Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 83
Текст из файла (страница 83)
21), что, усилив аксиому отбора (схема $ 8, гл. П, 4 1, и' 6), можно доказать существование таких кардинальных чисел; так введенная аксиома есть взриант тех, которые бмли предложены Сколемом и Френкелем. шегося логиками Х!Х века; отметим также, что система фон Неймана избегала (для теории множеств) введения схем аксиом, заменяя их подходящими аксиомами (что облегчает логические рассмотрения). Видоизменения системы фон Неймана были ланы Бернайсом и Геделем [12 б]. Исключение пзрадоксов было, по-видимому, достигнуто уже предыдущими системами, но ценой ограничений, которые не могут не казаться весьма произвольными. В оправдание системы Цермело— френкеля можно сказать, что она ограничивается введением таких запрещений, которые только закрепляют обычную практику, сложившуюся в применениях понятия множества к различным математическим теориям.
Системы фон Неймана и Гйделя более далеки от обычных воззрений; зато не исключено, что некоторые математические теории уже в самом начале их развития удобнее помещать в рамки таких систем, чем в более узкие рамки системы Цермело— Френкеля. Конечно, нельзя утверждать. что хотя бы одно из этих решений производит впечатление окончательного.
Если они удовлетворяют формалистов, то это потому, что последние отказываются принимать во внимание индивидуальные психологические реакции каждого математика: они считают, что формализованный язык выполнит свою задачу, если на нем в недвусмысленной форме можно записать математические рассуждения и он сможет служить, таким образом, посредником математической мысли; каждый волен, говорят они, думать, что хочет, о „природе" математических объектов или об „истинности" используемых им теорем, лишь бы его рассуждения могли быть записаны на общем языке' ).
Иначе говоря, с философской точки зрения позиция формалистов состоит в игнорировании проблемы, поставленной „парадоксами"; они отходят от платоновской позиции, старавшейся приписать математическим понятиям интеллектуальное „содержание", общее для всех математиков. Многие математики отступили перед подобной ломкой традиций.
Рассел, например, старался избежать парадоксов, более углубленно изучая их структуру. Подхватив идею, высказанную первоначально Ришаром (в статье [40], где он излагал свой „парадокс") и развитую затем Пуанкаре [37в], Рассел и Уайтхед ('1ч"п[(е]геай) отмечали, что все определения парадоксальных множеств нарушают следующий принцип, называемый „принципом порочного круга": .Элемент, определение которого содержит з себе совокупность элементов ') Гильберт тем не менее, по-видимому, всегда верил в объективную математическую „истину' ( [15], стр.
315 н 323). Лаже формалисты, которые, подобно Карри (Н. Сиггу), стояли на позиции, очень близкой к только что подытоженной, отвергали с неким возмущением мысль о том, что математику можно рассматривать как простую игру, и непременно хотели видеть в ней „объективную науку* (Н. Сиггу, Оигйпез оу и уогшайзг рд!1озорду оу та!летит!сз, Ашзгегдаш (]ЧОТ1П Но11апб РиЫ. Со.), 1931, стр.
57). ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 336 ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КРИЗИС ОСНОВАНИЙ 337 некоторого множества, не может принадлежать атому множеству" ([38[, т. 1, стр. 40). Это положение и взято за основу в Рг!не!р!а, и именно для его соблюдения развивается в этом сочинении „теория типов". Как и логика Фреге, которой она вдохновлялась, логика Рассела и Уайтхеда (намного более обширная, чем математическая логика, употреблявшаяся в гл. 1 этой Книги) содержит „пропозициональные переменные"; теория типов дает классификацию этих различных переменных, основные черты которой следующие. Отправляемся от „области индивидов" (не уточненных), которые можно назвать „объектами порядка 0"; соотношения, в которых переменные (свободные или связанные) суть индивиды, называются „обьектами первого порядка"; и вообще, соотношения, в которых переменные суть обьекты порядка <н (причем хотя бы одна имеет порядок н) называются „объектами порядка а+ 1" ').
Множество объектов порядка и может тогда быть определено только соотношением порядка и+ !— условие, без труда позволяющее устранять парадоксальные множества г). Но принцип,иерархии типов" настолько ограничителен„что, строго его придерживаясь, мы бы пришли к математике непроходимой сложности э). Чтобы избавиться от этих последствий, Рассел и Уайтхед были вынуждены ввести „аксиому сводимости', утверждающую сущеСтвование для каждого соотношения между, индивидами" эквивалентного ему соотношения первого порядка; условие, столь же произвольное, сколь и аксиомы формалистов, значительно уменьшило интерес к построениям Рг!ие!р!а. Поэтому система Рассела и Уайтхеда имела больший успех у логиков, чем у математиков; к тому же эта система не полностью формализована 4), из чего получаются многочисленные неясности в деталях.
Были сделаны различные попытки упростить и прояснить эту систему [Рамсай (Кашзеу), Хвистек (СП4ч!з!е[4), Куайн (Яп!Ее), Россер ([[оззег)[; стремясь пользоваться ') В действительности, это только начало классификации .типов", которую без очень длинных построений нельзя верно изложить; читатель, желающий более детальных объяснений, может прямо обратиться к введению в т. П Рг!пс!р!а Марвещацса [38[. ') Таким образом, например, в противоположность системе Цермело— Френкеля в системе Рзссела и Уайтхеда соотношение хйх не может быть законно написано (ср.
гл. !1, Е 1, п'4). ') Например, равенство ие является первоначальным понятием в системе Рггиегр!а: два объекта а, ь равны, если для всякого свойства Р[х[, Р[а[ и Р [6[ — эквивалентные высказывания. Но это определение не имеет смысла в теории тиров: чтобы придать ему смысл, нужно по крайней мере уточнить .порядок Р, а это привело бы нас к различению бесконечного числа соотношений равенства! Впрочем, Цермело в !903 году заметил [45б[, что многие определения классической математики (например, определение нижней грани множества в й) не соблюдают ,принцип порочйого круга" и что принятие этого принципа угрожало бы, таким образом, наложить запрет на важные разделы самых традиционных математических теорий.
') Рассел и Уайтхед (как и Фреге) стояли на классической позиции относительно математических формул, которые для них всегда должны иметь ьсммсл', относящийся к подсознательной деятельности мышления. все более и более окончательно формализованным языком, эти авторы заменяли правила Рппс!р!а (еще имевшие некоторое интуитивное основание) ограничениями, учитывающими только запись рассматриваемых выражений; эти правила не только казались тогда столь же немотивированными, как и запреты, сформулированные в системах Цермело — Френкеля или фон Неймана, но, будучи еще более далекими от математической практики, они в нескольких случаях привели к неприемлемым следствиям, непредвиденным самим автором (например, парадокс Бурали — Форти или отрицание аксиомы выбора). Для математиков вышеуказанных школ дело состоит прежде всего в том, чтобы не отказаться ни от какой части наследия прошлого: „Никто не емохсет нас изгнать из рая, созданного для нас Кантором", — говорил Гильберт ( [15[, стр.
274) '). Для достижения этой цели они согласны принять такие ограничения на математические рассуждения, которые не очень существенны, поскольку они согласованы с обычаем, но, видимо, не налагаются нашими умственными привычками и интуицией понятия множества. Все кажется им предпочтительнее вторжения психологии в критерии законности математики; чем „учитывать свойства наших мозгов", как говорил Адамар ([8[, стр. 270). они скорее готовы смириться с введением в математическую область границ, большей частью произвольных, лишь бы они включали классическую математику и не угрожали затормозить дальнейший прогресс.
Совсем иную позицию занимали математики того направления, о котором нам остается сказать. Если формалисты соглашались отказаться от контроля „умственного взора' в вопросах, касающихся математического рассуждения, математики, которых называли,эмпирнстами", „реалистами" или „интуиционистами", отвергали этот отказ; им необходима была некоторая внутренняя уверенность, гарантирующая „существование' математических объектов, которыми они занимались. Пока речь шла только об отказе от пространственной интуиции, серьезных возражений не было, поскольку арифметические „модели" позволяли укрыться за интуитивным понятием целого числа. Но появились непримиримые возражения, когда был поставлен вопрос сначала о сведении понятия целого числа к (намного менее точному интуитивно) понятию множества, а затем о наложении †б интуитивного обоснования — на обращение с множествами ограничений. Первым по времени из этих противников (который к тому же в силу авторитета своего таланта должен был оказать наибольшее влияние) был Пуанкаре; приняв не только аксиоматическую точку зрения относительно геометрии и арифметизации анализа, но и большую часть канторовской теории (которую он одним из первых с успехом применял в своих работах), он, однако, отказывался представить себе, ') Стр.
350 русского издания.— Прим. ред. 22 н. Втэз ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 338 ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И КРИЗИС ОСНОВАНИЙ что и к арифметике также мог быть применен аксиоматический метод; в частности, принцип полной индукции казался ему фундаментальным предчувствием нашего сознания, он считал, что в этом принципе невозможно видеть чистое соглашение') [37в]. Принципиально враждебный формализованным языкам, полезность которых он оспаривал.
Пуанкаре постоянно смешивал понятие целого числа в формализованной математике и только намечавшееся тогда использование целых чисел в теории доказательства, о котором мы будем говорить дальше; без сомнения в то время это различие было трудно сделать таким же отчетливым, как сегодня — после 50 дет изучения и обсуждения, однзко его хорошо чувствовали такие ученые, как Гильберт или Рассел. Подобные критические выступления участились после введения Цермело в 1904 году аксиомы выбора [46а]. Ее использование в многочисленных предшествующих доказательствах анализа или теории множеств проходило до тех пор незамеченныма); следуя идее, подсказанной Эрхардом Шмидтом, Цермело, сформулировав явно эту аксиому (притом в двух формах, приведенных в „Теор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
