Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 86
Текст из файла (страница 86)
А это будет установлено, если известна непротиворечивая теория 7'г, в которой как высказывания А) (у'Ф!), так и „не А," суть теоремы; таким образом, эту проблему можно рассматривать в двух аспектах в зависимости от того, признаем мы или не признаем некоторые теории (например, арифметику или теорию множеств) непротиворечивыми. Во втором случае мы имеем дело с проблемой .абсолютной' непротиворечивости. Напротив. проблемы первого типа решаются, кзк проблемы „относительной" непротиворечивости, построением соответствующих „моделей', и многочисленные доказательства этого сорта были придуманы еще задолго до того, как математика приобрела полностью формализованный вид: достаточно напомнить модели неэвклидовой геометрии, вопросы независимости аксиом элементарной геометрии, изучавшиеся Гильбертом в его „Сгцпб1аееп бег Сеоше(- Не' [15[, а также работы Штейница по аксиоматизации алгебры и Хаусдорфа и его последователей по аксиоматизации топологии').
Говорят, что теория 7' полна (сагвдог!!7ие), если для всякого высказывания А теории,T (не содержащего никаких букв, кроме констант теории 1) одно из двух высказываний А, (не А) есть теорема теории,7э). Если оставить в стороне некоторые весьма рудиментарные формализмы, полнота которых легко доказывается ([16[, стр. 35; ср. гл. 1, приложение, упр. 7), результаты, полученные на этом пути, в основном отрицательны; важнейшим из них мы обязаны Гбделю (К.
Сббе!) [12а[, который показал, что если ! не противоречива и если аксиомы формализованной арифметики являются теоремами теории 4У, то ! неполна. Основная идея его изобретательного замысла состоит в установлении взаимно однозначного соответствия (разумеется, при помощи „финитных методов") между метаматематичес- ') Неоднократно поднимался вопрос о независимости аксиомы выбора н гипотезы континуума (относительно других аксиом теории множеств, например, в системе Цермело — Френкеля или в системе фои Неймана — Бернайса — Гбделя); поиски теорем, эквивалентных той или другой, были одной нз излюбленных тем польской школы (см цг.
5!егр!пэк1, Иеголз зиг !ез иотБгез ггапзугл!з (Париж, 1929) н И'дура!леве аи сиянии (Варшава, 1938), где имеется обширная библиография). Френкель [43б[ построил модель теории множеств, в которой аксиома выбора не выполняется, но аксиомы этой теории не совсем совпадают с аксиомами предыдущих систем; его работы были продолжены Чарчеи (Тгалз. Атег. МигИ. 5аа, 29 Н927), стр. 178 — 208) и 'гннденбаумом и Мостовсннм (Рияд. МаИ., 32 (1939), стр. 201 — 252). Проблема независимости гипотезы континуума, по-видимому, до снх пор вплотную не научалась [ср.
К. С б б е 1, Атег. МаИ. Мои!И!у, 45(1947), стр. 515 — 524[. [Независимость гипотезы континуума установил недавно Коэн (Раи! 1. Сойепй см. Ргоц Ага!. Асаа Бс!. У.Я.А., 50 (19б3), 1143 — 1148 и 51 (1964), 105 — 110. — 7)рим. ргд [ ') Это часто выражают, говоря, что если А не есть теорема теории д', то теория,7', полученная добавлением А и аксиомам теории 3', противоречива. кими утверждениями и некоторыми высказываниями формализованной арифметики; мы ограничимся наброском основных черт '). Прежде всего каждому выражению А, являющемуся термом илн соотношением теории 7', соотнесем взаимно однозначно (методом явного построения, применяемого почти механически) целое число е'(А). Аналогично каждому доказательству Р теории,7 (рассматриваемому как последовательность значений; см.
гл. 1. 9 2, п'2) можно взаимно однозначно сопоставить целое число И(Р). Наконец, можно дать метод явного построения соотношения Р[х, у, г[г) теории у, для которого в д Р[х, у, х[ влечет, что х, у, е — целые, и выполнены два условию 1'. Если Р— доказательство для А [Л[, где А !х[ есть соотношение теории 7' и Л вЂ” выявленное целое число (т. е. терм теории 7', являющийся целым числом), то Р [Л, 5 (А [х[), И (Р)[ есть теорема теории T.
2'. Если выявленное целое число р не имеет вида И(Р) или если [4 = И (Р) и Р не есть доказательство для А [Л[, то (не Р [Л, д(А [х[), [4[) есть теорема теории 7'. Пусть тогда Б[х[ есть соотношение (не (-[г) Р[х, х, г[), и пусть .[=е(Я[к[) — терм теории 47. Если,T не противоречива, в,T не существует никакого доказательства высказывания 5[7[. В самом деле, если бы Р было таким доказательством, Р[3, д(Я[х[), И(Р)[ было бы теоремой теории 3; но это соотношение есть не что иное, как Р[7, 7, И(Р)[, и, следовательно, (-[е) Р[7, 7, я[также было бы теоремой теории Д'; поскольку это последнее соотношение эквивалентно (не 5[7[), д была бы противоречивой.
С другой стороны, только что сказанное показывает, что для всякого выявленного целого числа р (не Р[7, 7, р[) есть теорема теории,T. Отсюда вытекает, что в,7 не существует никакого доказательства высказывания (не 5[ [[), ибо это последнее соотношение эквивалентно (~х)Р[7, [, г[, и существование целого числа р, для которого Р[7, 7, р 1, влекло бы в силу предыдущего противоречивость теории 7'з). Эта метаматематическая теорема Гбделя была позднее обобщена в различных направлениях ([24[, гл. Х1)4).
') Более подробно см. в [12а[ нлн ( [24], стр. 181 — 258). ') Подробное описание е(А), И(Р) и Р[х, у, в[ очень длинно и кропотливо, а написание Р [к, у, г[ потребовало бы такого большого числа знаков, что практически оно невозможно: это тот вид трудностей, о котором мы говорили во введении, но нн один математик не думает, что это сколько-нибудь снижает значение этих построений. ') В действительности эта последняя часть рассуждения предполагает немного больше, чем непротиворечивость теории,у', а именно то, что называют,и-непротнвоэечивостью' теории,7': это означает, что в 7 не существует соотношения к [х[, такого, что й [к [ влечет х е [ч, и для каждого выявленного и К [и[ — теорема теории д, хотя (Эх) (х 8 [Ч н (не й [х[ ) ) также есть теорема теории Д". Впрочем, Россер показал, что рассуждение Геделя можно модифицировать таким образом, чгобм предполагать только непротиворечивость теории ! ([24[, стр.
208). ') Легко заметить аналогию рассуждения Геделя с софизмом лжеца: высказывание Б[ 1[, если его интерпретировать в метаматематическнх терминах, ИСТОРИЧЕСКИЯ ОЧЕРК МЕТАМАТЕМАТИКА Проблема разрешимости (!е ргоо[еше бе !а г[есЫоп) („Еп!зспе1- ч[цпезргой!еш"), без сомнения, является самой честолюбивой из всех проблем, которые ставит перед собой метаматематика: речь идет о том, чтобы для некоторого данного формализованного языка узнать, возможно ли придумать квазимеханич:ский „универсальный метод', который, будучи примененным к произвольному соотношению рассматриваемого формализма, указывал бы после конечного числа операций, истинно это соотношение или нет'). Решение этой проблемы по существу входило уже в великие замыслы Лейбница.
и, по-видимому, Одно время школа Гильберта считала их осуществление совсем близким. ,Для формализмов, содержащих мало примитивных знаков и аксиом, .такие методы действительно могут быть описаны ( [24], стр. 136 — 141; ср. гл. 1, приложение, упр. 7). Но стремления уточнить проблему разрешимости, точно ограничивая то, что следует понимать под „универсальным методом", до сих пор приводили только к отрицательным результатам ([24[, стр. 432 — 439).
Впрочем, решение проблемы разрешимости ) для теории дг тотчас же позволяет узнать, противоре- утвержлает собственную ложность! Можно также отметить, что высказывание (Уз)((зб [ч) =х(не Р[7, Ъ з])) интуитивно истинно, поскольку для каждого выявленного целого числа Р в,T имеется доказательство для (не Р[1, 1, Р[); н между тем это высказывание не доказуемо в 7'. Эту ситуацию следует сопоставить с результатом, полученным ранее Левеигеймом (Еожепйе!ш) и Сколемом (см.
[41] ): последний мета- математически определяе~ соотношение между двумя яатуральнами числами, которое, если его записать в виде х 6 у, удовлетворяет аксиомам фон Неймана для теории множеств. Отсюда на первын взгляд получается новый „парадокс", так как в этой „модели" все бесконечные множества были бы счетными, что противоречит неравенству Кантора ея < 2ж. Но в действительности .соотношение", определенное Сколемом, не больше может быть записано в формалнзовзиной теории множеств, чем .теорема", утверждающая, что множество подмножеств бесконечного множества имеет только счетную бесконечность .элементов".
В сущности, этот .парадокс" есть просто более тонкая форма банального замечания, что написать можно лишь конечное число выражений формализованной теории н, следовательно, абсурдно представлять себе несчетное множество термов теории; замечание, близкое к тому, которое привело уже к .парадоксу Ришара". Подобные рассуждения доказывают необходимость формализации теории множеств, если желать сохранить сущность каигоровскнх построений. По-видимому, математики пришли к согласию относительно того вывода, что имеется лишь поверхностное соответствие между нашими .нитуитнвнымн" концепциями понятия множества нли целогд числа н формализмами, которые — по предположению — их выражают; несогласие начинается тогда, когда встает вопрос о выборе между теми нли другими.
') Проблема построения такого метода называется проблемой разрешения для данного формализованного языка; проблема разрешимости, следовательво, заключается в требовании узнать, разрешима лн проблема разрешения. (В русской математической литерзтуре термин „проблема Разрешимости' употреблялся Раньше также для обозначения проблемы разрешения, что приводило к двусмысленности. — Прим.
дед.) э) Правильнее было бы сказать — проблемы разрешения (ведь проблема Разрешимости может иметь и отрицательные решения). — Прим. ред, чива ли ,T или нет, поскольку достаточно применить „универсальный метод" к какому-нибудь соотношению теории 7' и его отрицанию; а мы сейчас увидим, что исключено, чтобы для обычных математических теорий вопрос можно было бы решить таким способом'). В самом деле, именно в вопросе о непротиворечивости математических теорий †первоисточни и самом сердце математики †обнаружились самые обманчивые результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
