Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 60
Текст из файла (страница 60)
5) Снова возьмем за,у' теорию множеств; в втой теории тело С комплексных чисел есть терм, не содержзщий никакой буквы. Род структуры комплексного аналитического многообразия размерности п состоит из С в качестве вспомогательного базисного множества и основного бвзисного множества ч'; мы не будем здесь указывать ни тйповую характеристику, ни аксиому этого рода структуры., Замечания. 1) В приложениях (как, например, в примере 4 выше) часто случается, что ступень 3(Еь ..., Ел, А, ..., А ) есть произведение ступеней 81(еь ..., Ат)Х ° ° ХЕр(е! А1л).
ч е'4)((ЕХЕ) ХЕ)ХФ((КХЕ)ХЕ) В этом случае в определении рода структуры 2 букву з часто заменяют на „кортеж* (з„..., зр) (ср. гл. П, й 2, п'2). С другой стороны, аксиома рода структуры 3 чаще всего записывается как конъюнкция нескольких переносимых соотношений (как в примере 3 выше); эти соотношения называются аксиолгами рода Е. 2) родам структуры, очень часто используемым в математике, и множествам, наделеннмм структурами этих родов, дают имя; так, например, упоркдочекное мкожестзо (га !П, й 1) есть множество, наделенное структурой порядка ') (пример 1); 'в дальнейшем в этом Трактате мы определим понятия группа, тела, топологического простракстеа, дифферекцируемого многообразия и т. д, — все этоозначает множества, наделенные некоторыми структурами., 3) допуская вольность речи, в теории множеств у' задание и различных между собой букв х„..., хл (без тйповой характеристики и без аксиомы) также рассматривают кзк род структуры Ег, называемый родом структуры множества на п основных базисных множествах Ю.
еузоморгризмвг и перенос структур Пусть Š— род структуры в теории,T иа и основных бааисных множествах х,, х„с т вспомогательными базисными множествами А,, ..., А; пусть 8 — схема конструкции ступени над и+т термами, входящая в типовую характеристику рода структуры Е, и пусть К вЂ” аксиома рода структуры Е. В теории более сильной, чем,г, пусть 1) — структура рода Е на множествах ЕР ..., Е, (как основных базисных множествах) и пусть à — структура того же рода на множествах Е,, ..., Е,.
Пусть, наконец (в,7'), 1 ') Это вольность речи; полностью надо было бы сказать „наделенное структурой рода структуры порядка'. — Прим. ред. ГЛ. 1Ч. СТРУКТУРЫ Л вЂ” биекция множества Е; на Е1 (1.< 1, и). Мы будем говорить, что (г, ° . °, 7 ) есть изоморфизм множеств Е,... „Е„, наделенных Р структурой (), на множества Е,, ..., Е„, наделенные структурой Г, если (в 7") (Л Г.
'» " !и) (")="' (4) где ! обозначает тождественное отображение множества А„на себя. ь Пусть у',— биекция, обратная к у,(! <1 < и). Из (4) и крите- рия СЗТЗ (п'2) тотчас вытекает, что (г,', ..., у.„', 1,, ..., 1 )'(()') =() (5) и, следовательно, что (7,', ..., у„') есть изоморфизм множеств Е,, ..., Е„, наделенных структурой Г, на множества ЕР ..., Е„, наделенные структурой (); говорят, что изоморфизмы (у1, ..., 7„) " (уг ° 7„) обратны один для другого. Мы будем говорить, что множества Е1, ..., Е„, наделенные структурой ()', изоморфны множествам ЕР ..., Е„, наделенным структурой (), если существует изоморфизм множеств Е,, ..., Е„ на Е1, ..., Е„; в этом случае говорят также, что структуры () и Г ивом о рфны, В силу критерия СЬТ! предыдущие определения влекут следую- щий критерий: СЗТ4.
Пусть (), ()', Ст — три структуры одного и того же рода Е на основных базисныхмножествахЕУ ..., Е„, Е,', ..., Е„' и Е", ..., Е" соответственно. Пусть 71 — биекция множества Е1 1 ' ' а на Е,'., а иг — биекция множества Е',. на Е" ,(1 <1 < и). Если (уп ..., 7„) и (Р1, ..., д.„) — изоморфизмы, то то же верно и для (Р1 а уп ..., д„а уа). Изоморфизм множеств ЕР ..., Е„на множества ЕР ..., Е„ (с той же самой структурой) называется автоморфизмом мно- жеств Е,, ..., Е„. Композиция двух автоморфизмов множеств Е,, ... ..., Е, является автоморфизмом.
То же верно для изоморфизма, обратного к автоморфизму; 'другими словами. автоморфизмы мно- жеств Е,, ..., Е„образуют группу („ Алгебра", гл. 1, й 6, 7)., Замечание. Когда Уг — произвольная биекцяя множества Е1 на Е (1 <1' < и), мы будем, допуская вольность речи, говорить, что (у1 , уа) есть изоморфизм множеств (ЕР ..., Е„) иа (Е, ..., Е,) относительно рода структуры множества (п' 4, замечание 3).
СЗТ5. В теории,7", более сильной, чем сТ, пусть () — струк- тура рода Е на ЕР ..., Еа и пусть Л вЂ” биекция множества Е, ма множество Е,'. (1 <! < и). Тогда на Е,', .... Е„' существует е $1. СТРУКТУРЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ 249 и единственна структура рода Х, такая, что (Л, у ) является изоморфизмом множеств Е, ..., Е на Е', ..., Е'. В самом деле, эта структура не может не совпадать с термом 1)', определенным соотношением (4); остается проверить, что этот терм действительно является структурой рода Е, т.
е. что соотношение К)ЕР ..., Е„', ()'1 истинно в сТ'. Но это вытекает из того, что К(х,, ..., х„з! переносимо, ибо К1Е,', ..., Е„', (У) эквивалентно в,7' соотношению К)Е, ..., Е„, () 1 (п' 3), которое истинно в,7" по условию. Мы будем говорить, что структура ()' получена переносом (вп 1гапзроггап() структуры () на множества Е,', ..., Е„' посредством биективных отображений 71, ..., 7а.
Таким образом, сказать, что две структуры одного и того же рода изоморфны или что одна получается из другой переносом, означает одно и то же. Может случиться, что лве произвольные структуры рода Е необходимо изоморфяы; в этом случае говорят, что род структуры Е однозначен. ' Так обстоит дело со структурой бесконечной циклической группы (изоморфиой Е), со структурой простого тела характеристики О (изоморфной 11), со структурой полного и архимедовски упорядоченного тела (изоморфной К), со структурой алгебраически замкнутого, коммутативного, локально компактного, связного тела (изоморфиой С), наконец, со структурой некоммутативного, локально компактного, связного тела (изоморфиой телу кватернионов К).
Для некоторых из этих родов структуры, как, например, для структуры простого тела характеристики О или для структуры полного и архимедовски упорядоченного тела, ие существует даже никакого автоморфизма, отличного от тождественного отобрзжеиия,' для других же примеров, данных выше, такие автоморфизмы существуют (например, симметрия х-ь — х в Х)., Заметим, что указаиийе только что роды структуры являются кзк аз теми родами, которые лежат в основе Классической математики.
апротив, 'род структуры группы, род структуры уяорядочеиного миожесгвз, род топологической структуры не являются однозначными. б. Вывод структур Пусть Š— род структуры в теории 17' на и основных базисных множествах хи ..., х„с т вспомогательными базисными множествами АР ..., А; пусть з — общая структура рода Е. Пусть Т— некоторая схема конструкции ступени над и-+т термами. Терм '1г)х1, ..., х„, з1, не содержащий никаких букв, отличных от констант теории сТг, называется внутренним для з, типа Т(х,....
..., х„, А,, ..., А ), если он удовлетворяет следующим условиям: 1' Соотношение Ч)х1, ..., х„, з(~Т(хг...., хи, А,, ..., А ) есть теорема теории гТ . ГЛ. !Ч. СТРУКТУРЫ 2' Пусть тТ' †теор, полученная добавлением к аксиомам теории Т аксиом „у! есть биекция множества х, на у," (1 ( ! ( и) (буквы уг и гг, для 1 (1(п, отличны от констант теории суг и различны между собой); если з' — структура, полученная переносом структуры з посредством (г1, ..., уп) (п'5), то у. ) (г ° У .
1 ° ! ) ()!1х х. з!) есть теорема теории гуг. В приложении мы увидим, почему большей частью термы, которые приходится определять в теории рода структуры, являются внутренними термами. Пусть теперь 9 †друг род структуры в теории Т на г основных базисных множествах и,, ..., и, с р вспомогательными базис- ными множествами Ви ..., В; пусть (~Т(и1, ..., и, В,, ..., В) — тйповая характеристика рода 6 (и'4). Система из г+ 1 термов Р, Си ..., Вю зкушренпих для з, такая, что Р является струкшурой рода В па Ви ..., (), з теории д'г, называется способом вывода структура рода 6 из струкгпуры рода Е.
Допуская вольность речи, мы часто будем один терм Р называть способом вы.вода. Пусть à — теория, более сильная, чем <7. Если в «У" объект «у' является структурой рода Е на Е„..., Е„, то Р)Е1, ..., Е„, Я'~ является структурой рода 6 на г множествах Р =13 ~Е,,..., Е„, Я'~ (1 < у ( г); эта структура называется структурой, зызедеккой из «9' .способом Р, или структурой, подчиненной сшруктуре «У. Предположение, что термы Р.
Ви .... ()г являются внутренними для з, влечет, кроме того, следующий критерий: СВТб. Пусть (д1, ..., у«) — изоморфизм множеств Е1, ..., Е„, маделеппых структурой «у«рода Е, ка множества Е',, ..., Е', наделенные структурой «У' того же рода. Если ()! — типа т~ ф(Т!)1), положим йу=(У1, .... у„, 1,, ..., !ю) ~ (1 (/(г), и пусть Р' = () 1Е;, ..., Е„', «У"' ! (1 (,/ < г); тогда (й,, ..., й,) является изоморфизмом множеств Еи ..., Р, па множества В', ..., Р', если эши системы мкожестз наделены соответственно сгпруктурами рода 6, выведенными из «У" и «У«' спо.собом Р.
') Символ гб (В), где Я вЂ” схема конструкции ступени, определяется н приложении к втой главе (п' 1, подстрочное примечание).— Прим. ред. $ !. СТРУКТУРЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ Ясно, что термы хи ..., х„являются внутренними для з; во многих слУчаЯх теРмы Ви ..., ()г Явлаштса некотоРыми из бУкв х,...., х„; тогда говорят, что структура рода 6, выведенная нз з способом Р, лежит ниже, чем з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
