Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 63
Текст из файла (страница 63)
8. Начальные струкнгуры Рассмотрим семейство (А,) е! множеств, каждое из которых наделено структурой оуо, рода В. Пусть, с другой стороны, Š— множество и для каждого гЬ-1 пусть у,— отображение множества Е в Ас Структура еу рода Е на Е называется структурой, начальной для семейства (А„25РР ~) ~!, если она обладает свойством: (1Х). Каковы бы ни были множество Е', структура ех"' рода Е на Е' н отображение д множества Е' в Е. соотношение „й' есть морфием множества Е' в Е" зквивалентно соотношению „каково бы ни было гЬ-1, отображение У, ой есть морфизм множества Е' в А,". СЗТ9.
Если на Е существует структура, начальная для семейства(АР Ф'Р О Е2, она является наиболее грубой из структур рода Е на Е, для которых каждое из отображений у, есть мор4изм, и, следовательно, единственна. В самом деле, пусть у — начальная структура на Е н оУ вЂ” структура рода Е на Е, для которой каждое из у, есть морфизм. Обозначив через 1 тождественное отображение множества Е, наделенного структурой обо, на множество Е, наделенное структурой у, можем также сказать, что у о1 есть морфизм для всякого ! ~1; условие (!М) показывает, что 1 — морфнзм, что означает (п'2), что оУ тоньше, чем ~. С другой стороны, применив (1Х) к случаю, когда д — тождественное отображение множества Е (наделенного структурой Я) на себя, видим (в силу (МО!и)), что каждое из у, есть морфизм множества Е в Ао что доказывает критерий.
Может саучнться, что существует структура рода Х на Е, являющаяся самой грубой нз всех структур рода Х, для которых все у, — морфизмы, но что ета структура не является структурой, начальной относительно (А„ ио у,) (упр. 6). Имеем следующий критерий транзитивности: СБТ10. Пусть Š— множество, (А,),, — семейство множеств и для каждого о~! пусть 29', — структура рода Е на Ас Пусть (32)„ń— разбиение множества 1 и пусть (В„), „— семейство множеств с множеством индексов Ь.
Наконец, для всякого ),Ь-Ь пусть )г„— отображение множества Е в В; для всякого Х~Ь и всЯкого !Ь.З, пУсть ом — отображение множества В, в А„положим тогда У,=асмой! (~ис. 1). Предположим, что для всякого ХЬ-Ь на В„существует структура 29'х, начальная для семейства (АР Ф'Р ды) ! . При зтих условиях следующие предложения зквивалентны: а) на Е существует структура ф, начальная для семейства (А У, У,),„; б) на Е существует структура гу', начальная для семейства (Вы ебехЬ Л!),е„. Кроме того, зти предложения Р и с. 1. влекут. что г = Я'.
В самом деле, пусть Р— множество, наделенное структурой рода Е, и пусть и — отображение множества Р в Е. Заметим, что по определению соотношение г,Г ,йхои есть морфизм множества Р в В„" эквивалентно соотношению .каково бы ни было ! ~ дю ям ой„о и =у, о и есть морфизм множества Р в А,". Соотношение „каково бы нн было )! ~Ь, й„о и есть морфиям множества Р в В„" (1) эквивалентно, таким образом, соотношению „каково бы ни было ! Ь-1, У; о и есть морфизм множества Р в А,". (2) Ьт ГЛ. |У. СТРУКТУРЫ э 5 2. МОРФИЗМЪ| И ПРОИЗВОДНЫЕ СТРУКТУРЫ 261 Но утверждение, что 9' †структу, начальная относительно семейства (Вы 29эх, ят)„~ы означает, что соотношение (1) эквивалентно соотношению „и есть морфизм множества Р в множество Е, наделенное структурой 9'", а утверждение, что Я вЂ” структура, начальная Относительно семейства (А,, еуэ,, Т,),~|, означает, что соотношение (2) эквивалентно соотношению „и есть морфизм множества Р в множество Е, наделенное структурой К"; отсюда, принимая во внимание свойство единственности начальной структуры, и следует критерий.
4. Примеры начальных спзрунтур !. Полный прообраз структуры. Если 1 есть множество из одного элемента, структура, начальная относительно единственной тройки (А, е9Р, Т), называется (в том случае, когда существует) полным прообразом структуры е9' относительно (но, яри) у. 'Топология всегда обладает полным прообразом относительно любого отображения у', но для структуры порядка нлн алгебраической структурм дело обстоит не так., 11. Индуцироэанная структура, Пусть А — множество, наделенное структурой 29' рода Е; пусть далее  — часть множества А; пусть, наконец, з' — каноническая инъекция множества В в А.
Структурой, индуцирозанной на В структурой еуэ, назовем полный прообраз (если он существует) структуры 29' относительно у. Структура порядка индуцирует структуру того же рода на любой части множества, на которой она определена; не так обстоит дело для структуры фильтрующегося упорядоченного множества. ' Топология индуцирует топологию на любой части множества, на которой она определена; но топология компактного пространства не индуцирует, вообще говоря, топологию компактного пространства. Нэ произвольной части В множества А, наделенного алгебраической структурой, эта структура не индуцирует, вообще говоря, структуру того же рода; когда структура, задэнная на А, состоит нз всюду определенных законов композиции, необходимо, чтобы В была устойчивой относительно каждого нз этих законов, однако это условие не всегда является достаточнмм (см.
„Алгебра', гл. 1).. Обший критерий СЬТ10 дает для индуцированных структур критерий транзитиености: СБТ11. Пусть  — часть множества А, пусть Π— часть множества В, 29э — структура рода Е на А, индуцирующая на В структуру 29Р' того же рода. Для того чтобы 29' индуцироэала на С струг|туру рода Е, необходимо и достаточно, чтобы эу"' индуцирозала на С структуру рода Е, причем струк- туры, индуцированные на С структурами 29э и 29э', в этом слу- чае тождественны. СБТ12. Пусть А, А' — два множества, наделенные структурами 29', 29" рода Е,  — часть множества А, В' — часть множества А'. Предположим, что 29' (соответственно ~') индуцирует на В (соответственно В') структуру рода Е. Тогда, если у есть морфизм множества А э А', такой, что г'(В)~В', отображение е множества В е В', совпадающее на В с у, также является морфизмом (относительно структур, индуциРоаанных стРУктУРами 29' и эУ'). В самом деле, пусть / (соответственно у') — каноническая иньекция множества В (соответственно В') в А (соответственно А').
По определению у э/=ут о е; так как ~ и у — морфизмы, то же, в силу (МО|,), верно и для у г ); но тогда, поскольку у' г У вЂ” морфизм, то же, по определению индуцированной структуры, верно и для я. 111. Произведение структур. Пусть (А,),б,— семейство множеств, и для каждого множества А, пусть 29',— структура рода Е; пусть Е= ПА,— произведение семейства (А,), | (гл. 11, $ 5), и 'Е| б| пусть рг,— проекция множества Е на Аг Произведением структур 29', называется структура (если оиа существует), начальная относительно семейства (Ае 29'Р рг,) Семейство структур порядка всегда обладает структурой-произведением, однако зто не верно для семейства структур совершенного порядка. ' Семейство структур группы всегда обладает структурой- произведением, но это не верно для семейства структур тела. Семейство топологий всегда обладает структурой-произведением, но это не верно для семейства топологий локально компактного пространства.
Относительно этого последнего рода структуры заметим, что на всяком произведении конечного семейства локально компактных пространств имеется структура-произведение того же рода, но на произведении бесконечного семейства таких пространств — не всегда (см.
„Общая топология", гл. 1, й 10)., Критерий СЬТ10 дает для структур-произведений критерий ассоциативности: СВТ13. Пусть (А,) ., — семейство множеств и для каждого 'б| |~1 пусть 29', — структура рода Е на Аг Пусть (2,),е, — разбиение множества !.
Предположим, что для каждого частичного произведении В„= Д А, семейство (29',), „обладает струк- .",Т> турой-произведением 29'„'. Тогда, для того чтобы семейство (29'), | обладало структурой-произведением 29Р, необходимо и достаточно, чтобы семейство (е9'т) „обладало структурой- $2. МОРФИЗМЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ СТРУКТУРЫ 263 262 ГЛ. гЧ. СТРУКТУРЫ произведением е9", и каноническое отображение множества Е = Д АР наделенного структурой еУа, на множество Е = ЦВ,, 'е! наделенное структурой е9" (гл.
11, $5, п'5), есть изоморфизм. Еще одно применение критерия СБТ10 дает следующий критерий, относящийся к структурам, индуцированиым структурой-произведением: СЬТ14. Пусть (А,) — семейство множеств и для каждого ' б! гЕ! пусть а9',— структура рода Е на Аг Для каждого !~! пусть  — подмножество множества Аг Предположим, что каждое е9', индуцирует на В, структуру 29а, и что на произведении Е = Д А, существует структура е9аэ — произведение сех! мейства (е9',).
При этих условиях следующие предложения эквивалентны: а) на множестве В = Д В,~Е существует структура 292, е! индуцированная структурой а9э' б) на множестве В существует структура э9" — произведе- Ф ние семейства структур (эуа,). Кроме того, эти высказывания влекут, что е9 =ауа'. В самом деле, пусть у, — каноническая инъекция множества В, в А, у' — каноническая инъекция множества В в Е, р,— проекция множества Е на А, р' — проекция множества В на В,; имеем р а у= =у а р' для всякого !Е!. В силу СВТ10, еУ есть структура, начальг наЯ относительно семейства (АР е9'с Р, а У) !, и а9' есть стРУктУРа, начальная относительно семейства (АР а9'Р 1 а р'), откуда и вытекает критерий.
Понятия полного прообраза и произведения структур связаны следующим критерием: СЬТ15. Пусть (А,) — семейство множеств и для каждого ' 'б! г~! пусть е9', — структура рода Е на А„а 1,— отображение множества Е в Аг Предположим, что на множестве-произведении А = Д А, существует произведение а9' структур семейб! сава (е9',). Тогда, для того чтобы существовала структура, начальная относительно семейства (А„29ао У)б! необходимо и достаточно, чтобы существовал полный прообраз структуры а9' относительно отображения х-ьг" (х)=(р',(х)) множества Е в А, и эти две структуры тождественны.
Так как у', = рг, ау', этот критерий есть частный случай критерия С5Т10. Замечание. Пусть (Л'2) ь — семейство структур рода 2 на одном и том же множестве А; обозначим через А! множество А, наделенное структурой аа2, а через 1! — тождественное отобрзжение множества А в А!. Пусть В есть множество-произведение А" = Д Ам "Еь Ь вЂ” диагональ этого произведения (гл. 11, 6 5, и'3) и Л вЂ” диагональное отображение множества А на Ь, так что а(х) есть такой элемент (х!)хбы что х! = х для всякого Хб Е. Предположим, что на В существует произведение лг' структур семейства ( и!); так как л инъектнзно, критерий СЯТ15 показывает, что для того, чтобы существовала структура л', начальная относительно семейства (Аь ааг, 12),ею необходимо и достаточно, чтобы на а существовала структура а", индуцированнав структурой э."; Лг" получается тогда переносом структуры Лг посредством и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
