Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 85
Текст из файла (страница 85)
что подобные суждения могут основываться только на предваритель пом понятии „истины" психологической или метафизической природы. Практически это означает, что онн не подвержены никакому обсуждению. Несомненно, что мощные атаки интуиционистского лагеря заставили не только авангардные математические школы, но даже приверженцев традиционной математики на некоторое время занять оборонительное положение. Как признался один известный математик, эти атаки подействовали на него до такой степени, что он умышленно ограничил свои работы отраслями математики, считающимися,безопасными".
Но, по-видимому, такие случаи были нечастыми. Интуиционистская школа, воспоминани1о о которой, без сомнения, суждено существовать только в качестве исторической достопримечательности, оказала, по крайней мере, ту услугу, что заставила своих противников, т. е. в конечном счете подавляющее большинство математиков, уточнить свои позиции н яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие †чувственно) своего доверия к математике.
Металгатематииа Во все времена отсутствие противоречий рассматривалось как условие е1пе авиа поп ') любой математической науки, и со времен Аристотеля логика была достаточно развита, чтобы можно было в совершенстве понимать, что из противоречивой теории можно вывести все что угодно. Доказательства „существования", считавшиеся необходимыми со времен античности, не имели, очевидно, другой цели, как только гарантировать, что введение нового понятия не угрожает повлечь противоречие, особенно когда это понятие слишком сложно, чтобы непосредственно подпасть под „интуицию". Мы видели, как с приходом в Х1Х веке аксиоматической точки зрения это требование становилось все более настоятельным и как отвечало ему построение арифметических „моделей".
Но не могла ли сама арифметика быть противоречивой? Вопрос, который до конца Х1Х века, без сомнения, никто бы и не подумал ставить, настолько целые- числа казались принадлежащими к тому, что есть наиболее верного в нашей интуиции; но после „парадоксов" все казалось поставленным под вопрос, и понятно, что чувство неуверенности, вызванное ими, заставило математиков около 1900 года с большим вниманием заняться проблемой непротиворечивости арифметики, чтобы по крайней мере спасти от гибели классическую математику. Поэтому эта проблема была второй из перечисленных Гильбертом в его знаменитом докладе на Международном конгрессе 1900 года ([15а], стр. 299 †3).
Делая это, он выдвинул новый принцип, который должен был ') Непременное (лат.). — Прим. ред. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК МЕТАМАТЕМАТИКА получить большой резонанс: тогда как в традиционной логике непротиворечивость понятия делала его только, возможным", для Гильберта она эквивалентна (по крайней мере, для математических понятий, определенных аксиоматически) существованию этого понятия.
Это, очевидно, содержало в себе необходимость доказывать а рг!ог! непротиворечивость некоторой математической теории, еще даже до получения возможности развивать ее законным образом; так Это и понял Пуанкаре, который, чтобы пробить брешь в формализме, подхватил на свой лад идею Гильберта, подчеркивая с ехидным удовольствием, до какой степени далеки были формалисты в то время от возможности ее осуществления ([37в], стр. 163). Дальше мы увидим, как Гильберт принял вызов; но прежде нам нужно здесь заметить, что под влиянием его авторитета и авторитета Пуанкаре требования, выдвинутые последним, в течение долгого времени должны были безоговорочно приниматься как формалистами. так и их противниками.
Следствием этого была очень распространенная также среди формалистов вера, что теория доказательства Гильберта — составная часть математики, для которой она образует необходимые пролегомены. Во введении мы сказали, почему эта теория не представляется нам обоснованной' ), и мы считаем, что вмешательство метаматематики в изложение логики и математики может и должно быть сведено к очень элементарной части, изучающей обращение с сокращающими символами и дедуктивными критериями.
Таким образом, в противоположность тому, чего хотел Пуанкаре, речь идет не о том, чтобы „требовать свободы противоречий", но, скорее, о том. чтобы вместе с Адамаром считать, что отсутствие противоречий констатируется, даже если оно не доказывается ([8], стр. 270). Нам остается дать короткий исторический обзор трудов Гиль- берта и его школы; хотя теория доказательства не излагается в настоящем Трактате, небезынтересно бегло проследить не только эволюцию, которая в конце концов привела к отрицательному результату ГЕделя и оправдала а роз!ег!Ог! скептицизм Адамара, но также и весь .вызванный этим прогресс, относящийся к нашему знанию механизма математического рассуждения и сделавший современную математику самостоятельной и бесспорно интересной наукой. В 1904 году в докладе на Международном конгрессе ([15], стр.
247 — 26!) Гильберт приступил к проблеме непротиворечивости арифметики. Сначала он констатировал, что не может быть и речи о доказательстве ее с помощью модели з), и набросал крупными мазками ') В чисто формалистскои учении слово „существует' в формализованном тексте имеет не больше .значения", чем другие слова, и другие типы ,существовании" з формализованных доказательствах рассматрГ гать ие нужно. г),Модели, даваемые определениями Ледекинда или Фреге, только перемещали вопрос, сводя его к иепрогиворечивости теории множеств, проблеме, могорая, без всякого соиэеиия, более трудна, чем непротиворечивость ариф- принцип другого метода: он предлагал рассмотреть истинные высказывания формализованной арифметики как выражения из знаков, не имеющих значения, и доказать, что, используя правила, управляющие образованием и соединением этих выражений, никогда нельзя получить выражение, которое было бы истинным высказыванием и отрицание которого также было бы истинным высказыванием.
Он даже наметил подобное доказательство для формализма, более узкого. чем арифметический формализм; но, как вскоре заметил Пуанкаре. ([37в], стр. 180), это доказательство существенно использует принцип индукции и поэтому кажется основанным на порочном круге. Гиль- берт не ответил немедленно на эту критику, и в течение лет пятнадцати никто не пытался развивать его идеи; только в 1917 году он (движимый желанием ответить на нападки интуиционистов) снова взялся за проблему оснований математики, которою отныне не переставал уже заниматься до конца своей научной деятельности. В своих работах по этому вопросу, появившихся приблизительно с 1920 по 1930 годы, в которых активно участвует целая школа молодых математиков (Аккерман, Бернайс, Эрбран (НегЬгапг[), фон Нейман). Гильберт мало-помалу более точно выявлял принципы своей „теории доказательства": неявно признавая обоснованность критики Пуанкаре, он соглашался, что в метаматематике используемые арифметические рассуждения могут основываться только на нашей интуиции целых чисел (а не на формализованной арифметике); для этого ему кажется существенным ограничить эти рассуждения „финитными методами" („!!и!!е Ргохеезе") допускаемого интуиционистами типа: например, доказательство от противного не может доказать метаматематическое существование выражения или последовательности выражений — необходимо задать закон явного построения').
С другой стороны, Гильберт расширил свою первоначальную программу в двух направлениях: он наступал не только на непротиворечивость арифметики, но стремился также доказать непротиворечивость теории действительных чисел и даже теории множеств '); кроме того, к проблемам непротиворечивости добавились проблемы независимости аксиом. полноты (са!й~ог!с!!4) н разрешимости. Сейчас мы бегло рассмотрим эти различные вопросы и укажем главные исследования, вызванные ими.
метики, и которая должна была казаться еще более трудной в го время, когда еще ие было предложено ни одной серьезной попытки избежать „парадоксов*. ') За подробным и точным описанием финитиых методов, принимаемых в метамагематике, можно, например, обратиться к диссертации Эрбрана (а. Негьгапд) [48], ') Когда говорится о непротиворечивости теории действительных чисел, предползгаегси, что ее определяют аксиомагически, без использования теории множеств (или, по крайней иере, воздерживаясь ог употребления некоторых аксиом этой последней, вроде аксиомы выбора или аксиомы множества подмножеств). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК МЕТАМАТЕМАТИКА Доказательство независимости (!'!пг(ерепг[апсе) системы высказываний А,, Аг, ..., А„состоит в том, чтобы показать, что для каждого индекса ! А, не является теоремой в теории,T,, получающейся, если за аксиомы взять высказывания А) с индексами /Ф!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
