Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Заключение будет вытекать из СТ!2, как только мы покажем, что терм (()!г/)Г есть терм типа 5' при типизации Т. Но в Д" соотношение Т влечет каждое из соотношений () ~5/(х, А) и 1У ~ 5'(х, А); следовательно. Т влечет соотношение (()!г/)Т и, наконец, так как г не встречается в терме 5'(х, А), Т влечет соотношение (()!г ) Г ~ / ~5'(х. А) (критерий С2, гл. 1, $2, п' 3). СТ18.
Пусть () — переносимый терм типа 1!г(цг(5)) для Т. Тогда /перм Ц Х есть переносимый терм типа 1!5(5); если Т хбс влечет () чь О, то же верно и для терма ПХ, хбс СТ!9. Если () и à — переносимые термы типа ч!г(5), то же верно и для термое ()()()', () П)У, 5(х, А) — ().
ГЛ. гч. СТРУКТУРЫ 288 Кфф((Ч((3)с=Г) и Ч и Ч=1 („)) 19 и. Еурвикч СТ20. Если (3 — переносимый гверм типа 5 Х 5', рг!(3 и ргг()в переносимые термы типов 5 и 5' соответственно. Если Г— переносимый терм типа 11г(5Х 5'), рг,(Г) и рг,(Г) — переносимые термы типов ((г(5) /г !4з(5!) соответственно. Докажем, например, первую часть критерия СТ18. Пусть г, Г— две буквы, различные между собой и отличные от букв, введенных до сих пор; соотношение Т влечет соотношение (ЕЕ(3 и /~г)=ф(/~5(х, А) и г ~зйг(5(х, А))). Таким образом, достаточно показать, что множество элементов (Е5(х, А), таких, что (Лг)(гЕ(3 и Г~г), переносимо типа !4г(5) для типизации Т. НО этот терм — типа 11Э(5) для Т и переносимый терм типа !4г(5) типизации „Т)х, а, А1 и г~(Р(5(х, А)) и /!=5(», А)"; так как он не содержит ни г, ни /, из СТ12 получаем нужное заключение.
Доказательства остальных критериев вполне аналогичны. В дальнейшем мы не будем делать различия между соответствием и его графиком. СТ2!. Если (3 — переносимый терм типа цг(5 Х 5') и Г— переносимый терм типа (1э(5' Х 5"), то Г и(3 — переносимый — 1 терм типа Р43(5 Х 5"), а (3 — переносимый терм типа йг (5'Х5). СТ22.
Если (3 — переносимый терм типа 1(г(5 Х 5') и Ч— переносимый терм типа !4г(5), терм 13(Ч) — переносимый терм типа !йз(5'). СТ23. Если 13 — переносимай терм типа 1(г(5), тождественное отображение 1О множества (3 на себя лереносимо !вива Ф(5Х5). Доказательство этих критериев мы предоставляем читателю.
СТ24. Предположим, что 13 — вереносимай терм типа !йг(5'). à — переносимый терм типа гйЭ(5!) и Ч вЂ” переносимый терм типа 1(г(5Х 5!). Тогда соотношения „Ч есть отображение множества (3 в Г" Ч есть инъекция множества (3 в (3" и и Ч есть сюръекция множества (3 в (3" и и „Ч есть биекция множества (1 в (3 " переносимы.
Докажем утверждение, например, для первого соотношения, которое мы обозначим через к. Очевидно, что в гТ типизация Т влечет соотношение ПРИЛОЖЕНИЕ. КРИТЕРИИ ПЕРЕНОСИМОСТИ Таким образом, заключение вытекает из СТ9 и критериев СТ21, СТ22, СТ23, СТб и СТЗ. Предоставляем читателю доказательство следующих критериев. СТ25. Пусть (3, Г, Г', Ч вЂ” переносимые термы типов соответственно 5, !4Р(5), (вэ(5'), !чг(5 Х 5') при типизации Т. Предположим, что соотношение Т влечет соотношения „Ч есть отображение множества Г г Га и (3 ~ Г.
Тогда терм Ч (О)— переносимый терм типа 5". Если, кроме того, %' — переносимый терм типа !4З(5) и соотношение Т влечет соотношение %'г=Г, терм, сужение отображения Ч на %'" — переносимый терм типа (вз(5 Х 5'). СТ26. Если )с — переносимое соотношение, график соотношения „г) Е 53 (х, А) и гг Е 5„(х, А) и К" по г и г„есть псреносимай терм типа Яз(5)Х5г). СТ27. Предположим, что для двух различных индексов 3, й схемы 53 и 5„одинаковы и пусть ври типизации Т(3 есть переносимый терм типа ф(53) и к — переносимое соотношение. Предположим, кроме того, что соотношение Т влечет соотношение „11 есть соотношение эквивалентности в (),между г3 и гг". Тогда терм (3/)т — переносимый терм типа !1Р(йг(5 )) и каноническое отображение множества (3 на (3/К есть переносимый терм типа Рег(53 Х!(Р(53)). СТ28.
При типизации Т пусть Ч вЂ” переносимый терм типа (вз(5 Х 5'); каноническое распространение соответствия Ч на !йг(5(х, А)) и !4Р(5'(х, А)) есть «ереносимай терм типа 'чг(тг(5) Х 4в(5 )) Пусть (3, (3!, Г, (3; — переносимые термы типов соответственно В)г(5), !3)г(5Я), 4з(5'), 11З(5сч), Ч, вере. носимый терм типа гйг(5" Х 5сч) и предположим. что соотношение Т влечет соотношения „Ч есть отображение множества (3 в Г" и „Ч, есть отображение множества 13! в (3,'". Тогда каноническое распространение отображений Ч и Ч, на (3 Х О! есть переносимый терм типа ггг((5 Х 5") Х (5' Х 5"')). СТ29. Пусть О, Г, ()и — три переносимых терна типов соответственно !йг(5), !4Р(5'), !ц)(5и). Тогда каноническая биекция множества (13 Х Г) Х 13" на 13 Х(Г Х(3") и каноническая биекция множества О Х Г на Г Х О являются переносимыми термами типов соответственно Ф Н(5 Х 5') Х 5Я) Х (5 Х (5' Х 5"))) и Ф И5 Х 5') Х (5' Х 5)) ГЛ.
Па СТРУКТУРЫ а ПРИЛОЖЕНИЕ КРИТЕРИИ ПЕРЕНОСИМОСТИ 291 СТЗО. Пусть (), (У вЂ” два переносимых терял типов соотеетстеенно ф(8), ф(3'). Тогда множестео отображений множестеа () е ()' является переносимым термам типа Чую( Х8». СТ31. При типизации Т пусть () — переносимый терм типа ф(8)), Ч вЂ” переносимый терм типа ф(31 Х ф(8»; предположим, что соотношение Т влечет соотношение „Ч есть отображение множества () е ф(8(х, А»" и что 87 не встречается ни е (), ни е Ч. Тогда термы Д Ч(81) и Ц Ч(81) — перено- ТЕС .Рп 7 симые термы типов 148(ф(87 Х 3» и ф(Я) соотеетсльеенно. Если Т влечет соотношение () + 8, терм Ц Ч(8;) переноси- )РО мый терм типа ф(Я).
3. Примеры В этом пункте мы предположим, что <T есть теория множеств. 1) Покажем, что соотношение „х, и хг равномощны" переносимо, когда х, и хг — единственные исходные буквы (иначе говоря, я=2, р=т=О и в качестве Т берется соотношение. истинное в 7'). В самом деле, это соотношение эквивалентно в <T соотношению (1«)(«сф(х1Хха) и «есть биекция множества х, на х,). Из СТ 24, СТ 3 и СТ 14 следует, что это соотношение переносимо при типизации „Т и «~ф(х1 Х х,)"; следовательно, в силу СТ 8, оно переносимо также и при Т, так как ф(«1 Хх,) Ф О.
Доказательство заканчивается с помощью СТ 9, 2) Соотношение „х, есть бесконечное множество' переносимо, тогда х, — единственная исходная буква и А, = М вЂ” единственный исходный терм (Т вЂ” соотношение, истинное в Д). В самом деле, оно эквивалентно соотношению (=1«) («<=. х, и «равиомощно множеству )ь(), а это последнее переносимо при типизации „Т и «~ф(х1)", что вытекает из примера 1 и критериев СТ 5, СТ 3 и СТ 14. Требуемое .заключение получаем, как в примере 1, используя критерии СТ 8 и СТ9. 3) Чтобы доказать. что терм Сагй(х) переносим при типизации Т (в которой х — исходная буква), следует найти схему конструкции ступени 8, такую, чтобы Саго(х) был типа Ь(х. А), чего в данном случае не существует.
Напротив, соотношение „Сагй(х,) (Сагд(хг)" переносимо, когда хп ха — единственные исходные буквы (р = О. т = О). В самом деле, оно эквивалентно переносимому соотношению (3«) (« ~ хг и «равномощно множеству х,). 4) Соотношение (обозначим его к1) „8, есть всюду определенный закон композиции на х," переносимо прн типизации Т: з,~ф((х1 Х х,) Х х,), как вытекает из СТ24. 'Покажем, что соотношение (обозначим его кг) ,8, есть всюду определенный и ассоциативный закон композиции на х, переносимо при Т. В самом деле, оно эквивалентно конъюнкции соотношения Й1 и соотношения з,а(8,Х! )=8,О(!У,Х8)ьз, где через д обозначено каноническое отображение множества (х, Х х,)Х х, на х, Х(х, Х х,); требуемое заключение получается с помощью СТ21, СТ 23 и СТ28. Покажем, во-вторых, что соотношение (обозначим его )тз) „8 есть закон композиции на х,, всюду определенный ассоциативный 1 и имеющий единичный элемент" переносимо.
В самом деле, оно эквивалентно конъюнкции соотношения 1(г и соотношения (З«)(«сх1 и (17«)((«'сх1)='Р(8,(«, «)=«' и 8,(«', «)=«»). Это последнее переносимо при типизации „Т и «~«1 и «'~«1"; заключение вытекает теперь из СТ8 и метода разделения по случаям (гл. 1, $ 3, п' 3), если заметить, что в теории, полученной добавлением к,у соотношения х,=о, соотношение Кз ложно и. следовзтельно, переносимо (СТ7 и СТ3), Наконец, соотношение „8, есть закон композиции группы на х," переносимо при Т, так как оно эквивалентно конъюнкции соотношения Ва и соотношения (Ч«) (Ч«') И«Е х, и «' Е х,) =)ь (Л«ь) («" Е х, и 8, («, «") = «') и (=1«") («"' ~ х, и 8, («", «) = «'»); рассуждение заканчивается так же, как для Кз.
Мы установили, таким образом, что аксиома рода структуры группы есть переносимое соотношение (при типовой характеристике этого рода структуры)., Лля всех обычных родов структуры соответствующая проверка получается из данных выше критериев также легко и чаще всего опускается. 19ь 292 ГЛ. [Ч. СТРУКТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЕ КРИТЕРИИ ПЕРЕНОСИМОСТИ 4. Относительно нереносимвге термвь и соогпношения Пусть Š— род структуры в »7, имеющий в качестве основных базисных множеств х,, ..., х„, в качестве вспомогательных базисных множеств АР ..., А, в качестве родовой структуры га; пусть гаЕЗо (х» ..., х„, АР ..., А ) — его типовая характеристика, которую мы обозначим Тз, и пусть Р— аксиома рода Е! следовательно, Р переносимо при типизации Та ($1, и'4).
Мы будем говорить, что соотношение К переносимо (е,7) относительно Е при типизации „Тз и Т", если соотношение Р=)»К переносимо з (7) при .Тз и Т', причем выполняются следующие условия: 1' исходные буквы соотношения Т суть хн ..., х„, з и (возможно) другие буквы х,', ..., х,', гп ..., г; исходные термы — А,, ..., А и (возможно) другие термы А,', ..., А,' теории 7, не содержащие никаких исходных букв соотношения Т; 2' Т имеет вид „г,~ $,(х, х', А, А') и ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
