Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Из этих условий вытекает, что с,=(0, Ь,), где Ь,) О. Если и — наибольшее из чисел Ьи встречающихся в парах (О, Ь,), то говорят, что с,, са, ..., с есть схема конструкции ступени над и термами. Если ланы схема 5=(си см ..., с ) конструкции ступени над п термами и и термов Е,, ..., Е„теории Т более сильной, чем теория множеств, назовем конструкцией ступени над Еи ..., Е, по схеме 5 последовательность А,, Аа, ..., А из т термов теории <T, определенную последовательно следующими условиями'. а) если с,=(0, Ь;), то А, есть терм Еа,'1 б) если с, =(ан 0), то А, есть терм ф(Ал,); в) если с;=(а,, Ь,.), причем а,.ФО и Ь,чьО, то А, есть терм Ал;ХАь ° Мы будем говорить, что последний член А конструкции ступени над Е,, ..., Е, по схеме 5 есть ступень над базисными множествами Еи ..., Е„, построенная по схеме 5, или ступень схемы 5 над базисными множествами Е,...,, Е„, и в дальнейших общих рассуждениях будем обозначать его через 5(Е,, ..., Е„).
') Мы используем понятие „целого числа" тем же образом, что и в гл. 1, т. е. в метаматематическом смысле отметок, упорядочивающих в некотором порялие; ато употребление ие имеет ничего общего с математической теорией целых чисел, развитой в гл.
111. $ ! стРУКтУРы и изОМОРФизмы )ТЕимер. Если ланы два множества В и Р, то множество пй(ил)(В)) >( Х Ф (г) есть ступень иад Б и Р, построенная по схеме (О, 1), (О, 2), (1, О), (3, О), (2, О), (4, б), Это множество является также ступенью иад Е и Р, пес оениой схеме . оенио ио (О, 2), (О, 1), (1, О), (2, О), (4, О), (5, 3).
Таким образом, несколько различных схем могут давать одну и т же ступень иад одними и теми же множествами. ть лиу и ту же 2. Канонические распространения отображеяий усть 5=(с,, са, ..., с ) — схема конструкции ступени над и термами. Пусть Еи ..., Е„, Е1, ..., ń— множества (термы теории Т), и пусть ун ..., /л — такие термы теории <7, что соотношения „~~ есть отображение множества Е~ в Ег" для 1.(1 ( и являются теоремами теории ~'. Пусть ( н '''' и соответственно А1, ..., А ) — конструкция ступени над Е, ..., Е (с л соответственно Е1, ..., Е ) по схеме 5.
Определим последовательность из т термов йн ..., йм, такую, чтобы й~ (для 1 (1(т) было отображением множества А; а Аь при помощи следующих условий: а) если сс = (О, Ь~) и, следовательно, Ас = Елй А~ = Еь, то й, есть отображение ул,' б) если с; = (аи 0) и, следовательно. А,- = 4а(Ал ), Ас = 4з(А„ ) лС ' то е, есть каноническое распространение й', отображения д на множества частей (гл. П, 3 5, и' 1); в) если с,=(ан Ь,) с а; чь 0 и Ь, чь 0 и, следовательно, А,, =— =А л,Х Аь, и А~=.а., Х Ал., то й, есть каноническое распространение й 'р(й отображений ел и е на А, Х А (гл.
И, 3 3, и'9). Мы будем говорить, что последний член й этой последовательности есть каноническое распространение отображений по схеме 5, и будем обозначать его через (у, ..., у' тз. Шаг за шагом проверяются следующие критерии: С5Т1. Если у,— отображение множества Е, в Е,', у',— отображение множества Е~ в Ег (1 (1( п), то для любой схемы конструкции ступени 5 над и термами (у,''У, Гз'ув ° °" 1„''1„)'=(1 у; у„')' (у, ° у„)'.
1 бе ГЛ. 1Ч. СТРУКТУРЫ Э !. СТРУКТУРЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ СВТ2. Если у1 инъективно (соответственно сюръективно) для 1 <1-<и, то "~, ..., у ) инъективно (соответственно сюръективно). Этот критерий вытекает из соответствующих свойств распространения а (гл. 11, $ 5, п'1, предложение 1) и распространения д)4 И (гл. П. $ 3. п'9). Р С5Т3. Если у" — биекция множества Ег на Ен а у1 — обратная биекция'), то (г'1, ..., Я есть биекция. а (г1, ..., у, )— обратная биекция; иначе говоря, (Ц„.. „ур) ) =(У1 "" у,') Этот критерий тотчас же вытекает из С5Т1 и С5Т2.
8. 1Уереносилвые соотношения Пусть Т вЂ” теория, более сильная, чем теория множеств, х,, ... ..., х, г, ..., г — буквы, различные между собой и отличающие я с от констант теорик сТ, а АР ..., Ат — термы теории 1 ! в которых не встречается ни одна нз букв хг( « и) и (1 < 1- р). Пусть 5, ..., 5 — схемы конструкции ступени над р и+вг термами; мы будем говорить, что соотношение Т)х,, х„, г1, . ° ° , гр 11 ,г,с5,(х,, ..., х„, АР ..., А ) и ггс51(х,, ..., х„, А,, ..., Ам) и ...
н арЕ5р(х1 ° ., хр А1 ° ° ° Аи)" есть типизация букв г,, ..., г . Пусть К)х1, ..., х„, гн ..., гр! — соотношение теории,T, содержащее некоторые из букв хо г) (и, возможно, другие буквы). Мы б дем говорить, что К иереносимо (в Т) при типизации Т, в которой буквы х,(1 ~;г п) рассматриваются как основные базисные множества, а термы Аг(1.<Ь <т) — как вспомогательные базисные множества, если выполняется следующее условие: Пусть ун ..., у„, Л, ..., у, †бук. различные между собой и отличающиеся от х,(1 < ! < и), г;(1 <,у ъ.
р), констант теории 1Т и всех букв, встречающихся в соотношении К или в термах А„(1 .' и .. т). Пусть, с другой стороны, 1„(1 й < т) — тождественное отображение множества Ал на себя. Тогда соотношение „Тг, .... х . г, ..., г 1 и (у' есть биекция множества х, на у,) (1 и ... и(гр есть биекция множества х„на у„)" .) влечет в Д' соотношение К(х1, ..., х, г„..., г (~=фК(ун ..., ук, г,', ..., г'1, — 1 -1 1) По причинам типографского удобства мы пишем / вместо У. где 'г=(у' "" У. 1, "" !.)'(гг) (1 <у<р). (3) Аналогичное, но более простое определение имеем, когда вспомогательных множеств нет. Например, если и = р=2 и типизация Т есть ггчх1 и ггчх то соотношение г, гг переносимо. Напротив, соотношение х, = хг ие переносимо, В приложении мы дадим критерии, позволяющие в обычных случаях легко узнавать, переносимо ли данное соотношение (при некоторой типизации).
б. Роды структуры Пусть Т вЂ” теория, более сильная, чем теория множеств. Род структуры в 1Т есть текст Е, образованный следующими выражениями: 1' Некоторое число букв х,, ..., х„. г, различных между собой и отличающихся от констант теории,T; при этом хо ..., х„ называются основными базиснмми множествами рода структуры Е. 2' Некоторое число тернов А,, ..., А теории 1Т, в которых не встречается ни одна кз букв хг, г; эти термы называются вспомогательными базиснмми множествами рода структуры Е, Текст Е может и не содержать никакого вспомогательного базисного множества (но он всегда должен иметь по крайней мере одно основное базисное множество).
3' Типизация Т~ х,...,, х„, г1: г ~ 5(хн .... х„, А,, ..., Ат), где 5 — схема конструкции ступени над и+ т термами (п' 1). Говорят, что Т)хн ..., х„, г1 есть тйиовая характеристика рода структуры Е. 4' Соотношение К)х,, ..., х„, г). переносимое (в Т) прн типизации Т, в которой буквы х, рассматриваются как основные базисные множества, а термы А„— как вспомогательные базисные множества (п'3). К называется аксиомой рода структуры Е. Теорией рода структуры Е назовем теорию 1ТТ, у которой схемы аксиом те же, что и в,T, а явными аксиомами являются явные аксиомы теорки 1Т и аксиома „Т и К"; таким образом.
константы теории Т вЂ” это константы теории 1Т и буквы, встречающиеся в Т или в К. Пусть теперь 1Т' — теория, более сильная, чем теория,T, и пусть Е,, ..., Е„, () — термы теории,7". Мы будем говорить, что (в теории 17") терм () есть структура рода Е на основных базисных множествах Е,, ..., Е„с множествами А,, ..., А в качестве ГЛ. гЧ.
СТРУКТУРЫ вспомогательных базисных множеств, если соотношение ° т)Е! ° ° ° Ел ()1 !' К!Е! ° ° ° Ел П1" есть теорема теории <7. гд К'. Когда это имеет место, то для любой ,...,Е,() тео емы В( х,, ..., х„, з! теории у', соотношение В!Е1, ..., Ел, есть теорема теории с! ' (гл. 1, й 2, и' 3). В <7; константа з называется общей, или родовой, структурой рода Е.
Мы будем также говорить, что (в теории с!') основиы новиые базисные Е, ..., Е наделена структурой (). Ясно, что () есть Е А А ) Такшя об азом элемент множества Б(~1, ..., Ел, ножество элементов т) множества $(Е,, ..., , ..., Е, Ч есть множество влетворяющих соотношению К 1Е,, ..., структур ро а на д Е Е, .... Е; оио может быть и пустым. П мера; 1) Возьмем в качестве 3' теорию множеств и рассмоод стр кт ы, не имеющий вспомогательных базисных множеств й в б ого множества А, тйповой характеи состоящив нз основного азисн ристики зб Чг(А Х А) и аксиомы — ! зле=а и газ =Ьд ь в А Х А), ното ая, как легко проверяется, является ы есть ие что иное как теория упорпдочеккмх 1 й 1 п' 3) гово ят также что таким образом определенный род ~~руктур есть ро стру мы встречали многочисленные примеры множ теорию множеств и рассмотрим род т кт ры, не имеющий вспомогательных базисных множеств и сои о базисного множества А, типовой характеристики стоящии из основного азисного соотношения Рс 1чг ((АХ А) Х А) и аксиомы — переносимого соо „Р есть функциональный график с областью определения А Х А".
г а — частный случай того, что называется алгебнк ия г афиком которой является Р А А в А),— это так называемый всюду (отобоажение множества А Х А в, — эт определенный внутренний закон композиции та -п ежнему теорию множеств, рассмотрим укт ы, не имеющив вспомогательных базисных мно жеста и сомножества А, типовой характеристики стоящий из основного базисного множес Ъ' б 4з (ф (А) ) и аксиомы — переносимого соотношения (УН')((Ъ" с:Ч)йь(( Ц Х)бу)) и АЕЧ и (тгх)(1уу)((харч и усу)а((х П у)сч)), ст кт ы назмвается родом топологической структура. называется также топологией, а соотношение (.Общая топология*, гл. 1, й 1).
% !. СТРУКТУРЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ 4)' Возьмем за д теорию рода структуры тела, содержащую среди прочего константу К в качестве единственного базисного множества (основного). Род структуры легого еекторкого простракстза кад К содержит К, как вспомогательное базисное множество, основное базисное множество Е и в качестве тйповой характеристики соот- ношение (рг1Ч является графиком сложения в Е, рта — графином умножения на скаляр; см. „Алгебра, гл. П); мы не будем здесь формулировать аксиому этого рода структуры (см..Алгебра', гл. П).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
