Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра (947363), страница 6
Текст из файла (страница 6)
19). Пусть Š— делимый А-модуль; предположим, что А — кольцо главных идеалов (соответственно Š— модуль без кручения) и докажем, что Е иньективен, применив предложение 10. Пусть а — идеал в А ит': а- Š— А-гомоморфизм. Пустьхе а и а=Ах (соответственно хчь.О, если а чьО), и пусть ее Š— элемент, для которого '1 То есть коммттьтяьное кольцо беэ делителей нуля. — Примеч нер. 1 Ь Донолянгельяые сееаення вз лянейной алгебры хе м1(х). Докажем, что у(а) мае дпя всякого а Е а; зто очевидно, есин аЕ Ах, откуда следует утверждение в случае, когда А — кольцо главных идеалов„если Š— модуль без кручения и если а Е я, то х1 (а) =! (ах) = а хе, следовательно, Т(а) = а е, так как х Ф О, когда а Ф О. П р и м е р ы. 1. Если А — целостное кольцо, то его лоле частных К вЂ” инъективный А-модулан Если А — кольцо главных идеалов, то К/А — инъективный А-модулгн 2.
Например, Е-модули О и О/Х иньективны. 3. Пусть А — кольцо главных идеалов и пусп а — ненулевой злемент из А. Тогда А/аА — инъективный А/аА-модуль (с. 27, упражнение 20) . 8. Инъективные копорождающие Предложение 11. Пусть  — кольцо, Р— В-модуль и Р— (В, А)-бимодуль. Если Р— иньекгивный В-модуль и Р— плоский правый А-модулаь го Нота (Р, Р)— иньективный А-модуль. Пусть и: М -+М вЂ” инъективный гомоморфизм А-модулей. Имеем коммутативную диаграмму Н (М, Н (Р. Р)) ' ' Н (М'. Н (Р.
Р)) й~ Н,(РЕ,М.Р) ' ' ' Н,(РЗ,М'.Г), где /) и 1)' — канонические изоморфизмы из П, р. 74. Так как Р плоский над А, гомоморфизы 1р э и: Р эАМ'- РэАМ инъективен. Так как модуль Р инъективньй, то гомомоРфизм (1р э и, 1р) сюРъективен, следовательно, гомомоРфизм Ногая (и, 1) также сюръектнвен, а зто доказывает, что Нота(Р, Р) — инъективный А-модуль (с. 19, лемма 3) . Определение 3. Говорят, что А-модуль Е является копорозядающим, если для всякого А-модуля М и всякого ненулевого элемента х из М существует А.гомоморфизм и: М -+ Е, при котором и(х) Ф О.
Говорят, что А-модупь !. является норожсеющям, если дня всякого А-модуля М н всякого зпс. мента х яз м существует Агомоморфнзм и: ь ~м, прн котором хн МОьь например, Амодупь А является порождаю)пнм. Предложение 12. Пусть Š— иньекгивный А-модуль. Для гого чтобы Е был копорождающим, необходимо и достаточно, чтобы Ногая (Б, Е) чь О для всякого простого А-модуля Б. Условие, очевидно, необходимо. Обратно, пусть М вЂ” А-модуль и х — ненулевой зпемент из М, подмодуль Ах модуля М обладает простым фактормодулем Б (ЧШ, 1 2, и'1, ргор.
3; Алгебра, ЧП1, с. 146, предложение 2). Если Нота(Б, Е) Ф О, то Ноту,(Ах, Е) чьО и существует гомоморфизм У: Ах- Е, при котором У(х) ФО; так как Е инъективен, тоУ'продояжается до гомоморфизмаи из М в Е и и(х) мр(х) Ф О. П р и м е р. Инъективный Х-модуль 1)/Х (пример 2, выше) является копорождаюшим. Действительно, всякий простой Х-модуль изоморфен модулю Х/рХ, р чь О, и модуль Ноту (Х/рХ, 1)/К ) ненулевой (он содержит, например, отображение, получаемое переходом к фактормодулям из гомоморфизма х +х/р модуля Х в О) . П р е дл о ж е н и е 13. Пусть  — кольцо, Р— иньекгивный В модул(ь являющийся копорождающим, Р— (В, А)-бимодуль.
Предположим. что Р плоский над А и что Р э А Б чь О для всякого простого А-модуля Б (* г.е. строго плоский над А в смысле АС, 1 (Коммутативная алгебра, 1, с. 53) а). Тогда А-модуль Нота(Р, Р) является копорождающим и иньекгивным Действительно, А-модуль Ногин (Р, Р) инъективен согласно предложению 11. С другой стороны, для всякого простого А-модуля Б Е-модуль Нотя(Б, Ноши(Р, Р)) изоморфен Нота(рэАБ, Р) и, следовательно, ненулевой, так как РэАБчьО и В- модуль Р является колорождаюшим; А-модуль Нота (Р, Р) является, таким образом, копорождающим согласно предложению 12. ь 1.
Дополнительные сведения из линейной ллгебры Следствие 1. А-модуль Еа = Ноту (А, О/Х) инъекгивен и является копорохдающим. Применяем предложение 13 с В = Х, Р = О/Х (см, пример) и Р = Аа. Для всякого А-модуля М положим !а(М) = Е нсм(м,кя) А и пусть ем. .М-+1а(М) — гомоморфизм, сопоставляющий элементу п)ЕМ элемент (ч(т)),~нот(м,кд) Е 1'(М). Тогда: Следствие 2. А-модуль 1с(М) инъекгивный и А-гомоморфизм еы. Мь1~(М) инъекгивен. Действительно, 1а(М) инъективный, так как ЕА инъективный (с.
19, предложение 9); с другой стороны, ем инъективен, так как Еа — копорождающий. Сл е де т в и е 3. Всякий А-модуль изоморфен подмодулю иньективного А-модуля. Следствие 4. гтгтя того чтобы А-модуль Е был инъективным, необходимо и достаточно, чтобы всякий инъекгивный А-гомоморфимэ/'; Е л'Г обладал А-линейной регракцией. Предположим, что Е инъективен, и пусть/': Е ~ Р— иньективный А-гомоморфизм.
Тогда отображение Ношя(/; 1к): Нопал(Р, Е) — Ношя(Е, Е) сюрьективно, следовательно, существует гомоморфизм гЕ Нотл(Р, Е), для которого гс/'м1к и г— А-линейная ретракция для /'. Обратно, существует инъективный А-модуль 1 и ннъек. тинный А-гомоморфизм /': Е г! (следствие 2); если у обладает А-линейной ретракцией, то Е инъективен согласно предложению 9 (с. 19) . 9. Инъективиые оболочки Определение 4. Пусть М вЂ” А-модуль. Инъекгивнал оболочка модуля М— зто пара (1, 1), где 1 — инъективный А-модуль и !: М - ! — гомоморфизм, обладающий следующим свойством: (Е) для того чтобы подмодуль Р в 1 был нулевым, необходимо и достаточно, чтобы его полный прообраз г' '(Р) был нулевым.
Отметим, что (Е) влечет инъективность:г. Часто М отождествляют с подмодулем г (М) в 1, и тогда говорят, что 1 является инъективной оболочкой модуля М. П р и м е р 1. Предположим, что кольцо А целостное н М вЂ” А-модуль без кручения. Пусть К вЂ” поле частных кольца А и г: М -+К ил М вЂ” канонический гомоморфизм. Тогда (К вя М, г) — инъективная оболочка модуля М (П, р. 116, ргор. 26, а также следствие 2 на с.
20) . Те о р е ма 2.Пусть М вЂ” А-модуль. а) М обладает иньекгивными оболочками. б) Если (1, г) и (3, /) — две иньективные оболочки модуля М, то существует иэоморфизм/': 1-+3, для которого/с г =/. Отметим. что гомоморфиам А существование котсрсгс утверждается а б),вообще гсаора ис определен однозначно.
а) Можно прецполагать, что М вЂ” подмоцуль некоторого иньектнвного А-модуля Е (следствиеЗ,выше). Рассмотрим упорядоченное по включению множество У подмодулей 1 в Е, содержащих М и для которых каноническое вложение г: М- 1 удовлетворяет свойству (Е). Так как Уиндуктивно, оно обладает максимальным элементом (Е, 1П, р. 20; Теория множество, П!, с. 177); пусть 1 — некоторый максимальный элемент вУ, Достаточно доказать, что подмодуль 1 является прямым множителем для Е. Пусть Х вЂ” подмодуль в Е, для которого Х О ! = 0 и который максимален относительно этого свойства (такой Х существует согласно Е, П1, р. 20; Теория множеств, Ш, с. 117) . Композиция гомоморфизмов ! -+Е- Е/Х, где и и о — канонические гомоморфизмы, инъективна; так как Е инъективен, то существует гомоморфиэм ии Е/Х ьЕ, для котсрого юь и с и=и, т.е.
же о(х)= х дпя з 1. доиолиитеиьиыг свеавиил из линейной алгебры хЕ1. Положим 1 =1щ(н) ы!щ(зиь о), и пусть 1: М-+1 — каноническое вложение. Тогда 1С 1'; чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что !' удовлетворяет условию (Е); это повлечет за собой, что 1 и1' (ввиду максимальности 1) и, следовательно, что ю и о — проекция Е на 1.
Пусть, таким образом, Р— подмодуль в 1', для которого РО М =О. Имеем: Р= = ю ь и(0), где 0 — некоторый подмодуль в Е, содержащий Хч; кроме того, ОО М =н'и о(ОО М) С РО М =О, следовательно, О О 1 = О, так как 1: М ~! обладает ьззойством (Е) . Ввиду максимальности М, это влечет О=1ч, т.е. оЯ) =О, следовательно, Р=О, что и требовалось доказать. б) Пусть (1, !) и (Х,1) — две ииъектнвнью оболочки модуля Ч. Так как Х инъектнвен, то существует гомоморфизмХ: 1- Х, для которого Х и ! =1; имеем: 1 '(Кег)') = Кет! О, следовательно, Кег) иО и Х инъективеи. Тогда Х(1) — инъективный подмодуль в Х и, следовательно, прямой множитель; так как 1' удовлетворяет (Е), то Х'(1) =Х и Х' биективен. 3 а меча ни я. 1.
Пусть (1, 1) — инъективная оболочка модуля М и 1: М-+Х— инъективиый гомоморфизм из М в инъективный А-модуль Х. Согласно предыдущему доказательству, существует иньективныи гомо морфнзмт: ! ~ Х, для которого Х ь 1 =1. 2. Пусть (1. !) — инъективная оболочка модуля М. Отождествим М с подмодулем 1(Ч) в 1, Дтя всякого поцмодуля !ч' в М существует инъективный подмодуль в 1, служащий инъективной оболочкой модуля !4 (применить замечание 1 к Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
