Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Хотя вначале н нужно добавлять к ним объекты н явления, которыми занимаются механика, астрономия, оптика и музыка, эти „математические" дисциплины всегда ясно отделены у греков от арифметики и геометрии, а начиная с Возрождения, они довольно быстро возводятся в ранг независимых наук. Каковы бы ни были философские оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайней мере один пункт, в котором они единодушны: это то, что эти объекты нам донн и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства так же, как физик не может изменить какое-либо природное явление.
Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются реакции психологического порядка, в которые нам не следует углубляться, но которые хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее. Отсюда до приравнивания этого сопротивления обстоятельствам, которые противопоставляет нам внешний мир,— только один шаг; и даже сегодня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита: „Я полагаю, члто числа и функции Анализа не яеляюгпся произеольннм созданием наш г д я умою, что они существуют ене нас с такой же необходимосгпью, как и предмегпн обаектианой реальности, и мн их встречаем или открнеаем и изучаем их гпак же, как физики, химики и зоологи" [[37], т. П, стр.
398). В классической концепции математики не может быть и речи об уклонении от изучения чисел и фигур; но эта официальная доктрина, о своем согласии с которой каждый математик считает себя обязанным заявить, создает понемногу невыносимые затруднения по мере накопления новых идей. Замешательство алгебраистов перед отрицательными числами прекратилось лишь тогда, когда аналитическая гео- я ') В этом артикуле французским прообразом .математических объектов" служат .Ой[ага юаФсеша11циез"; в другик местах —.аггее ша!Башаццяез".— 1 Прим. ред. ОБЪЕКТЫ, МОДЕЛИ, СТРУКТУРЫ 319 318 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК метрия лала им удобную, интерпретацию"; но еще в середине ХТП! века Даламбер (правда, убежленный „позитивист'), обсуждая этот вопрос в Энциклопедии [! 8]. после целого ряда довольно запутанных объяснений внезапно испугался и ограничился заключением, что „правила алгебраических операций над отрицательными величинами общеприняты всем светом и всюду признаются точными, какую бы идею, впрочем, с этими величинами ни связывали".
Еше больший скандал был из-за мнимых чисел; нбо если это „невозможные " корни и если (вплоть до 1800 года) не видно никакого способа их „интерпретировать", как можно без противоречия говорить и ь? об этих неопределимых сущностях и, особенно, зачем их вводить Дзламбер хранил здесь осторожное молчание и даже не ставил этих вопросов, без сомнения, потому, что признавал, что он не смог бы ответить на иих иначе, чем столетием раньше наивно сделал это Жерар (О)гагб А.) [21]: „Могли бы сказаты для чего служат эти невозможные решения? Отвечаю, для трех вещей: для верности общего правила, чтобы не было других решений и ради своей полезности".
В анализе положение в ХЧП! веке было ничуть не лучше. Счастливым обстоятельством было появление в нужный момент аналитической геометрии, давшей великому творению ХьгП века — понятию функции — „представление" в виде геометрической фигуры, сильно сп особствовавшей тем самым (у Ферма. Паскаля или Барроу) возник- 1Ч, новению анализа бесконечно малых (см, Исторический очерк к книге гл. 1 — П вЂ” ГП.
Но известно зато, какие философско-математические споры должны были дать место понятиям бесконечно малой и неделимого. И хотя здесь Даламберу больше повезло и он признавал, что в „метафизике" анализа бесконечно малых нет ничего иного, кроме понятия предела, он не больше своих современников мог понять истинный смысл разложений в расходящиеся ряды и объяснить парадокс получения точных результатов в конце вычислений с выражениями, лишенными всякой числовой интерпретации. Наконец, даже в области „геометрической достоверности" эвклидовы рамки трещали: когда Стирлинг в 1717 году, не колеблясь, говорил. что некоторая кривая „имеет мнимую двойную точку в бесконечности" '), трудно было бы, конечно, связать такой „объект' с общепринятыми понятиями; и Понселе, который в начале Х!Х века, основав проективную геометрию, дал значительный толчок подобным идеям, еще довольствовался ссылкой в качестве оправдания на совершенно метафизический „принцип непрерывности".
Понятно, что в этих условиях (и даже в момент, когда, как ни парадоксально, со все большей силой провозглашали „абсолютную истинность" математики) понятие доказательства в течение Х У'П! века, по-видимому. все больше н больше затемняется, поскольку не в со- ') 3 г! г11яй г., ь1пеае!еггй огд!пи ргеыгоп(апае...
(1717). стоянии фиксировать. подобно грекам, понятия, о которых рассуждают, и их основные свойства. Возврат к строгости, начавшийся в начале Х1Х века, внес некоторое улучшение в это положение вещей, но отнюдь не остановил волны новых понятий: в алгебре мы видим появление мнимостей Галуа, идеальных чисел Куммера, за которыми следуют векторы и кватернионы, п-мерные пространства, поливекторы и тензоры, не говоря уж о булевой алгебре. Несомненно, значительным успехом (как раз и позволившим вернуться к строгости, без потери предшествующих завоеваний) является возможность создания „моделей" этих новых понятий в более классических терминах: идеальные числа или мнимости Галуа интерпретируются теорией сравнений, п-мерная геометрия оказывается (если угодно) просто чистым языком для выражения результатов алгебры,от п переменных"; а для классических мнимых чисел, геометрическое представление которых точками плоскости знаменует начало этого расцвета алгебры, вскоре уже появился выбор между этой геометрической, моделью" и интерпретацией в терминах сравнений (см.
Исторический очерк к книге П, гл. !т7 — ~Г>. Но математики начали, наконец, отчетливо чувствовать, что это противодействует естественному направлению их работ н что в математике должно быть позволено рассуждать об объектах, не имеющих никакой чувственной „интерпретации'. Сущность математики, — говорил Буль в 1854 году, — не состоит в том, чтобы заниматься идеями числа и величины" ([7б], стр.
13) г). То же беспокойство заставило Грассмана в его „Ацзбе!гпнпдз!е[гге" 1844 года представить свое исчисление в форме, в которой прежде всего были бы исключены понятии числа или геометрического объекта г). А несколько ') В этом отношении Лейбниц снова проявил себя как предтеча: .Универсальная математика, — говорил он, — это, так сказать, логика воображения' и она должна изучать,все, что в области воображения поддаетгя точному определению" ([27в], стр.
348; ср. [26], стр. 299 — 291); и для него главной частью так понимаемой математики является то, что ои называет „Комбинаторикой или .Искусством формул", под чем он понимает главным образом науку об абстрактных соотношениях между матемаги. ческими объектами. Но тогда как ло сил пор соотношения, рассматривавшиеся в математике, почти исключительно были соотношениями величин (равенство, неравенство, пропорциональность), Лейбниц приводит много других типов соотношений, которые, по его мнению, должны были бы систематически изучаться математиками, как, например, соотношение включения или то, что он иазывает соотношением однозначного или многозначиого,установления' („йагегт!еаг!Оп ) (т.
е. понятия отображения и соответствия) ([26], стр. 397 — 319). Много других современных идей по этому вопросу вышло из-под его пера: он замечает, что различные соотношения эквивалентности в классической геометрии имеют общие свойства симметричности и транзитивиости; он излагал также понятие соотношения, совместимого с соотношением эквивалентности, и ясно указал, что произвольное соотношение не обязательно обладает этим свойством ([28], стр. 313 †3). Разумеется, он здесь, как и везде, защищал употребление формализованного языка и даже вводит знак, который должен обозначать переменное соотношение ([26], стр.
301). ь) Нужно признать, что его весьма философского вида язык не очень был приспособлен, чтобы соблазнить большинство математиков, которые не- ИСТОРИЧЕСКИП ОЧЕРК 321 ОБЪЕКТЫ. МОДЕЛИ, СТРУКТУРЫ 21 и. Бхееаки позже Риман в своей вступительной лекции с самого начала заботился о том, чтобы при описании „п-кратно протяженных многообразий' говорить не о „точках". а о „способах задания" (Везг(щщппдзже[зе), и подчеркивал, что в таком многообразии „метрические отношения" (Маззчег[га[(п[ззе) „могут бьипь исследуемы посредством отвлеченных величин и поставлены ва взаимную связь с помощью формул; однако при некоторых предполозкениях их можно свести к таким отношениям, которые, будучи рассматриваемы каждое в отдельности, допускают геометрические представления, и следавателвно, становится возможным результаты вычислений выражать в геометрической форме" ([39[, стр.
2761)). Начиная с этого момента. выход аксиоматического метода на арену становится признанным фактом. Хотя еще в течение некоторого времени считзли полезным проверять, когда это возможно, „абстрактные' результаты геометрической интуицией, признавалось по крайней мере, что „классические" объекты — не единственные, которые математики законно могли бы изучать. Дело в том, что — как раз ьо причине многочисленных возможных .интерпретаций" или „моделей" — было признано, что „природа" математических объектов есть, в сущности, дело второстепенное и что довольно неважно, например, представили ли мы результат в виде теоремы „чистой' геометрии или при помощи аналитической геометрии в виде алгебраической теоремы, Другими словами, сущность математики — это ускользающее понятие, которое до тех пор смогли выразить только неопределенными названиями вроде „общего правила" или „метафизики" — появляется как изучение соотношений между объектами, которые теперь (сознательно) познаются и описываются, исхоля только из некоторых из своих свойств, а именно из тех, которые в качестве аксиом принимаются за основу их теории.
Именно это ясно видел Буль в 1847 году, когда он писал, что математика изучает „операции, рассматриваемые сами па себе, независимо от различных материй, к которым они могут быть приложены" ([7а[, стр. 3). Ганкель (НапКе1) в 1867 году, приступая к аксиоматизации алгебры, защищал математику, „чиста интеллектуальную, чистую теорию форм, имеющую своим предметом не совокупность величин или их образов — чисел, на мысленных вещей („Седапйепд[пйе"), которым ловко себя чувствовали перед, например, следующей формулой; „Чистая математика есть наука особого бытия, поскольку она рождена е мышлении (Р!е 1Ч!ззеазсьзй Сез безапйегеп 3е1яз а1з е1вее йигсЛ йаз Оевйев иеыогйепеп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
