Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ниже Исторические очерки к Книгам !11 и тг!). Кроме того, начиная с последних годов Х!Х века появлялись первые применения принципа трансфинитной индукции, ставшего, особенно после доказательства теоремы Цермело, необходимым инструментом во всех областях современной, математики. В 1922 году Куратовский дал другую, зачастую более удобную, формулировку этого принципа, не использующую понятия вполне упорядоченного множества ([25[, стр. 89); именно в этой форме, переоткрытой позже Цорном [46[, он главным образом употребляется сейчас з).
Таким образом к концу Х1Х века основные концепции Кантора одержалн верх 4). Мы видели, что к тому же времени заканчивается ') Любопытно отметить, что среди этих последних Кантор никак не хотел допускать существование .не архимедозских" упорядоченных групп, поскольку онн приводили к понятию .актуальной бесконечно мэлои ([22[, стр. 156 и 172).
Подобные отношения порядка естественно встречаются в исследованиях Дю Буа-Реймона ()эк ВО1э-йеушопб) о порядках бесконечности (см. Исторический очерк к Книге !Ч, гл. 47 †4) и систематически научались Веронезе ( чегопеэе) (Рипдатепга 4(! Хеотеггга, Рабоча, 1891). ') С 1874 года, когда Вейершграсс в письме к Дю Буа-Реймону указал на применение к функциям действительной переменной теоремы Кантора о возможности расположения рациональных чисел з последовательность (Асга МагИ., 30 (1924), 206). ') Поэтому ийтерес, вызывавшийся ординальнымн числами Кантора, сильно уменьшился; впрочем, и вообще многие результаты Кантора н его последователей по арифметике ординальных чисел н несчетным кардинальным числам до снх пор остаются довольно изолированными.
') Официальное признание теории множеств обнаруживается, начиная с Первого международного математического конгресса (Цюрих, 1897 г.), где Адэмар и Гурвиц указали на важные применения этой теории к анализу. Возрастающее з это время влияние Гнльберта сильно помогло распространению идей Кантора, особенно з Германив. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КРИЗИС ОСНОВАНИЙ 333 формализация математики и использование аксноматического метода признается почти универсальным.
Иначе говоря, напряженная работа 1875 — 1895 годов ввела математиков во владение основами материала, изложенного в Книге 1 этого трактата. Между тем именно в это время начинался „кризис оснований" редкой силы, более 30 лет сотрясавший математический мир и временами, казалось, компрометировавший не только все эти недавние достижения, но даже самые классические разделы математики. Парадоксы теории множеств и кризис оснований Первые „парадоксальные" множества появились з теории кардинальных и ординальных чисел. В 1897 году Бурали-Форти заметил, что нельзя рассматривать как существующее множество всех ординальных чисел, ибо это множество было бы вполне упорядоченным и, следовательно, изоморфным одному из своих отрезков, отличных от него самого, а это абсурдно').
В 1899 году Кантор (в письме к Дедекинду) указывал, что теперь уже нельзя ни сказать, что кардинальные числа образуют множество, ни говорить о „множестве всех множеств", не впадая в противоречие (так как множество подмножеств этого последнего „множества' ь) было бы равномощно некоторому подмножеству „множества" ьг, что противоречит неравенству Иг < 2 ) ([22], стр. 444 — 448).
Наконец, в 1905 году Рассел, анализируя доказательство этого неравенства, показал, что из устанавливающего его рассуждения вытекает (без обращения к теории кардинальных чисел) противоречивость еще и понятия „множество множеств, не являющихся элементами самих себя" [38]г). Можно было бы подумать, что такие, антиномии" появляются только в периферийных областях математики, характеризующихся рассмотрением множеств, „величина" которых недоступна интуиции. Но вскоре другие „парадоксы" стали угрожать самым классическим частям математики.
В самом деле, Берри (Веггу) и Рассел [38], упрощая рассуждение Ришара (Л. К!сйагб) [40], отмечают, что множество целых чисел. определение которых можно выразить меньше, чем четырнадцатью русскими г) словами. конечно, но, однако, было бы противоречивым определить некое целое число как „наименьшее целое число, которое не может быть определено меньше, чем четырнад- ') С. Внга11-рогц, Борга иа !еогета бе! Б!й. О.
Саи!ог, Агг! Асад. Тот!ло, 32 (189б — 1897), 229 — 237. Эю замечание было уже сделано Кантором в 1896 году (в неопубликованном письме Гильберту). ') Рассуждение Рассела следует сопоставить с античными парадоксами типа знаменитого, лжеца", объекта бесчисленных комментариев в классической формальной логике: речь идет о том, чтобы знать, говорит ли правду или неправду человек, гаворяший „я лгу", произнося эти слова (см. А. й а з!Ож, 7)ег йййпег, О!Зв. Вт!алиев, !910).
') В подлиннике .шестнадцатью французскими".— Прим. перев. цатью русскими словами", ибо это определение содержит только тринадцать слов. Хотя подобные рассуждения, столь далекие от привычного обихода математиков, могли бы показаться многим из них чем-то вроде калам буров, они тем не менее указывали на необходимость пересмотра основ математики, направденного на устранение „парадоксов" этой природы. Но если имелось единодушие в вопросе о неотложности такого пересмотра, то по вопросу о способе его осуществления вскоре возникли коренные расхождения.
Для первой группы математиков — все равно, „идеалистов" или „формалистов' ') †ситуац, созданная „парадоксами" теории множеств, вполне аналогична ситуации, возникшей в геометрии после открытия неэвклидовых геометрий или „патологических" кривых (например, кривых беа касательной); она должна привести к подобному же.
но более общему заключению, а именно что бесполезно пытаться обосновать какую бы то ни было математическую теорию обращением (явным или нет) к „интуиции". Эту позицию можно подытожить словами главного противника формалистической школы:,Формалист,— говорил Брауэр ([ба[, стр. 83), — утверждает, что человеческий разум не имеет в своем распоряжении точных образов прямых линий или чисел, больших, например, десяти...,Это верно, что из некоторых соотношений между математическими сущностями, которые мы принимаем за аксиомы, мы выводим другие соотношения по фиксированным правилам с убеждением, что таким образом мы при помощи логического рассуждения выводим истины из других истин... [Но] для формалиста математическая точность состоит исключительно в развертывании последовательности соотношений и не зависит от значения.
которое можно было бы захотеть придать этим соотношениям или сущностям, ими связанным". Следовательно, для формалиста речь идет о том, чтобы придать Теории множеств аксиоматическую базу, совершенно аналогичную базе элементарной геометрии, где не занимались бы ни определением того, что такое „вещи", называемые „множествами", ни тем, что означает соотношение х С у, но где перечисляли бы условия, наложенные на это последнее соотношение; конечно, это должно быть выполнено так, чтобы включить по возможности все результаты теории Кантора, делая в то же время невовможным существование „парадоксальных" множеств.
Первый пример такой аксиоматизации был дан [(ермело в !908 году [45 в]; он избегал „слишком боль- ') Расхождения между этими двумя школами в основном философского порядка, и мы не можем здесь входить по этому вопросу в подробности; Существенно то, что на собственно математической почве они сходятся. Например, Адамар, типичный представитель „идеалистов', по вопросу о законности рассуждений теории множеств принял точку зрения, весьма близкую к формалистской, но не выражал ее в аксиоматической форме ([8], стр. 271). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 334 ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КРИЗИС ОСНОВАНИЙ 333 ших" множеств, введя „аксиому отбора (Апззопс[егппд)", по которой свойство Р]х] определяет множество, состоящее из элементов, обладающих этим свойством, только в том случае, когда Р[х] уже влечет соотношение вида х~ А').
Но парадоксы, аналогичные „парадоксу Ришара", могли бы быть устранены только при ограничении смысла, приписываемого понятию „свойство"; по этому поводу Цермело довольствовался весьма туманным описанием одного типа свойств, которые он называет „бе[]п]1" '), и указанием, что в применениях аксиомы отбора следует ограничиться этими последними. Этот пункт был уточнен Сколемом [41] и Френкелем [43]з); как было ими замечено, для его выяснения требуется перейти к полностью формализованной системе (подобной системе, описанной в гл.
1 и П этой Книги), тле понятия „свойства" и „соотношения" теряют всякое „значение" и превращаются просто в обозначения для выражений, образованных согласно явно сформулированным правилам. Разумеется, это требует ввеления в систему используемых правил логики, чего еще не было в системе Цермело — Френкеля; с точностью до этого пункта, именно эта последняя система была, по существу, описана в гл. 1 и Д. Впоследствии были предложены и другие аксиоматизации теории множеств.
Упомянем главным образом аксиоматизацию фон Неймана (Топ Хецшапп) [32 а) и б) ], которая больше, чем система 1[ермело — Френкеля приближается к первоначальной концепции Кантора: чтобы избежать парадоксальных множеств, последний в своей переписке с Дедекиндом уже предлагал различать два сорта множеств— „множественности" („Т7]е1пе]1еп") и собственно, множества' („Мепдеп"), причем вторые характеризуются тем, что они могут мыслиться как один целый объект.
Именно эту идею и уточнил фон Нейман, различив лва типа обьектов — „множества" и „классы"; в его системе (почти полностью формализованной) классы отличаются от множеств тем, что они не могут стоять слева от знака ~. Одним из преимуществ такой системы явилась реабилитация понятия „универсального класса" (не являющегося, естественно, множеством), употребляв- ') Например, парадокс Рассела был бы возможен в системе Цермело, только если бы в ней было доказано соотношение (Зз) [[х(х) Р(хауз)); разумеется, такое доказательство, если бы его удалось получить, имело бы своим непосредственным следствием необходимость существенного изменения рассматриваемой системы. е) Определенные (нем.). — Прим. ред. ') Сколем [41] и Френкель [43] заметили также, что аксиомы Цермело не позволяют доказать, например, существование таких несчетных кардинальных чисел т, что для всякого кардинального числа и ( ич выполняется 2" ( мь Мы видели (гл. Ш, 4 б, упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
