Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Может случиться, что Уб:А, в противном случае пусть р — нанболь шее целое числотакое, что у((0. р) )~НЕ тогда у(р+ 1) = я(у(р))бд и б(к (у(р) ) ) есть терм, о котором ничего нельзя сказать. Поэтому в этом случае считают также, что у определено только на интервале (О, р+ 1) („ограннченная индукция").
3. Вычисления с бесконечными кардинальными числами Теогемл 2, Для всякого бесконечного кардинального числа и имеет место разенст»о ах=а. Нам понадобятся две леммы. Лемма 1. Всякое бесконечное множество Е сод»рябит подмножество, рабномогцное множеству М. На Е существует соотношение полного порядка (9 2, теорема 1), которое мы обозначим х ( у. В силу условия вполне упорядоченное множество Е не может быть изоморфным никакому отрезку множества Х, отличному от М, ибо такой отрезок имеет вид (О, и) (9 2. предложение 1) и, следовательно, конечен (9 5, предложение 5), Отсюда вытекает, что М изоморфно некоторому отрезку множества Е (9 2, теорема 3), что и доказывает лемму.
Лемма 2. Множество Х )а, Х разномоибно множеству М. Так как Х )а, М содержит множество (0( )а, Х, равномощное множеству Х, Сагб (М) ( Сзгд (М Х М). С другой стороны, определим инъекцию г множества МХМ в Х. Для этого заметим, что существует инъекция ф множества М в множество отображений множества М в 1= (О, 1], получающаяся следующим образом: если г — наименьг-1 г ъч г-Ь-1 шее целое число, такое, что п(2, и ~~ ел2 — двоичное раза=э ложение числа и (9 5.
п' 7), то ф(п) есть последовательность (и ) в которой и =е,, для т(г и и =0 лля т)~г; предложение 8 9 5 показывает, что ча инъективно. Установив это, для всякой пары (и, п') ~М;э(Х опрелелим у'(п, и') слелуюшим образом: если <~(п)=(и,„) и о(п')=(о,„), то пусть у(п, и') будет таким целым числом з, что о(з)=(иа ), где Наг =и и чо аэ=о для всякого т~М.
Ясно, что соотношение 7'(и, и')=У(пп и',) влечет ф(п)=~у(п1) и Т(п')=ср(п1), следовательно, (и, п')=(пм п,'), что 15 Н. Бгзбакк ГЛ. 1П. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА и доказывает инъективиость отображения у'. Значит, Сагд(Х Х Х).( '-( Сагд(Х); это заканчивает доказательство леммы. После того как эти леммы доказаны, пусть Š— такое множество, что Сагд(Е)=а. Пусть Π— часть множества Е, равномощная множеству Х (лемма 1); существует биективиое отображение ф множества 0 иа О ХО (лемма 2). Пусть ВЙ вЂ” множество пар (Х, ф), где Х вЂ” подмножество множества Е, содержащее О, а ф — биективиое отображение множества Х на ХХХ, являющееся продолжением отображения фе. Упорядочим множество Ж соотношением „Хс=Х' и ф' — продолжение отображения ф" между (Х, ф) и (Х', ф'); тотчас же проверяется, что ВЙ вЂ” индуктивное множество (см.
б 2, п' 4, пример 2). Таким образом, в силу теоремы 2 э 2 ВИ имеет максимальный элемент (Р, 7). Покажем, что Сагд(Р) =а, чем теорема и будет доказана. В противном случае, так как Ь=Сагб(Р) таково, что Ьг=Ь, и бесконечно, имеем Ь < 2$ (3$ (Ьг=Ь 6 3, предложение 14), а значит, 2$ = Ь и Ь = Ь. Из предположения Ь < а вытекает, что Сагб(Š— Р) ) Ь, ибо в противном случае мы бы имели Саге(Е) (2$=Ь, а мы предположили, что $< Саге(Е). Таким образом, существует часть У~ ~Š— Р, равиомощиая множеству Р; положим а=Р ЦУ и покажем, что существует биекция б множества х, иа ЕХУ., продолжающая отображение 7'. В самом деле, ~ Х ~ = (Р Х Р) Ц (Р Х У) ц (у Х Р) ц (у Х у) и четыре множества, объединением которых является правая часть, не пересекаются; так как Р и У равномощны, Саге(Р ХУ) = Саге(УХ Р) =Саге(У ХУ)= Ьг= Ь, Откуда Сап1 ( (Р Х У) Ц (У Х Р) Ц (У Х У) ) = ЗЬ = Ь.
Таким образом, существует биективное отображение у', множества У на множество (РХУ)Ц(УХР)Ц(У ХУ); отображение б множества Е в УХЕ, равное отображению г" в Р и отображению Л в У, является тогда биекцией, продолжающей отображение у, что противоречит определению отображения у. Следствие 1. Если а — бесконечное кардинальное число, то а" =а для всякого целого числа и )~1. Очевидно ввиду индукции по и. Следствие 2. Произведение конечного семейства (а ) не- ' гЕ! равных нуле кардинальных чисел, наибольшее из которых есть бесконечное кардинальное число а.
равко а. 4 е, еесконечные множества П Ь вЂ” это произведение и пусть и — число элементов миоак а (ах 3, ПРЕДЛОЖЕНИЕ !4); С ДРУГОЙ СТО- роны, так как а, )~ 1 для всякого 1, имеем Ь )~ а (Ь 3, предложение 14). С едствие 3. Пусть а — бесконечное кардинальное число и (а,) ! — семейство кардинальных чисел <а, множество инделедствие д ясов 1 которого имеет кардинальное число (а.
Тогда л~к ' 'е! кроме того, есл о, если а,=а хотя бы для одного индекса ц то ~ а,=а. 'е! Ю Пусть Ь вЂ” кардинальное число множества 1; тогда ~~а, (аЬ ( < аз = а (б 3, предложение 14) и ~г а, )~ а„для всякого х ~ !. 'е! Следствие 4. Если а и Ь вЂ” два неравных нулю кардинальных числа, по крайней мере одно аз которых бесконечно, то аЬ=а+Ь=вар(а. $). Это тотчас же вытекает из следствий 2 и 3.
л. Счетные множества Опгеделеиие 3. Множество называется счетным, если оно разномощно кекоторому подмножеству множества Х целых чисел '). Пгедложение 1. Всякое подмножество счетного множества счетно. Произведение конечного семейства счетных множеств счетно. Обьединение последовательности счетных множеств счетно. П утверждение очевидно. Остальные вытекзют из следствий ервое ут теоремы 2. Мы уже видели (лемма 1), что для всякого бесконечного кардинального числа а справедливо Сагд(Х) (а, Отсюда вытекают следствия: Пгедложение 2.
Всякое бесконечное счетное множество Е равкомощно множеству Х. В самом деле, Сагд(Е)(Сзгб(Х) по определению и, таккак Е бесконечное, Саге (Х) ( Саге (Е). Пгедложение 3. Всякое бесконечное множество Е допускает разбиение (Х,) и образованное бесконечными счетными множествами Х„множество индексов 1 которого раеномощко множеству Е. кп'7 ') Относительно термина „счетный" см. подстрочное примечание к п' Ь 7 сводки результатов (стр, 394). — Прим. ред. 1бч 223 ГЛ. !Н. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА В самом деле, Сагб(Е) =Сагб(Е) Сап)(Ь() (следствие 4 теоремы 2). Пгедложение 4. Пусть У вЂ” отображеиие миожества Е иа бесконечное миожестзо Р, такое, что для счетно. Тогда Р равиомощио множеству Е.
всякого у ~ Р г , (у) с ом д, ожества Г(у) (у~В) образуют разбиени~ мно- жества, следовательно, Сагб (Е) ( Сагб(Р) Сагб (Ь() = Сагб (Р); с д гой стороны, известно, что Сап1(Р) (Са 11(Е) ( г ) (э 3, предложение 3). Пгедложение б. Множество В1(Е) конечных частей бескоиеч- наго множества Е разиомощио миожестау Е. множ Для всякого целого числа п обозначим чер ф рез ф„множество частей ожествз Е, имеющих п элементов. Для всякогоХ~~$ с. множества ф н (, п) на Х; следовательно, кардинальное ис ф, ме ьше или равно кардинальном числ множ е число отображений интервала (1, п) в Е, т. е.
Сага(ту(Е)) = ~ Сап1(ф„) (Сагб(Е) Сагб(Ы) = Сап!(Е), С другой стороны, так как х — ь(х) есть инъективное отоб ажение множества Е в гу(Е), то Сагб(Е) (Сагб(ф(Е)). Следствие. Миожестэо 5 конечны и х последовательностей множество к В самом деле, 3 есть объединение множеств Е, 1 , где пробегает $ (Ы) конечных подмножеств множес Ь(.
Н , 1 Ы и ! И, тва . о, когда ~ф( ) ~И, Е равномошно множеству Е, а ф(Ь() с в силу предложения 5. Следовательно, а ( ) счетно ( ) ( Сагг((6) ( Сагб(Е) Сап1(Ь!) = Сагб(Е), Опгеделение 4. Говорят, что множество имеет мо ко континуума, если оио рааиомо ио м имеет мощность жества Ь!. ааиомощио множеству частей миоМножество мощности континуума не счетно (Э 3, теорема 2). жество дейс 'Термин .мощность контнну ма' п уу ' происходит от того, что множа но т у 41(Ы) (.Общ " твительных чисел авномо $ )., Гипотеза континуума есть утверждение, к несчетное множество содержит часть, имею ю континуума; обобщекнап гипотез щую мощность для всякого бесконечного кардиналь теза континуума есть в ж ут ер дение,что к динального числа а любое кардинальное число, кото ое р ) а, является кардинальным числом ) 2».
время доказательства зтнх утве ждений . В настоящее х утверждений неизвестны '). ') И невозможны: с жны: си. подстрочное примечание на с . 344. П тр.. — рим. ред. У»Р. 4 е. Бесконечные множествА б. Стационарные последовательности Опгеделение 5. Последовательиость (х„), „элементов миожества Е называется стационарной, если существует целое число т, такое, что х„=х для всякого целого числа п т. Пгедложеиие 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
