — два кольца, то комплекс (А, В)-бимодулей — зто градуированный (А, В) .бимодуль М, наделенный градуированным зидоморфизмом д степени — 1 с нулевым квадратом; если М наделить его канонической структурой левого А ох В'-модуля, то сс определяет на М структуру А ох. В'-комплекса, Все определения и свойства, сформулированные в предыдущих пунктах, применимы, следовательно, к комплексам бимолулей. Аналогичным образом определяются комплексы мультимодулей. 10. Пример: ко»шнеке де Рама В этом пункте мы предполагаем, что А — кдммутативатл И-алгебра над некоторым коммутативиым кольцом с|. через й || с» ь(ы обозначаем А-модуль и-дифференциалов алгебРы А (1П, Р.
134), чеРез сс~: А - йи)» — И-ДиффеРенциРованне с(ЯС» и чеРез й а(» — градуированную И-алгебру Ах (йй С») ° П р е д л о ж е н и е 13. Существует единственное Сс-ангидифференцирование |С: йлС» -+ й|,С» степени 1 с нулевым квадратом, которое продолжает дифференцирование с(~: А-+ й,'~С». Докажем единственность аитидифференцирования В. Так как с(е ст=0, то для у, х,,..., хр Е А имеем: сс(уссхс Л... Лс(хр) м с|у Лс(хс Л...
Лс(хр. Так как А-модуль йиРС» поровщается злемеитамн с(хс Л... Л |(хр, это доказывает единственность ст. , з 2. гтоиилгксы А-гюдуяса Для доказательства существования достаточно построить /с-гомоморфизм с/': Й),/»~ .ойАз/», удовлетворяющин условиям: с/! е до = О и с/'(асо) жсс~(а) Л ш+ас/'(ш) для а ЕА, соЕЙ)ь/». (11) Действительно, тогда из П1, р. 128, ргор. 14 (с учетом 1П, р. 118, гепюгйпе 2) следует, что существует антиднфференцирование д: ЙА/» -ьЙА/», совпадавшее с до в степени О и с й! в степени 1. Так как с/о нулевое на /с, то ангидифферыщирование сс й-линейно; так как с/' е с/~ = О, то д е с/ = О, поскольку ЙА/» порождается как А-алгебра элемени деа для а ~ А.
Дпя определения с(' напомним (1П, р. 133), что модуль ЙА/» равен А-модулю о/:1~, где,1 — ядро умножения лк Ае»А А, Рассмотрим /с-линейное отображение и: А э» А ьЙзА/», прн котором и(х еу) =с(~(у) Л й~(х). Имеем: и(ахеу-хэау) с/е(у) Л срз(ах) — с1'(ау) Л сиз(х) да(ху) Л с/о(а) дпя х,унана А,опсуда и((а э'1 1 э а)») =с/о(гн(8)) Л до(а), 3Е Аэ» А, а ЕА. (2) где н(1, 1) обозначает число элементов в 1, меньших !.
Следовательно, циклы из г.~(ЙА/») — зто такие элементы ш = Е Р! ЫХ,, что Сатй ! !) = р для всякого подмножества Ю в [1, и), содержа)пего (р+ 1) элементов, Е ( — 1)"ПА) О. ЬР! (, си! ЗХс Элемент ш.является границей, если для всякого подмножества 3 С [1, н), содержа- щего (р — 1) элементов, можно выбрать многочлен О! Е А так, что Р = т. ( 1)л!)А) аа! ЬХ, Мы увидим в 3 9, что комплекс де Рама алгебры А над /с ациклнчен в степенях ) О, если й — Я-алгебра (с. 166, замечание 4) . 'При ме р 2. Предположим, что» = С и А С1Х,, ..., Хл1/!Р,,..., Р„), где Р! — такие мно- точлены от Х,,;...
Хн, что множество точек в С", в которых все Р! обраснмотся в нуль, представ- ляет собой аналитическое подмногообразие Ч в С". Можно показать, что когомологнл де Рама алгебры А над С изоморфна сингулярной когомологлл Н (Ч, С), „ Так как 1 поролшается как правый А-модуль злементамн (а э1 — 1 эа) для аЕ А, то отспша выводим, что и(3 ) = О, следовательно, и посредством ограничения на ;1 и перехода к фактормодулю определяет /с-линейное отображение д: ',)/',1' -е 11А/». Положив в (12) $ = Ь э 1 с Ь Е А, получим, что с/'(Ьда(а)) = до(Ь) Л с/~(а); отсюда следует, что д' е с/е = О н д(ссо) =до(с) Л со+ сс1 (ш) для с Е А н с з= Ьсго(а). Так как Й)с/» порохшается как й-модуль элементами Ьдо(а) для а и Ь из А, то формула (11) выполняется для всякого озЕ ЙА/», что завершает доказательство предложения.
элементы сне Щ!» иногда называют вненгними дисрфаренниальными формами степени р на А над /с, а антнднфференцнрование, с/ — вне!илим диффаранииалом на ЙА/», комплекс (ЙА)», д) называется комплексом де Рама алгебры А над й, а его гомолопся — когомсаогией де Рама алгебры А над и П р и м е р 1. Возьмем в качестве А кольцо й [Х„..., Х„[. Тогда Й)с/» — свободный А-модуль с баэясом дХ„;, дХ„(П1, р.
134, ехешр1е) . Следовательно, если для вся- кого подмножества 1=(г„..., ср) в [1, н! положить.дХ)жс/Хг Л ... Л с/Хс (где р ! 1, «... ср), то А-модуль ЙА»» имеет в качестве базиса элементы дХ), где! пробегает множество'подмножеств в [1, н) мощности р. Имеем: с/(РдХт) др Л с(Х! = 2' ( — 1)"с ' — ЫХ! сз(с), „,А ЬР с)Ь! ЬХс б 2. Комплексии.модуле) 47 Пусть теперь М вЂ” А-модуль и Чо — 7с-линейное отображение М в М еА йлзрм для которого Чо(ат) =аЧо(т)+т еда прн ее А, те М (13) (иногда говорят, что Ч о — связность на А-модуле М) . П р е дл о же н и е 14. (1) Суи(ествует единственное градуированное степени 1 )с-линейное отображение Ч правого йА7»-модуля М ея йч(» в себе, которое продол- жает Чо в степени 0 и удовлетворяет тождеству Ч(хсс) (Чх) щ+( — 1)" х(с(ьз) для х ЕМ елй А(», со Ейл(».
(14) (И) Композицил Ч Ч пРедставллег собой йза)»-линейное отобРажение; в част- пости, отображелиеЯ =Ч' е Чо модуля Мв Меяйл(» А-линейно, и Ч еЧ(.т еьз) =Я (т) ьз для т ЕМ, ьз Ейл(». Гомомор$изм Я иногда называют гомоморсбизмом кривизны, соответствующим связности Ч; если он нулевой, то пара (М еА йА(е», 17) представляет собой комплекс, также называемьсй комплексом де Рача пары (М, Ч ) лад )с. Докажем (1). Единственность Ч очевидна.
Определим 7с-гомоморфизм 17 модуля Ме» йя(» в Мел йА)», положив Ч(те~со)=(17от)со+тедьз для тЕМ, озЕйА(». Из (13) следует, что Ч(атеьз) Ч(теасс), так что мы получаем посредством перехода к фактормодулю градуиьоованный степени 1.(с-гомоморфизм ч модуля м еА йА)» в себя, продолжающий ч в степени О. проверим (14): для те м, и е й„", оса йА)» имеем: Ч((т е а) ° со) Ч(т е (а Л ьз)) = Чо (т) ° (а Л со) + т е с((а Л со) = Ч о (т) а ° со + (т е да) со + ( — 1)" (т е и) с( са (Ч(т на)щ +( — 1)Р(т еа)с(сс, что лрказьвает (14) при х = т е а; общий случай выводится по линейности. Докажем (И) . Пусть х е М еА йдд(», щ е йА(» ' повторным применением тождества (14) получаем: Че Ч(хсо) Ч(Ч(х) со+( — 1)РЧ(хдса)= (Ч е Ч (х)) ьз + (-1) Р + ' Ч(х) (с( сс) + ( — 1) Р Ч(х) (с(со) = (Ч е Ч (х)) оз, что доказывает первое утверждение из (й); друпсе выводятся непосредственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
