Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Вывести из этого, что существует такое «, что в(6) >с для всякого 1>а (взять за а наименьшее ординальное неразложимое число >«,; см. упр. 11а) ). б) !!усть у(Е Б) — ординальный функциональный символ, определенный в упр. 1бб) 5 2; предположим, что соотношения «,(1<Г и а, <ч < Ч' влекут е(с, ч) <е(Р, ч'), тогда соотношения аь ($ <1' и 1<я ( ч' влекут у(1, Б) <у(Г, т!') (В 2, упр. 1Ог)). Показать, что для всякого ординального числа 8 существует только конечное число ординальиых чисел ть для которых уравнение У(Е ч) = 8 имеет хотя бы одно решение (заметить, что если $! — наименьшее решение уравнения у(с, ч,) = 8 и $г — наименьшее решение уравнения /(Е «и) = 3, то соотношение тп < Б, влечет с, > $г). в) Ордикальным числом, критическим для У, назовем всякое бесконечное ординальное число Т > а,, такое, что У(8, Т) =Т для всякого Е для которого «ь < $ < Т.

Показатгь что ординальное число, критическое для у, ие имеет предшественника. Если существует такое множество ординальных чисел А, что у(Е 1) =1 для всякого $8 А, и если т — верхняя грань множества А, показать, что 1 — критическое ординальное число. г) Пусть А (с) =/(ч, ч) определено для $>«ь). Определим индукцией а, =ар+2, а«ь! = А(а„) для а)~1.

Показать, что верхняя грань последовательности (а„) есть ординальиое число, критическое для у. д) Показать, что верхняя грань всякого множества ординальных чисел, критических для у, снова является критическим ординальным числом и что всякое критическое ординальное число неразложимо (заметить, что у (Е Ч+ 1) > в (1) + Б > «+ Б для б > аь). 11 14) а) Показать, что если а>2 и если 8 ие имеет предшеэ ствеиника, то а — неразложимое ординальное число (см. б 2, упр. 15а)); если а конечно и 8 = «1, то а = ы; если а бесконечно и я — наибольэ т. шее неразложимое ординальное число < а, показать, что ар = «Э (использовать упр. 11). б ) Для того чтобы ординальное число Б было критическим для функционального символа у (Е Ч) = (ч, необходимо и достаточно, чтобы дпя Веякага а, дЛя катврагО 1 < а < ь, уравнение З = «! обладало хотя бы одним решением; всякое решение с этого уравнения является тогда неразложимым (испольэовать упр.

13д) и упр. 17г) В 2). Обратно, для всякого а > 1 и всякого неразложимого ордииального числа «а' является ординальным числом, критическим для $Ч (нспользовать упр. 1Зв)), Вывести из этого, что для того, чтобы З было ординальным числом, критическим для сч, необходимо и достаточно, чтоб а «г. ы имело вяд и (см. упр. 11б)). в) Для того чтобы ординальное число г было критическим для функционального символа у (Е ч) = Р, т. е. чтобы для всякого Т, для которого 2(Т < г, выполнялось Т'= г, достаточно, чтобы было 2'= г.

Показать, что наимекьшее ординальное число г,. критическое для Р счетно (см. упр. 13г) ). ')( 15) Пусть Т вЂ” ординальиое число > 1; для всякого ординальиого числа а обознэчим через Ь (а) множество показателей степени Х! в представлении числа а, данном в упр. 12а). а) Показать, что Л; ( а для всякого )и б Ь (а) и что равенство )и = а может выполняться для одного из этих ординальиых чисел, только если а = 0 или если а — ординальиое число, критическое для Р (упр. 14в)). б) Определим Ь„(а) индукцией по п так, что Ь, (а) = Ь (а), а Ь„ (а) есть объединение множеств Ь (8), когда 8 пробегает Ь„ ,(а). Показать, что существует целое число а,, такое, что Ь«ь! («) = Ь«(а) для а)~аь, и что элементами множества Ь„(а) являются тогда 0 или ординальные числа, критические для Р.

(Рассуждать от противного, рассмотрев для каждого л множество М„(а), таких Р б Ь„(«), что Р 6 Ь(р) и предположив, что М„(а) не пусто для любого а; для получения противоречия использовать а).) 1б) Любое совершенно упорядоченное множество Е обладает конфинзльиой ему вполне упорядоченной частью (ф 2, упр. 2).

Наименьшее из ординальных чисел Огб(М) всех вполне упорядоченных частей М множествз Е, конфинальных множеству Е, называется финальным характером множества Е. а) Ординальное число $ называется регулярным, если оно равно своему финальному характеру, и сингулярнььк в противном случае. Показать, что всякое бесконечное регулярное ординальное число есть некоторое начальное ординальиое число и„ (упр. 10).

Обратно, всякое начальное ординальиое число ы„, индекс которого равен 0 или обладает предшественником, есть регулярное ордииальное число. Начальное ордииальное число ы„, индекс которого не равен нулю и не обладает предшественником, сингулярно, если а < ы„; в частности, ы является наименьшим бесконечным сингулярным начальным ординальным числом. б) Начальное ординальное число п„называется недостижимым, если оно регулярно и если его индекс а не имеет предшественника.

Показать, что если а > О, то ы„ = а, иначе говоря, а является ординальным числом, критическим для нормального функционального символа и (упр. 1Ог) и 1Зв)). Пусть « — наименьшее ординальное число, критическое для этого функционального символа; показать, что ы„ сннгулярно и его финальный характер равен « (см.

упр. 1Зг)). Йначе говоря, ие существует никакого недостижимого ординального числа ь„, такого, что 0 < а < « '), в) Показать, что существует только одно регулярное ординальное число, конфинальное совершенно упорядоченному множеству Е; это ординальное число равно финальному характеру множества Е и, если Е не имеет наибольшего элемента, является начальным ординальным числом. Если и- есть финальный характер числа «„, то а (а; чтобы е„ было регулярным, необходимо и достаточно, чтобы а««а, ') В настоящее время неизвестно доказательство существования недостижимых ордииальных чисел, отличных от и.

Упр, ГГЬ ПП УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр. з б. БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА г) Пусть ша — бесконечное регулярное ординальное число, ! — такое вполне упорядоченное множество индексов, что Огб (1) < ш,. Покаыть, что для всякого семейства (6,),б! ординальных чисел, такого, что $ < <аа для Всякого ~ б 1 имеем ~м з 1~ < а1а' б! 17) Кардинальное число иа называется регуллркы» (соответственно сингулярным), если начальное ординальное число ша регулярно (соответственно сингулярно). Чтобы на было регулярным, необходимо и достаточно, чтооы для всякого семейства (и,), кардинальных чисе, ''е! исел, такого, что Сагд (1) < на и а, < н„для всякого ! б 1, было ~~ е, < н„; н , является наименьшим сингулярным кардинальным числом.

а)1 18) а) Для всякого ординального числа а и всякого кардинального числа пг, неравного пулю, имеет место соотношение ны = ны н ае! а ае! (ограничиться случаем «т < на„, и рассмот)петь отображения ка нального числа тп в ордииальное число шаь,.

рднб) Вывести из а), что для всякого ординального числз Б у которого Сагд (1) < пз, выполняется н =н и +т «аьт (рассуждать траисфинитной иидукцией по Т). в) Вывести из б), что для всякого ординальиого числа а, у ното- рого Сагд (а) < пг, выполняется 2шнс «» а Ча ) а) Пусть а и 3 — два ординальных числа, причем а ие имеет Ча !д предшественника, и пусть $-па — такое строго возрастающее отоб рзжение ординального числа ш в ординальное число а, что знр а =а.

П оказать, что н„р = И н, . (Произвольному отображению / ордиизльб<шв ! ного числа шб в ординальиое число ш„ поставить в соответствие инъек- тИВНОЕ ОтОбражЕНИЕ у ЧИСЛа шб В МИОжЕСтВО ЧИСЕЛ ш, ($ < шр), таКОЕ, ЧтО У (() < Г (() ДЛЯ ВСЯКОГО ( < шб,' ОЦЕИнтЬ КаРДИиаЛЬИОЕ ЧИСЛО МНО- жества отображений У, которые соответствуют одному и тому же отображению у, и заметить, что и!= И н «люб(")) — ТТ и «ь>и„ 1 <ш (см. б 3, упр, 3),) б) Пусть а — такое ординзльиое число, что ш является финальа ным харзктером числа ш„; показать, что и— Н„а >На н что если существует такое п, для которого и, = и ", то 1 < а (использовать а) и упр.

3 5 3). в) Показать, что если Х < а, то н! ! Яь !<а (рассуждать, как в упр. 13а) ). !1 20) а) Чтобы кардинальное число а было регулярным (упр. 17), необходимо и достаточно, чтобы для всякого кардинального числа Б было а =а ~ч' «тз (использовать упр. 19 и упр. 3 й 3). и<а б) Показать, что если кардинальное число а таково, что для вся- кого кардинального числа щ, у которого 0 < пз < а, а = а, то а регулярно (использовать упр. 3 % 3). в) Показать, что предложейие .для всякого регулярного карди- нального числа а и всякого кардинального числа пт, у которого 0 < ти < а, выполняется а = а" зквиеалентно обобщенной гипотезе континуума (использовать а) ). 1) 2!) Бесконечное кардинальное число а называется домининтным, если «!" < а длн всякой пары кардинальных чисел щ < а, п < е.

Характеристики

Список файлов книги