Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В частности, когда все структуры,гг„тождественны, Ь есть изоморфизм множества А (наделенного втой структурой) на Ь, Имеем также следующий критерий: СВТ16, Пусть (А,) Р (В,), — два семейства множеств с одним и тем же множеством индексов. Для всякого с~! пусть ата, — структура рода Е на А„25а, — структура рода Е на Вг Предположим. что на А = Д А, (соответственно В = ДВ,) е! е! существует произведение ага (соотзетственно Р') структур семейства (е9',) (соответственно (э9',)).
Наконец, для всякого !~1 пусть у', — морфизм множества А, в Вд тогда отображение у =(у,) есть лгорфизм множества А в В. В самом деле, пусть р, (соответственно !),) — проекция множества А на А, (соответственно множества В на В,); имеем !у ау'= =у,арс Так как у, и р,— морфизмы (критерий СЯТ9), то же, в силу (МО!!), верно и для Т ар;, таким образом, вследствие условия (!Х), у есть морфизм. Замечание. Для большинства обычных структур условие, сформулированное в СЯТ16, является не только достаточным, но также и необходимым для того, чтобы у было морфнзмем (ср.
упр. 1). Так обстоит дело, в частности, при следующих условиях (которые выполняются, например, когда 2 — род структуры порядка, или род структуры группм, илн род топологической структуры, и т. дл ср. упр. 8). Существует семейство (а,),~!, такое, что а, б А, для всякого !61, и такое, что если положить г, (х,) =(у„) с у, = ха у„= а„для х чь ь то каждое из отображений г, будет морфизмол! множества А, в А. В самом деле, если У=(У,) есть морфизм множества А в В, то для всякого ! с! можно написать у, = в,ауаг, и применить (МО!!). Заметим, что г, является морфизмом, если выполняется следующее условие: а) для всякого множества Е, наделенного структурой рода Х, постоянное отображение з -ь щ есть морфизм множества Е в Аа В самом деле, тогда для всякого х б 1 р„аг, является морфизмом множества А, в А„, потому что это отебражение для х = ~ есть тождество, а для х ~ ! есть постояввое отображение г -+ а„; таким абра зом, по определению произведения структур г, является,морфизмом множества А, в А.
гл. )ч. стРуктуРы 5 Ф г. мозфизмы и пэоиззоднып стзкктззы Примеры, приведенные выше, удовлетворяют не только условию а), но также и условию: б) на каждом множестве А, = А, Х П 1а„) структура э' индуцит+ рует структуру рода Х. Р Пусть р,' — сужение отображения р, на А„' если условия а) и б) выполнены, р, есть изоморфизм множества А,' на Аг В самом леле, 1 так как р, = р,о~„где,/,— каноническая ннъекция множества А, в А, — !, р,, в силу (МОп), есть морфизм.
С другой стороны, г, /,о р,; та- -1 ким образом, р,, по определению индуцированной структуры. есть морфнзм множества А, в А,'. Имеем, наконец, следующий во многих случаях характеризующий морфнзмы критерий: СБТ17. Пусть А и  — деа множества, наделенные структурами едал, еУ'з одного и того же рода В. Предположим, что на А )( В существует струкаура езелхв — произведение структуры е7'л и структуры еУез Пусть 7' — отображение множества А е В, Р— его график, и — биектиеное отображение х — !.(х, у(х)) множества А на Р. Для того чтобы у' было „норфизмом множества А в В, необходимо и достаточно, чтобы на Р существовала структура рода Е, индуиироеанная структурой ахлх в, и чтобы к было изоморфизмом множества А на множество Р, наделенное этой структурой. Условие достаточно; в самом деле, если у — каноническая инъекция множества Р в АХ В.
то можно написать у=рг,оуок и 7" тогда по предположению является композицией трех морфизмов. Покажем, что условие необходимо; обозначим через агг структуру рода Е, полученную переносом структуры еУл посредством бнекции к (9 1, п'б); все сводится к тому, чтобы доказать, что ег'г индуцируется на Р структурой е9'лхв Лля этого заметим сначала, что у' есть морфнзм множества Р в А Х В; в самом деле, по определению структуры еУг достаточно доказать, что уок есть морфнзм множества А в А Х В; но у'ь я есть не что иное, как отображение х-ь(х, у(х)) множества А в А)(В, которое является морфизмом в силу предположения об у и определения произведения структур.
Остается показать, что если Е есть множество, наделенное структурой рода Е, е — отображение множества Е в Р, такое, что ~од — морфизм множества Е в А)(В, то и есть морфнзм, нли. -! что сводится к тому же, что и) =кои есть морфизм множества Е в А; но так как и! = рг, о (г'о е), это вытекает из предположения И определения произведения структур. б. Финальные структуры Рассмотрим семейство (А,),, множеств, каждое из которых наделено структурой ех', рода Е. Пусть.
с другой стороны, Š— множество н для каждого )~1 пусть я,— отображение множестиа А, е Е. Структура ед рода В на Е называется структурой, финальной для семейства (Ае еУ, й,) я). если она обладает свойством: (Р1). Каковы бы нн были множество Е', структура Ф)! рода Е на Е' н отображение 7 множества Е в Е', соотношение ,7 есть морфизм множества Е в Е'" эквивалентно соотношению „каково бы нн было )~1, отображение у од,есть морфнзм множества А, в Е'". СЬТ18. Если на Е существует структура, финальная для семейства (Ае елее д,),г), она является наиболее тонкой из структур рода Е на Е, для которых каждое из отображений и, ° есть морфизм, и, следовательно, един са венной. В самом деле, пусть ел — финаль- ° ная структура на Е н е2е — структура рода Е на Е, для которой каждое нз к, Д! есть морфизм.
Обозначив через ! то- г)л ждественное отображение множества Е, Н Е наделенного структурой еу, на множество Е, наделенное структурой е9'. мо- ° жем также сказать, что )ое, есть морфизм для всякого ! Е 1; условие (Р1) показывает. что 1 — морфизм, а это означает (и' 2), что е9' грубее, чем еуг . С другой стороны, применив (Р1) к случаю, когда у' — тождественное отображение множества Е (наделенного струк- Р и с. 2.
турой Дг") на себя видим (в силу (МО,п) ), что каждое из и, есть м орфизм множества А, в Е, а это н доказывает критерий. Может случиться, что существует структура рода 2 на Е, являющаяся самой тонкой нз всех структур рода Е, для которых зсе я, — морфизмы, но что ета структура не является структурой, финальной относительно (А„Ю'„й,) (упр. 6). Имеем следующий критерий транзитизности: СЯТ19. Пусть Š— множество, (А,),,— семейство множеств и для каждого ! ~1 пусть еге, — структура рода Е на Ас Пусаь (дл)л~ь — разбиение множества 1, и пусть (Вь))ч„— семейство ГЛ.
|К СТРУКТУРЫ % 2. МОРФИЗМЪ| И ПРОИЗВОДНЫЕ СТРУКТУРЫ 267 множеств с множеством индексов Ь. Наконец, для всякого й Ь-Ь пусть й„— отображение множества В» в Е; для всякого ),~Ь и всякого»Ь.э» пусть д, — отображение множества А, в В; положим тогда у',=й»~У„(рис. 2). Предположим, что для всякого ),Ь-Ь на В, существует структура еу», финальная относительно семейства (АР е9'„д, ), „. При этих условиях следующие предложения эквивалентны: а) на Е существует структура еу, финальная относительно семейства (АР е9'Р у,), б) на Е сущесэ|вувт структура е9 ', финальная относительно семейства (В», е9», й»)»сы Кроме того, зти высказывания влекут, что е9 =29'.
В самом деле, пусть Р— множество, наделенное структурой рода Е, и — отображение Е в Р. По определению соотношение „и ь й» есть морфиям множества В» в Р" эквивалентно соотношению „каково бы ни было» Ь- й», и ь й о й,» = и О У есть морфизм множества А, в Р". Соотношение „каково бы ни было ).~Ь, иьй» есть морфизм множества В„в Р" (3) эквивалентно. таким образом, соотношению ,каково бы ни было»Ь.1, иоу, есть морфизм множества А, в Р".
(4) Но утверждение, что чу ' — структура, финальная относительно семейства (В», 29Р», й»)»йы означает, что соотношение (3) эквивалентно соотношению ,и есть морфизм множества Е (наделенного структурой чг ') в множество Р', а утверждение, что 27 — структура, финальная относительно семейства (АР 29'„У,),Р, означает, что соотношение (4) эквивалентно соотношению ,и есть морфизм множества Е (наделенного структурой чГ) в множество Р"; отсюда, принимая во внимание свойство единственности финальной структуры, и следует критерий. б, Примеры финальных структур 1. Прямой образ структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
