Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Показать, что это понятие а-морфизма может быть определено методом упражнения 2. 'Дать пример такого семей- ства (Рз) структур рода Е на множестве А, что существует верхняя грань этого семейства структур (в упорядоченном множестве структур рода Е на А), но что эта верхнян грань не является структурой, началь- ной относительно семейства (Ап 'Рп 12), где Аг обозначает множество А, наделенное структурой ,9'>, а !г — тождественное отображение мно- жества А на Аь (Рассмотреть топологическое пространство А, в ко- тором существует замкнутое множество, имеющее не пустую внутрен- ность, отличное от своей внутренности и являющееся пересечением семейства открытых множеств.). Пусть 6 — род структуры *с той же тйповой характеристикой, что н Е, но аксиомой которого является соотношение А — НйЧ и Й(Ч~ Определим морфизмы для этого рода структуры тем же условием, что и выше.
'Дать пример такого семейства (:Я структур рода 6 на множестве А, что существует нижняя грань этого семейства структур (в упорядоченном множестве структур рода 6 на А), но что эта нижняя грань не является структурой, финальной относительно семейства (А„', л'т, 12), где А„ обозначает множество А, наделенное структуа рой ~„', а 12 — тождественное отображение множества А~ в А (тот же метод)., 7) ' Пусть Š— род структуры, имеющий основное множество базы А, вспомогательное множество Й, общую структуру, состоящую из двух букв Ч, Т с тйповой характеристикой Чйф(г(Ь(А)) н Тйф(ЙЪС,А), н следующие аксиомы: 1' аксиому Й)Ч( рода топологической структуры (ф 1, и' 4, пример 3); 2' соотношение: .существует а > О, такое, что Т является функциональным графиком непрерывного (относительно топологии Ч) инъективного отображения интервала (О, а) в А".
Если А, А' — два множества, надеденные соответственно структурами (Ч, Т), (Ч', Т') рода Е, определим а-морфизмы множества А в А' как непрерывнме (относительно Ч, Ч') отображения,5, график р которых таков, что Раус: Т'. Показзть, что это понятие а-морфизма может быть определено методом упражнения 2 и что на произведении двух множеств А„А2, наделенных произвольными структурами рода Е, существует структура-произведение. Дать пример, в котором прямой образ структуры-произвеления из А,ч, Аа при первой проекции рг, не был бы структурой, заданной первоначально на А, (взять за А, пространство, гомеоморфное пространству Й)., 8) Пусть Š— род структуры, имеющий одно (основное) бззисное множество А, общую структуру (Ч, а, Ь), состоящую нз трех букв с тйповой характеристикой Чйф(ф(А)) и айА и Ьйд, н аксиома которого есть соотношение Й(Ч( и афЬ, где Й)Ч ! — аксиома рода топологической структуры 6 1, п' 4, пример 3).
Если А, А' — два множества, наделенные соответственно структурами (Ч, а, Ь), (Ч', а', Ь'), определим а-морфизмы множества А в А' как непрерывные (относительно Ч, Ч') отображения 7, такие, что у(а) =а' и У(Ь) Ь'. Показать, что, заменив Е родом эквивалентной структуры, это понятие а-морфизма можно получить методом упражнения 2. Показать, что для двух множеств А, В, наделенных структурами л', л" рода Е, на А Х В существует структура-произвеление и что прямои образ втой структуры при рг, (соответственно ргэ) есть и (соответственно Р'); 'дать пример, в котором не существовало бы иссечения, ассоциированного с рг„являющегося а-морфизмом множества А в АХ В (взять за А связное пространство, за  — дискретное пространство).„ ' 9) Пусть Š— род структуры тела. Показать, что понятие а-морфизма для этого рода структуры определяется, если взять в качестве морфизмов тела К в тело К', во-первых, представления у' тела К в К' в смысле примера 2 п' 1 н, кроме того, отображение уа тела К в К', такое, что уа(О) = О, уа(х) = 1 для всякого л чь О в К.
Показать, что ато понятие морфизма обладает следующими свойствами: для всякого тела К (произвольной характеристики) структура тела К ! % 3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 273 ГЛ. !У. СТРУКТУРЫ 272 индуцирует на множестве (О, 1] структуру тела (изоиорфную структуре тела Г,); нроме того, если й есть соотношение эквивалентности, классами эквивалентности которого являются (О] и К* = К вЂ” (О], существует факторструктура (изоморфная структуре 'тела Г!) структуры тела К по соотношению Ко. '1О) Пусть Š— род структуры полного и архимедовски упорядоченного тела. Для всякого множества А, нзделенного структурой рода Х, пусть ТА — единственный изоморфизм множества А на Если А,  — два множества, наделенные структурами рода Х, показать, что в качестве норфизмов множества А в В можно взять такие отображения у множества А в В, что Чв(у(х) ) > ТА(х) для всякого хе А.
Для этого понятия морфизма показать, что существуют биективные морфизмы, не являющиеся изоморфизмами, хотя род структуры Е однозначен., 11) Пусть Х вЂ” род структуры (в теории 7'), содержащий только одно множество базы; пусть г Е Р (х) — тйповая характеристика, К] х, г] — аксиома рода Х. Обозначим через А (х) множество структур рода Е на х. Пусть а ] х, у, г, г] — терм, удовлетворяющий условиям (МО!), (МОН) и следующему условию: (МО,г!). Если в теории 7", более сильной, чеи з, даны два множества Е, Е', наделеннме структурами л',,~' рода Е, то для всякого изоморфизма у множества Е на Е' уй а)Е, Е', Ф', ло']. а) Пусть ! — тождественное отображение множества х на себя.
Показать, что соотношение О]х, з, г]: .г ЕА(х) и ТЕ А(х) и 1„йа]х, х, г, г]Да]х, х, г, з]" есть соотношение аквивалентности между г и г в А (х). Пусть В (х) есть фактормножество А(х)1(), чх — каноническое отображение множества А (х) на В(х). Предположим, что соотношение з 0 В(х) переносимо (относительно условий, обеспечивающих это, сн. приложение), и обозначим через 0 род структуры с тйповой характеристикой г' е Чь(Г(х)) и с аксиомой г' ЕВ(х). б) Пусть а]х, у, з', г'1 есть множество отображений уч,У (х, у), удовлетворяющих следующему соотношению: .з'ЕВ(х) и г'ЕВ(у) и существуют ей А (х) и ТЕ А (у), такие, что г'=Та(з) и г'=Т (г) и уйа]х, у, г, г]'.
Показать, что для рода структуры 0 терм а удовлетворяет условиям (МО!), (МОН) и (МО!Н) и что а ] х, у, г, г ] ~ а ] х, у, Те (г), Г„(г) ]. $3. Универсальные отображения У. Универсальные отображении и множества Пусть оу — теория, более сильная. чем теория множеств, и пусть Š— терм теории о~. Пусть Š— род структуры Б,T [для простоты мы всегла предполагаем, что Е определен на одном (основном) базисном множестве]! для краткости мы вместо „множество, нздсленное структурой рода Е", будем говорить „Е-множество". Пред- положим, кроме того, что для рода Е определено понятяе а-морфизма (0 2, п' 1) (как я в 0 2, мы будем вместо „а-морфизм' говорить „морфизм').
Наконец, пусть род Е определен на базисном множестве х и имеет общую структуру г ($ 1, п'4); предположим тогда, что в Д' определен терм и)х, г(, удовлетворяющий следующим условиям: (()М!). Соотношение и]х. г1~дР (Е, х) истинно г д (()Мп). Если е теории оу", более сильной, чем,T, Г, Г! — дга множестга, наделенные структурами дУдУ' рода Е, и если У есть морфизм множестза Р г Р'. то соотношение !у~а(Г, дУ] глечдт у о р ~ а 1 Р, дУ! ].
Мы будем выражать соотношение !у~и)х, г] словами: р есть а-отображение множества Е г множество х (наделднное структурой г). Отправляясь от этого определения, мы будем называть В-множество Р и а-отображение ре множества Е в Ге унигерсальными, если выполняется следующее условие: (АО). Для всякого а-отображения !! множества Е г В-множество Р сущестгует и единстеен морфизм У множества Р е Р, такой, что !!!=у ° !р . В этом случае говорят также. что пара (Ге, р ) есть решение проблемы унигерсального отображения для Е (относительно заданных Е, а и и). Пусть (Ге, ре) и (Г~, !р~) — два решения проблемы универсального отображения для Е.
Условие (А()) показывает, что тогла существуют единственный морфизм у! множества Ре в Ге и единственный морфизм у" множества Г в Р'. такие, что !~ео = У, о !~' и те = у г ' туе. Таким образом, Те — — угоу!оТЕ н Ве — ууоугоув. Применив (А()) к случаю Р=ГБ и ~=!уе, выводим из этого. что уг о У! есть тождественное отображение множества Ге, аналогично у! оуг — тождественное отображение множества Ге. Следовательно (0 2, п' 1, критерий СВТВ), у! есть изоморфизм множества Р' на Г", а у — обратный к наму изоморфиам.
Этот результат выражают также словами: решение проблемы универсального отображения для Е единственно с точностью до единственного изоморфизма. Чтобы установить, что пара (Ге, е ) есть решение проблемы универсального отображения лля Е, часто удобно проверить следующие два условия: 18 Н. Бурбаки ГЛ. Нл СТРУКТУРЫ г % г. УниВЕРсАльные ОтОБРАжения (А(3~).
Для всякого Е-множества Р и всякого и-отображения у множества Е в Р существует морфизм )' множества Рв в Р, такой, что р=У ° р . (А(),',). Для всякого Е-множества Р два морфизма множества Ре в Р, совпадающие на у (Е), равны. В самом деле, если эти условия выполняются, морфием у", существование которого обеспечено условием (А()г), едииствен в силу (А()ц) . Обратно, ясно, что (А()) влечет (А()~); кроме того, если у и у' — лва морфизма множества Р в Р, совпадающие на эе(Е), то у ь Ре =г" о уе откуда, применяя (А13) к а-отображению ) ~эе, з =г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
