Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 74
Текст из файла (страница 74)
истОРическии ОчеРк ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ сальный ум, если таковой когда-либо существовал, неисчерпаемый источник самобытных и плодотворных идей, Лейбниц тем более должен был интересоваться логикой, что она находилась в самом центре его грандиозных проектов формализации языка и мышления, над которыми он не переставал работать всю свою жизнь. Порвав с самого детства со схоластической логикой, он увлекся мыслью (восходящей к Раймону Люллю ([саугпопб [.пПе)) о методе, который разлагал бы все чегьвеческие понятия на простейшие понятия, составляющие „Алфавит человеческого мышления", и, комбинируя нх чуть ли не механически, получал все истинные высказывания [[26], т.
ЧП, стр. !85; ср. [44[, гл. !Ц. Также в ранней молодости у него возникли еше более оригинальная идея о полезности символических обозначений как,нити Ариадны' для мышления'): Истинный метод,— говорил он,— должен давать нам 1!!игп Абайпез, т. е. некое чувственное и грубое средство, которое управляло бы нашим умом, как начерченные линии е геометрии и предписанные ученикам формы операций в арифметигге. Без етого наш ум не мог бы проделать долгий путь, не заблудившись" [[26], т. ЧП, стр.
22; ср. [26[, стр. 901. Будучи до 25 лет мало знакомым с математикой своего времени, он сначала представлял свои проекты в форме „универсального языка' [[26[, гл. ПЦ; но как только он ознакомился с алгеброй, он принял ее в качестве модели своей „Универсальной характеристики", под которой подразумевал символический язык, способный однозначно выразить любую человеческую мысль, усилить нашу способность к дедукции, избегать ошибок прн помощи совершенно механического напряжения внимания и, наконец, построенный так, чтобы „химеры, которые не понимает даже тот, кто их выдвигает, не могли быть записаны е этих знаках" [ [27а[, т. 1, стр.
187[. По многочисленным отрывкам из его сочинений, где Лейбниц упоминал о своем грандиозном проекте н об успехах, которые повлекла бы за собой его реализация [см. [26[, гл. 1Ч и ЧЦ, видно, с какой ясностью представлял он себе понятие формализованного языка, чистой комбинации знаков, в которой важен только взаимный порядокг), так что машина была бы сгр, 280) ио существу было известно от Аристотеля ([Ц, тор., ч1,4; [44], стр. 87).
Что касается Декарта, то предлагаемые им правила рассуждения являются, скорее, психологическими предписаниями (достаточно туманными), а не логическими критериями; поэтому, как упрекал его Лейбниц ([44], стр. 94 н 202 — 203), зги правила имеют только субъективное значение. ') Разумеется, интереса к такому символизму не избежали и предшественники Лейбница в математике, и Декарт, например, рекомендовал заменять целые фигуры „очень короткими знаками' (ХЧ1-е Правило для руководства уиа; [20], г.
Х, стр. 454). Но никто до Лейбница не настаивал так сильно на универсальной значимости этого принципа. ') Поразительно видеть, как он приводит в качестве примеров .надлежащего' Рассуждения .счет сборщика („яа совр!е йе гесегеиг,) или даже юридический текст ([270], т. !Ч, стр. 295). способна дать нам все теоремы ') и все споры решались бы простым вычислением [[276[, т. ЧП, стр. 198 †20.
Хотя эти надежды могут показаться чрезмерными, но тем не менее правда, что именно с этой постоянной тенденцией мышления Лейбница следует связывать значительную часть его математического наследия, начиная с работ по символизму Анализа бесконечно малых (см. Исторический очерк к книге 1Ч, гл. 1 — П вЂ” Ш); он сам это прекрасно осознавал и явно связывал со своей „Характеристикой" идеи об индексном обозначении и определителях [[27а[, т. П, стр. 240; ср. [26[, стр. 481 †48 и свой набросок „Геометрического исчисления [см.
Исторический очерк к книге П, гл. П и Ш; ср. [26[. гл. 1Х[, Но по его мысли основной ее частью должна быть Символическая логика или, как он говорит, „Са!сп1пз га!!Ос!па1ог" г) и, хотя ему не удалось создать это исчисление, тем не менее он по крайней мере трижды предпринимзет попы гки в этом направлении. В первый раз у него была мысль поставить в соответствие каждому „примитивному" термину простое число, а всякий термин, составленный нз нескольких примитивных терминов, представить произведением соответствующих простых чиселз); он старался перевести в эту систему обычные правила силлогизма, но натолкнулся на значительные затруднения, вызываемые отрицанием (которое он довольно естественно пытался представить изменением знака), и быстро оставил этот путь [[27с[, стр.
42 — 96; ср. [26[, стр. 326 — 344[. В своих последующих работах он пытался придать аристотелевой логике более алгебраическую форму; для конъюнкции двух понятий он то сохранял обозначение АВ, то использовал обозначение А + В 4); он обратил внимание (в мультипликативных обозначениях) на закон идемпотентности АА = А, заметил. цто высказывание ,всякое А есть В" можно заменить равенством А = АВ и что, исходя из этого, большую часть правил Аристотеля можно вывести вновь чисто алгебраическим вычислением [[27в], стр. 229 †2 и 356 †3; ср.
[26[, стр. 345 †36; у него была также идея пустого понятия („поп Епз"а)) и он сознавал, например, эквивалентность высказываний „всякое А есть В' и „не существует А (не В)" (1ос. сй.). Кроме того, он заметил, что его логическое исчисление применимо не только к логике понятий, но и к логике высказываний [[27в], стр. 377[. Таким образом, он, вероятно, был очень близок к „булеву исчислению". К сожалению, ему не полностью, ') Известно, что зто понятие „логической машины" используется в наше время в метаматеиатике, где оно играет важную роль ([141, гл.
ХП1). ') „Исчисление, производящее рассуждения' (лат.). — Прим. ред. ') Эта идея в несколько отличной форме с успехом была применена Гсделеи в его работах по иетаматеиатике (см. [!2а[ и [6], стр. 254). ') Лейбниц пытался ввести в свое исчисление дизъюнкпию только в нескольких фрагментах (где он обозначает ее А + 8) и, по-видимому, еиу не удается удовлетворительно оперировать одновременно згой операцией и конъюнкцией ([26] стр.
363). ь) „Не сущее (лат.).— Прим. ред, 20 Н. Зурбакь ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ по-видимому, удалось освободиться от влияния схоластов; мало того. что он считал целью своего исчисления почти исключительно перевод в свои обозначения правил силлогизма' ), но и самые счастливые свои идеи он принес в жертву желанию вновь получить полностью правила Аристотеля, даже те, которые несовместимы с понятием пустого множества т). Работы Лейбница большей частью оставались неизданными вплоть до начала ХХ века и прямое влияние их было незначительно.
В течение всего ХЧ1П и начала Х1Х века различные авторы (де Сегнер (бе Зеяпег), Ж. Ламберт (3. БашЬег!), Плукке (Р1опсс]пе!), Голланд (НО11апб), де Кастильон (Ое Саз!!!!оп), Жергонн (СегКоппе)) предпринимали попытки, подобные попыткам Лейбница, никогда не превосходя заметно уровня, на котором остановился он; их работы имели только очень слабый отклик, и большинство из них даже ничего не знало о результатах своих предшественников з).
Впрочем, точно в таких же условиях пишет и Дж. Буль, которого следует рассматривать как истинного создателя современной символической логики [7]. Бго главная мысль состояла в систематическом проведении „объемной" точки зрения и в оперировании, следовательно, прямо с множествами; через ху он обозначал пересечение двух множеств, а через х + у — их объединение, когда х и у не имеют общих элементов.
Он ввел, кроме того,,универсум", обозначаемый 1 (множество всех объектов), и пустое множество, обозначаемое О, и обозначил через 1 — х дополнение множества х. Подобно Лейбницу. он интерпретировал соотношение включения соотношением ху = х (из чего без труда получил справедливость правил классического силлогизма), и его обозначения для объединения и допвлнения придают его системе гибкость, которой не доставало его предшественникам ').
Кроме того, связывая с каждым высказыванием множество .случаев", в которых оно выполняется, он интерпретировал ') Лейбниц очень хорошо знал, что аристотелева логика недостаточна для формального перевода матенатичесних тенстов, но, несмотря на несколько попыток, ему не удалось улучшить ее в зтои отношении ([26], стр. 435 и 560). ') Речь идет о правилах, называемых „правилаии конверсии", основаннык на постулате «,Всякое А есть В' влечет „Неноторое А есть Внн в котором предполагается, естественно, что А ие пусто. ') Начиная с середины ХЧ]П вена влияние Канта также несомненно сказывается на том малом интересе, который вызывала в зто время формальная логика; он считал, что „нам не нужны никакие новые изобретенил а логике", так кан форма, приданная ей Аристотелем, достаточна для всех возможных приложений [)Ггегяе, т.
Ч111, Вег1!и (В. Сааз!гег), 1923, стр. 340]. О догматических воззрениях Канта на математику и логику можно прочесть в статье 1.. С о и ! и г а 1, 17еиие гге метарй. ет гте Мага!е, т. ХВ (1904), 321 — 383. ') Заметим, в частности, что Буль пользовался дистрибутивностью пересечения относительно объединении, замеченной впервые, по-видимому, Ж. Ламбертом. соотношение импликации как включение, и его исчисление множеств дало ему, таким образом, правила,исчисления высказываний".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
