Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Обратно, всякий ннъективный подмодуль Х в 1 является инъективной оболочкой модуля ! ОМ. П р е д л о ж е н и е 14. Пусть 1 — ненулевой иньективныи А-модуль. Счсдующие услович эквивалентны: (1) 1 неразлохшм (Ч11, й 4, и' 7, де(. 3); (П) О не представляется в виде пересечения двух ненулевых подмодулей в 1; (1!!) 1 — иньективная оболочкавсех своих ненулевых подмодулей; (1ч) кольцо Епдл(1) локальное (ЧП1, 5 1, п*4, бей 4).
(1) (ш): пусть М вЂ” ненулевой подмодуль в 1. Согласно замечанию 2, существует ииъектнвный подмодуль 1' в 1, служащий инъективной оболочкой модуля М. Так как 1 — ненулевое прямое слагаемое в 1, то 1 = 1, если 1 неразложим; (ш) (!1): пусть Е и à — два подмодуля в 1, для которых Е О Г = О. Если Е Ф О, то 1 — инъективная оболочка модуля Е согласно (ш); следовательно, "Е О Г =О" влечет и "Г = О" (11) (1): тривиально (1ч) ы ( !): это следует из ЧП1, 5 1, и'6, ргор. 13. (!) ы(1ч): предположим, что 1 неразложим. Отметим сначала, что всякий инъективный эндоморфнзм Х' модуля ! биективен (так как тогда Х'(1) — ненулевое прямое слагаемое в 1).
Кроме того, всякий эндоморфизм !' модуля 1, ограничение которого на какой-либо ненулевой подмодуль Е в 1 инъективно, инъектявен (действительно, так как (1) ~ (ш), то 1 — инъективная оболочка модуля Е; следовательно, "Е О Кету = О" влечет '"КегХ'= О"). Пусть теперь У вЂ” необратимый элемент из Епдя (1); согласно ЧП1, 11, и 4, ртор. 9, достаточно доказать, что элемент 1 — Х' обратим.
Так как зндоморфизм Х' не ннъектнвен, то Кег,р Ф О; так как ограничение эндоморфизма 1 — Х' на Кег)' инъективно, то 1 — Х инъектнвен и, следовательно, биективен. С л е д с т в и е 1. Отношение "1 есть класс неразлохсимых иньективных А-модулей" является коллективизирующим Действительно, согласяо (ш), всякий неразложимый инъективный А.модуль является инъективной оболочкой некоторого моногенного А.модуля. Сл е ц с та и е 2. Пусть Ч вЂ” А-модуль, ! — инъективная оболочка модуля М. Дтя того чтобы модуль 1 был неразложим, необходимо и достаточно, чтобы О не представлялся в виде пересечения двух ненулевых подмодулей в Ч.
5 б 2!онол нательные сведения из линейной алгебры Условие необходимо согласно предложению 14 ((1) ~(11)), Обратно, если !в прямая сумма ненулевых подмодулей 1~ и 1з, то 1, гэ М Ф О, !з Гт М чь О и (1, г! М) Й (1з Гт М) = О. П р н ме р 2. Если А — нетерово коммутативное кольцо, то неразложимые инъектнвные А-модули — это в точности инъективные оболочки модулей А/р, где р простой идеал (с. 29, упражнение 27) . 1О. Структура инъективиых модулей Л е м м а 4. Пусть М вЂ” ненулевой петеров А-модуль, 1 — иньективная оболочка модуля М.
Тогда 1 обладает неразложимым иньективным нодмодулем. Можно, очевидно, предполагать, что М вЂ” подмодуль в 1. Пусть Х вЂ” поцмодуль в М, для которого 1 не является инъективной оболочкой и который максимален относительно этого свойства. Согласно замечанию 2 (с. 23), существует подмодуль 1~ в 1, служащий инъективной оболочкой модуля Х; тогда 1~ — прямое слагаемое в 1, пусть Х— 3 его дополнение. 3 Ф О; покажем, что модуль У неразложим. Если У вЂ” ненулевое прямое слагаемое в 3, то ! ' О М чь О н (1'г~ М)л Хс1'а!, =О. Подмодуль Х (У' й М) + Х в М является прямой суммой 3 О М и Х и, следовательно, строго содержит Х.
Кроме того, Х содержится в подмодуле 1 ь 1„который является прямой суммой 1 и 1,, следовательно, инъективен. В силу максимальности Х это влечет, что Ю + 1~ = 1; следовательно, 3 = 1, и Ю нераэложим. Обозначим через У множество (с. 23, следствие 1) классов неразложимых инъек тнвных А-модулей. Напомним (с. 20, следствие 1), что если кольцо А нетерово слева, то всякая прямая сумма ннъективных А-модулей представляет собой инъективный А-модуль.
Т е о р е м а 3, Пусть 1 — иньективный Ачиодуль. а) Если 1 — иньективная оболочка нетерова А-модуля М, то 1 — прямая сумма конечного семейства неразложимых (иньективных) подмодулей, б) Если кольцо А нетерово слева, то 1 — прямая сумма некоторого семейства неразложимых (иньективных) нодмодулей. в) Если 1 — прямая сумма неразложимых (иньективных) нодмодулей, то суи1ествует, и единственное, такое семейство кардинальных чисел (ав)нн т, что модуль 1 изомор1бен модулю Е Е<н>, пни Отметим сначала, что в) следует из предложения!4 (с.
23) и изЧ1П, ! 1, и'7, гЛ.2. Докажем а) . Пусть Х вЂ” подмодуль в М, инъективные оболочки которого представляют собой прямую сумму конечного семейства неразложимых подмодулей и который максимален относительно этого свойства (такой существует, поскольку М петеров). Согласно замечанию 2 (с. 23), существует подмоцуль 1, в 1, служащий инъективной оболочкой модуля Х. Если 1~ =1, то доказательство закончено; в противном случае пусть У— дополнение к 1~ в 1.
Тогда Ю вЂ” ннъективная оболочка нетерова модуля ! О М (замечание 2, с. 23), следовательно, обладает неразложимым инъектнвным подмодулем !' (лемма 4). Тогда модуль 1~ + ! иньективен, представляет собой прямую сумму конечного семейства неразложимых подмодулей и является инъективной оболочкой подмодуля (1~ + 1 ) О М в М, который строго содержит Х, откуда получаем противоречие. Предположим, что А нетерово слева и докажем б). Пусть Х вЂ” множество, представляющее собой объединение множеств Нощя(Е, 1) для ЕЕ о . Каждому подмно.
жеству У в Х следующим образом сопоставим А-модуль Еу и А-гомоморфизмту'. Еу 1: У есть объединение семейства (У(Е))нп т, где У(Е) С Нощл(Е,!); положим Е = ю Е<У1'й Ъ- нп,у 25 а 1. Дополнительные сведения из линейной алгебры и ограничение 1» на прямое слагаемое в Еу, соответствующее элементу у иэ У(Е) С С Нощл(Е, !), есть у: Е-+1. Пусть Ъс — подмножество в Х, дяя которого гомоморфизм у» инъективен и которое максимально относительно этого свойства (такое подмножество существует согласно Е, 111, р.
20; Теория множеств, 1И, с. 177); достаточно доказать, что т» биективно. В противном случае пусть Я вЂ” дополнение инъективного подмодуля )т((у) в 1; так как модуль 2 ненулевой, он обладает ненулевым нетеровым подмодулем (поскольку кольцо А предполагается нетеровым) и, следовательно, ненулевым инъективным подмодулем Ю', являющимся инъективной оболочкой нетерова модуля.
Согласно а), з — прямая сумма непустого конечного семейства неразложимых подмодулей. Следовательно, существует непустое конечное подмножество !" в Х, для которого уу отображает биективно Еу на Х'. Так как !ш(!») Г) 2 =О, то УГ) У лфи гомоморфизм)»г,» инъективен; это противоречит максимальности У и завершает доказательство. Упражнения 1. Пусть м "~ы Р 0 с М' )Ч' Р' -~ Я' — коммутативиая диаграмма А-модулей с точными строками; предположим, что гомоморфизм и сюръективен, а с ииьективен. Доказать, что Кет (н ) = г(Кег(е)), !т(е! = г (1пс(е)).
2. ПуСтЬ И: М-с)Ч, О: )Ч Р вЂ” дна ГОМОМОрфИЗМа А-Мсдупсй. ПОКаэатЬ, Чтс Сущеетнуст тОЧная последовательность 0 Кег(и) Кег(и и) Кег(о) Стсйег(сс)-ъ Со)сег(е и)-с Сойег(е) О. 3. В диаграмме А.модулей Р М и обязательно ли коммутативность двух извлеченных из диаграммы треугольников влечет коммутативность ли а граммы! 4. Пусть )г — поле, В =(г)Т), А — лодкольцо х [Т'. Т') с )г[Т ).
Показать. что  — А-модуль без кручения, но не является плоским А-модулем. 5. Пусть» — поле, С =Ь)Х, У];рассматриваются полкольца А 4 йг)Х', У'), В "я[Хе, Х У, ХУ'. У') и В= Ь1Хс. Хсу, Хс Ус, ХУ», У' ) в С Вклю юния А С В С В позволяют определить на В и В структуры А-модуля. Показать, по В - плоский А-модуль. е то время как А-модуль В не является плоским. 6. Показать, что А-модуль Е являстсл плоским, если и только если он удовлетворяет следующему условию (ср, с, 18, замечание): (В") Для всякого конечного семейства (с!)( !элементов из А всякое рещение е =(е!),. !Уравнения Ес ег = 0 можно записать в виде з, Ь, +... + елЬгл где Ь,,... Ьн и Е и где.
лля г = 1, ... (и! ...,л, зг=(ге с)си! является решением уравнения Е см,(=0. сп! 7. Пусть Š— моноид и Б — устойчивое подмножество в Е, регулярное и удовлетворяющее предположениям упражнения 17 нз П1, р. 121, так что существует *'моноид частных" Е и ииъективный гомоморфизм е: Е Е.Пусть А — коммутативное кольцо. Гомоморфизм е инлуцирует гомомор- (Е) физм моноидных ангебр и: А А(е), который позволяет рассматривать А(е) как левый А -модуль.
Показать, что зтот модуль плоский нед А (лредставить А как направленный (Е) (Е) (Е) индуктивный предел свободных А -модулей ранга 1) . (Е) '8. Пусть А — кольцо непрерывных функций с вещественнымн значениями на интервале 10, 1). а) Показать, что идеал функций, обращающихся в нуль в О, является плоским А-модулем (показать, что он представляет собой направленный индуктивный предел идеалов Ай где! — функ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
