Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 88
Текст из файла (страница 88)
[39] Р им ан Б, (11!ею ап п В.), беяаттеИе тагИетаМясИя %гегйе, 2-е изд., Ье!Рх!8 (ТецЬпег), 1892. [Русский перевод: Р и м а и Б., Сочинения, М. — Л., Гостехиздат, 1948.] [40] Ришар Ж. (К !с Ьагй Л), Ьев рг!пс!рев йев Ма!Ьева!1ццев е! (е ргоЫбве йев епвевЫев, )7ео. бял. йяя Есй ригея е! арр!., т. ХЧ! (1905), стр. 541 — 543. [41] С колеи Т. (Бааса! ею Т.), Е!п!Ее Вевегйцпяеп гиг ах!ова!!всЬеп Венгцпйцпя йег Мепйеп1еЫе, йг!яя. !гоггглее, 5 Колйгеяя, Ейалй, МаИ., Не!!з1пйТогз, 1922.
[42] фре ге Г. (Р гене О.), а) Ведат!Туяясйг!уг, я!ля нег аг!!Иве!!ясйел ласйдеб7!не!я РогтеИргасйе йея гетел Оялйеля, На!!е, 1879; б) О!е бгилй!абел нег АгВйте!И, 2-е изд. с английским переводом 3. Е. Ацзнп, Ме!ч уогк, 1950; в) бгилййеяетге лег АНИтетИ, бейт!ууяясйггуг!Тсй абйе!е!!ег, 2 тт., !епа, 1893 — 1903. [43] Френкель А. (Ргаеп)ге( А.), а) Ец йеп Огцпйадеп йег Сап!ог— Еегве!Овсйеп Мепйеп!ейге, МаИ.
Алл., т. ЬХХХЧ! (1922), стр. 230 — 237; б) Еейл Ъгог!еяилйел йЬег й!е бгилй!ейилй лег Мелйел!ейге, ЪЧ!вв. цпй Нура!Ьеве, т. 31, Ье!Рх!е — Вегйп, 1927; в) Егл!егтилй !л й!е Мелйял!ейге, 3-е изд., ВегИп (Ярг!пяег), 1928. [44] Х и с Т. (Н е а ! Ь Т. 1..), МаИетайся !л Аггягоб!е, Ох1огй (С!агепйоп Ргезв), 1949. [44а] ТИе И!ггеел бооИ оу' Еис!гй'я Е!стелт..., 3 тт., СавЬг!ййе, 1908.
[44б] ТИе те!ой о! АгсШтейея, Савбг!йее, !912. [45] Пер м ело Е. (Ее г в е!о Е.), а) Вечче!з йавв )ейе Менее ччоЫдеогйпе! тчегйеп Капп, МаИ. Алл., т. ЫХ (1904), стр. 514 — 516; б) Мецег Бетте!в Гйг й!е Мон!!сййе!! е!пег 1ЧОЫогйпцпй, МаИ. Алл., т. ЬХЧ (1908), стр. 107 — 128; в) ()п!егвцспцпн ЕЬег СВе Огцпй!анен йег Мепйеп!епге, МаГИ. Алл., т. 1.ХЧ (1908), стр.
261 — 28!. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ') Введение 23 н. Буэаээи [46] цо рн М. (Х огп М), А гещагй оп ше!Ьод !и ггапейп!!е а!КеЬга, Вий. Атег. Маыь Кос., т. ХЬ! (1935), стр. 667 — 670. [47] Шрбдер Б. (Эсйго бег Б.), Ъ'ог!езипйеп йдег д!е А!йедга дег !.ай!я. 3 тт., Ье!рз!й (ТепЬпег), 1893.
[48] Э р б р а н Ж. (Н е г Ь г а п д !.), ВесЬегсйез знг !а !Ьеог!е де !а бешопэ!гамов, Тгаи, Вас. Всй е! БеЬЬ )гагэои7е, с1. 11 (1930), 33 — 160. Я [49] Эрмит Ш., Ст иль тьес Т. (Не гш1 ге С., Э!!е!г[еэ Т), Соггеаропдаасе, 2 тт., Раг!э (Оаи!Ыег — Ч!1(агз), 1905. Читатель найдет в настоящей сводке все определения н результаты Теории множеств, используемые дальше в этом сочинении; ои не найдет здесь никаких доказательств. Что касается понятий и терминов, вводимых ниже без определения, читатель может ограничиться их обычным смыслом; это не создаст никаких неудобств для чтения остальных частей этого трактата и сделает почти очевидным большинство предложений, формулируемых в настоящей сводке.
Чтение Книги 1 („ Теория множеств") необходимо для читателей, желающих знать, как можно преодолеть логические трудности, вызываемые присутствием этих неопределяемых терминов э), а также для тех, кто захочет ознакомиться с доказательствами более трудных теорем, сформулированных в 9 6 и 7 этой сводки (теорема Цориа и ее следствия) з). Э 1. Элементы и части множества 1.
Множество образовано из элементов, способных обладать некими свойствами и находиться между собой или с элементами других множеств в неких соотношенияхэ). ') Сводка результатов Теории множеств составляет первмй выпуск всего Трактата Бурбаки. Настоящий перевод выполнен с 3-го издания этого выпуска (1958 г.). Перевод со второго издания, осуществленный С. Н.
Крачковским, помещен в качестве приложения в русском издании первых глав .Общей топологии" (Н. Бур бак и, .Общая топология. Основные структуры", М., 1958, стр. 264 309). Все существенные расхождения в терминологии между настоящим переводом и переводом С. Н. Крачковского отмечены ниже в подстрочных примечаниях.
†Пр. ред. ') Читатель не преминет заметитгч что,нанвная" точка зрения, иа которую мы встали в втой сводке дли изложения основ Теории множеств, прямо противоположна ,формалистской" точке зрения, принятой в выпусках Книги 1, резюме которых представляет собой эта сводка; разумеется, эта г противоположность преднамеренна и соответствует различйым целям, которые преследовались прн написании этих двух частей нашего сочинения; за более подробными разъяснениями на этот счет мы отсылаем к введению Книги !. э) Необходимо иметь в виду, что в самом французском оригинале имеются небольшие расхождения в терминологии и обозначениях между главами 1 — 1Ч, с одной стороны, и Сводкой результатов — с другой. Эти расхождения сохранены в переводе, но оговорены ниже в подстрочных примечаниях.
— Прим. ред. [) В переводе С. Н. Крачковского — отношенияк.— Прил. ред. $ Ь ЭЛЕМЕНТЫ И ЧАСТИ МНОЖЕСТВА в-ю сводка гезультлтов 2. Множества и элементы в рассуждениях обозначаются графическими символами, которыми в основном являются буквы (различных алфавитов) или комбинации из букв и других знаков; соотношения между элементами одного или нескольких множеств записывают, вставляя символы, обозначающие эти элементы, в характернстическу1о схему рассматриваемого соотношения '); то же и для свойств.
Буква может обозначать как определенный элемент некоторого множества, так и произвольный его элемент (называемый также переменной, аргументом или общим элементом). Заменяя в соотношении (или свойстве) произвольныи элемент определенным элементом (того же множества), говорят. что первому придан в качестве значения этот определенный элемент. Для указания элементов, фигурирующих в некотором (явно не выписанном) соотношении, последнее представляют обозначением типа К(х, у. Е1 (если х, у, г — элементы, участвующие в рассматриваемом соотношении).
3. Соотношение или свойство, в котором участвуют произвольные элементы з), называют тождеством, если, какие бы значения ни придавать этим элементам, оно становится истинным высказыванием. Пусть К и 8 — два соотношения (или свойства); говорят, что К влечет 3, если 8 истинно всякий раз, когда произвольные элементы, входящие в эти соотношения, выбраны так, что К истинно; К и 3 называют эквивалентными или равносильныли, если каждое из этих соотношений влечет другое.
4. Пусть К)х, у, г~ — соотношение между переменными х, у, з; фраза „каково бы ни было х, К~ х, у, е)" (или „для всякого х К ~х, у, х)") есть соотношение между у и е, которое считается истинным для данной системы значении переменных у и г. если К истинно для этих значении у и я и любого данного значения х.
Аналогично фраза „существует такое х, что К)х, у, г~' есть соотношение между у и г, считающееся истинным для данной системы значений у и г, если, фиксируя эти значения, можно придать х по крайней мере одно значение, для которого К истинно. То же и для соотношения между любым числом переменных. Если К обозначает отрицание соотношения К, отрицание соотношения „каковобы ни было х, К' есть „существует х, такое, что К"; отрицание соотношения „существует х, такое. что К" есть „каково бы ни было х, К'.
') Если символ, обозначающий элемент, является комбинацией нескольких знаков и требуется поставить его в некотором соотношении на место одной буквы, го во избежание возможных смешений его берут обычно в круглые илн квадратные скобки. ') Следует подчеркнуть, что когдз говорят о свойстве общего элемента множества Е, зто означает отнюдь ие то, что это свойство истинно для каждого элемента нз Е, а просто то, что оно имеет смысл для каждого элемента из Е, являясь, может быть, истинным лля некоторых из этих элементов и ложным для других.
То же для соотношений. б. Если К и 3 обозначают два соотношения, условимся, что „К и 5" есть одно соотношение, считающееся истинным всякий раз, когда оба соотношения К н 5 истинны; аналогично,К или 3" есть соотношение, считающееся истинным всякий раз, когда по крайней мере одно из соотношений К. 8 истинно (и, в частности, всякип раз, когда они оба истинны; слово „или" не имеет, таким образом, адесь разделительного смысла, которым оно иногда обладает в обычном языке).
Обозначим через К, З отрицания соотношений К, 5 соответственно; отрицание соотношения „К и 3" есть К или 5"; отрицание соотношения,К или 8" есть К и Я". 6. Записывая два символа по обе стороны от знака „=" (который читается: „равно",,равняется"), получаем соотношение, называемое соотношением равенства, означающее, что эти два символа изображают один и тот же элемент; отрицание этого соотношения получают, записывая те же символы по обе стороны от знака „~" (который читается „отлично от", „неравно"). 7. Пусть даны множество Е и некоторое свойство его общего элемента; элементы из Е, обладающие этим свойством, образуют новое множество, называемое частью или подмножестзол множества Е.
Таким образом, два эквивалентных свойства определяют одну и ту же часть множества Е. и обратно. Пусть А — часть множества Е: если х — общий элемент множества Е, свойство „х принадлежит А" (т. е. „х есть элемент множества А") записывается „х~ А"; очевидно, множество элементов, обладающих этим свойством, есть не что иное, как А. Отрицание этого свойства обозначается „х1ЕА" и читается „х не принадлежит А"; множество элементов из Е, обладающих этим свойством, называется дополнением множества А и обозначается СА или Š— А.
8. Некоторые свопства, например х=х, истинны для всех элементов из Е; любые два таких свойства эквивалентны; определяемая ими часть, называемая иногда полной частью множества Е, есть не что иное, как само множество Е. Напротив, некоторые свойства, например х Ф х, ие истинны ни для какого элемента из Е; любые два таких свойства тоже эквивалентны; определс мая ими часть называется пустой частью множества Е и обозначается И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
