Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Именно гению Г. Кантора обязаны мы созланием Теории множеств такой, как мы ее понимаем сегодня. Его отправной точкой также был Анализ, и его работы по тригонометрическим рядам, вызванные работами Римана, естественно привели его в 1872 году к первому опыту классификации „исключительных' множеств, появляющихся в этой теории'), при помощи понятия последовательных „производных множеств", которое он ввел по этому случаю.
Без сомнения, именно эти исследования, а также его метод определения действительных чисел привели к тому, что Кантор начал интересоваться проблемами равномощности, ибо в !873 году он заметил, что множество рациональных чисел (или множество алгебраических чисел) счетно; и мы видим, что в своей переписке с Дедекиндом, начавшейся около этого времени [23[, он предлагает вопрос о равномощности множества целых и множества действительных чисел, который ему удается решить в отрицательную сторону несколькими неделями позже.
Затем, с 1874 года его занимает проблема размерности. и в течение трех лет он тщетно пытается установить невозможность взаимно однозначного соответствия между [4 и [ч" (и ) 1). прежде чем приходит, к собственному изумлению '), к определению такого соответствия. Под впечатлением этих результатов, столь же новых, сколь удивительных. он всецело посвятил себя теории множеств. В серии из 6 мемуаров, опубликованных в Ма!пеша!!зсйе Аппа1еп между 1878 и 1884 годами, он одновременно занимался проблемами равномощности, теорией совершенно упорядоченных множеств, топологическими свойствами [4 и К" и проблемой меры; и восхитительно видеть, с какой ясностью ') Речь идет о множествах Е ~ м, таких, что если тригонометрический ч-со ряд ~~ с„е~" сходитея к О всюду, кроме точек множества Е, то необходимо с„= 0 для всех л ([22], етр.
99). ') .Я гго вижу, ко я в него не верю", — пишет он Ледекинду ( [23[, стр. 34; в тексте — по-французски). выделяются мало-помалу в его руках понятия, которые, казалось, непоправимо были перепутаны в классическом понятии „континуума". С 1880 года у него появилась илея о „трансфинитном" итерировании образования „производных множеств"; но воплощение свое это идея нашла только лвумя голами позже с введением вполне упорядоченных множеств, одного из самых оригинальных открытий Кантора, благодаря которому стало возможным приступить к детальному изучению нардинальных чисел и сформулировать „проблему континуума" [22[. Столь смелые концепции, опрокидывающие двухтысячелетние традиции и ведущие к неожиданным и с виду парадоксальным результатам. не могли быть принятыми без сопротивления.
И действительно, из всех влиятельных немецких математиков того времени Вейерштрасс был единственным, кто с некоторой благосклонностью следил за работами Кантора (своего бывшего ученика); другие ученые не разделяли этого отношения, и Кантор столкнулся с непримиримой оппозицией Шварца (3сйа агг) и, особенно, Кронекера'). По-вилимому, столь же постоянное напряжение, вызванное противодействием его идеям, сколь и бесплодные попытки доказать гипотезу континуума вызвали у Кантора первые симптомы нервной болезни, сказавшейся на его математической продуктивности з). По-настоящему он вновь приобрел интерес к Теории множеств только к 1887 году, а его последние публикации датируются 1895 — 1897 гг.; в них он развил в основном теорию совершенно упорядоченных множеств и исчисление ординальных чисел.
В 1890 году он доказал также неравенство т«( 2; однако не только проблема континуума оставалась (и остается еще по сей день) без ответа; в теории кардинальных чисел имелся более серьезный пробел, ибо Кантор не смог установить существования соотношения полного порядка между произвольными кардинальными числами. Этот пробел был заполнен частично теоремой Ф. Бернштейна (1897), показавшего, что соотношения а ( Ь и Ь < а влекут а=Ьз), и особенно теоремой Пермело [45а[.
доказавшего существование полного порядка на любом множестве — теорема, с 1883 года предполагавшаяся Кантором ([22], стр. 169). Между тем Дедекинд с самого начала не переставал с неослабевающим интересом следить за исследованиями Кантора; но в то время как последний концентрировал свое внимание на бесконечных мно- ') Современники Кронекера часто упоминали о его теоретической позиции в основаниях математики; следует предположить, что она выражалась более явно при личных контактах, чем в его публикациях (где, что касается роли натуральных целых чисел, следует взять довольно банальные заметки об .арифметизацин', относящиеся к 1880 голу) [см.
Н. 1Т'еЬег, [,еороЫ Кгопескег, Млгл. Апп, 43 (1893), 1 — 25, в частности, стр. 14 — 13[. ') Об этом периоде жизни Кантора см. А. 3слоеп!Кш, Асга 7ч!лгл., бо (1928), 1 — 23. ') Эта теорема была получена ведекиндом еще в 1887 году, но доказательство ее не было опубликовано ( [19[, т.
Ш, стр. 447). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ жествах н их классификации, Дедекинд продолжал свои собственные размышления о понятии числа (которые уже привели его к определению иррациональных чисел ри помощи „сечений' ). В своей брошюре )6'аз з!ис! ипс( Фаз яо!!еп 4(!е лп)4!еп, опубликованной в !888 году, но относящейся во всем существенном к 1872 — 1878 годам ([19[, т.
Ш, стр. 335), он показывает, каким образом понятие натурального числа (на котором, как мы видели, в конце концов была основана вся классическая математика) само могло бы быть выведено нз основных понятий теории множеств. Изучая (без сомнения, впервые в столь явной форме) элементарные свойства произвольных отображений одного множества в другое (Кантор до сих пор пренебрегал ими и интересовался только взаимно однозначными соответствиями), он ввел для произвольного отображения У' множества Е в себя понятие „цепи" элемекга а ~ Е относительно 7", как пересечения множеств К ~ Е, таких, что а ~ К и 7"(К) 4= К '). Затем он взял за определение бесконечного множества Е факт существования такого взаимно однозначного отображения ~7 множества Е в Е, что у(Е) ~ Е э); если, кроме того, существуют такое отображение ~7 и такой элемент а ~~э(Е), для которых Е является цепью элемента а, Дедекинд говорил, что Е „просто бесконечное", заметил, что „аксиомы Пеано" в этом случае выполняются, и покааал (раньше, чем Пеано), как, исходя из этого, получаются зсе элементарные теоремы арифметики.
В его изложении не хватает только аксиомы бесконечности, которую Дедекннд (зслед за Больцано) надеялся доказать, рассматривая „мир человеческих мыслей" („()ебапкепшеИ") как множествоз). ') На аналогичном понятии основано второе доказательство, которое Цермело дал своей теореме ([406[; см. гл, 1П, 9 2, упр. 6). э) Мы видели, что Больцано уже заметил это характеристическое свойство бесконечных множеств, но его работа (по-видимому, довольно мало распространенная в математических кругах) была не известна Дедекинду в то время, когда оп писал „цгаэ э1пб нпб 4чаэ эо11еп гйе хап1еп*.
') Другой метод определения понятия натурального числа н установления его основных свойств был предложен Фреге в 1884 году [426[. Сначала он пытался придать понятию кардинального числа множества смысл более точный, чем 1(эктор; к этому времени последний определил только понятия равномощиых множеств н множества, имеющего не большую мощность, чем другое, а определение .кардинального числа, данное им позже ( [22[, стр. 282), было почти столь же темным и бесполезным, как и эвклидово определение прямой. Фреге, всегда заботившийся о точности, взял за определение кардинального числа множества А множество всех множеств, равномощных множеству А ([196[, 9 68); затем, определив Т (а) = а+1 для любого кардинального числа (9 76), он рассматривал множество С всех кардинальных чисел и определял отношение „Ь есть Р-наследник для а", как означающее, что Ь принадлежит к пересечению всех множеств Х с: С, таких, что Т (а) 6 Х и Р(Х) с: Х 6 79). Наконец, он определял натуральное число как Р-наследник для О 6 83; все эти определения, разумеется, Фреге выражал на его языке .логики понятий").
К сожалению, эта конструкция оказалась негодной, поскольку множество С плн множество всех множеств, равномощных множеству А, является „парадоксальным (см. ниже). С другой стороны, арифметические работы (а именно работы по теории идеалов) привели Дедекинда к рассмотрению понятия упо. рядоченного множества в более общем, чем у Кантора, аспекте. В то время как этот последний ограничивался исключительно совершенно упорядоченными множествами'), Дедекинд рассматривал общий случай и особенно подробно изучал сетчатые множества ([19[, т. П, стр.
236 — 271). Эти работы остались почти незамеченными в то время. хотя их результаты, переоткрытые различными авторами, сделались начиная с 1935 года предметом многочисленных публикаций, их историческая ценность заключается гораздо меньше в возможностях приложений этой теории, несомненно, довольно незначительных, чем в том факте, что они составили один из первых примеров тщательно разработанного аксноматического построения, Напротив, первые результаты Кантора о счетных множествах или о множествах, имеющих мощность континуума, вскоре получили многочисленные и важные приложения к самым классическим вопросам анализа я) (не говоря уж, естественно, о тех частях канторовских работ, которые положили начало обшей топологии и теории меры; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
