Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Примеры. '1) Род структуры топологической группы содержит одно основное базисное множество А, не содержит никаких вспомогательных базисных множеств, а соответствующан общая структура есть пара (зь е,) (з, есть графин закона композиции на А, а гг — множество открытых множеств топологии в А; см..Общая топология, гл. !!1, ф 1). Кажлый из тернов г„гг есть способ вывода, дающий соответственно структуру группы и топологию, лежащие ниже, чем структура топологической группы (зь гг). Аналогично из структуры векторного пространства выводится нижележащая структура абелевой группы. Из структуры кольца выводятся нижележащие структура абелевой группы и структура (мультипликативного) моноида. Из структуры дифференцируемого многообразия выводится нижележащая топология и т.
д. 2) Рол структуры векторного пространства над С (соответственно й) содержит основное базисное множество Е, вспомогательное базисное множество, равное множеству С (соответственно й), и тйповую характеристику з1б йу ( (Е Х Е) Х Е) и гг б йу ( (С Х Е) Х Е) (соответственно з1 б ф ( (Е Х Е) Х Е) и гг Е Ф ( (й Х Е) Х Е) ). Пара (гь з«П((й ХЕ) Х Е) ) есть способ вывода структуры вектор-. ного пространства над й из структуры векторного пространства над С („ сужение тела скаляров до й', см..Алгебра, гл. !!)., 3) Предположим, что 9 имеет ше же самые множества базы (основные и вспомогательные), что и В, и ту же самую тйповуюхарактеристику. Если, кроме того, аксиома рода 2 влечет (в,у') аксиому рода 6, то ясно, что терм з есть способ вывода стоуктуры рода 6 из структуры рода Х.
В атом случае говорят, что В бедйее, чем В, или что В богаче, чем 6. Всякая структура рода Е в теории т', более сильной, чем,т', являетсн в атом случае также и структурои рода 9. Например, род структуры совершенно упорядоченного множества (получающийся, если в качестве аксиомы взять конъюнкцию аксиомы -1 структур порядка (и' 4, пример 1) и соотношения г!) е = А Х А) богаче, чем род структуры порядка. Род структуры абелевой группы богаче,.
чем род структуры группы. Род структуры компактного пространства богаче, чем род топологической структуры, и т. д., ' 4) Для случая, когда В и 8 оба являются родамй структуры группы (соогветственно кольца), в алгебре („Алгебра*, гл. !) определяют способ вывода, ассоциирующий каждой структуре группы (соответственно кольца) структуру группы (соответственно кольца) над ее (его) центром.
Для случая, когда В есть род структуры векторного пространства над полем К,  — рол структуры алгебры над К, в „Алгебре*, гл. Ш, определяют способы вывода, ассоциирующие каждому векторному пространству нзд К его гпепзорпую алгебру или его внешнюю алгебру. В дальнейшем нам встретятся также много других примеров., Замечание.
Если Р есть .кортеж" (Р„..., Р«), говорят также, что термы Рь ..., Ре составляют способ вывода структуры рода 9 нз. структуры рода В ГЛ. ИП СТРУКТУРЫ 1. Эквивалентные роды структуры Пусть Е и  — два рода структуры в одной и той же теории су', имеющие одни и те же основные множества базы х,, ..., х„. Пусть г и У вЂ” общие структуры родов Е и В.
Предположим, что выполняются следующие условия: 1' Имеется способ вывода Р)хи ..., х„, г1 структуры рода Й иа х,, ..., х„из структуры рода Е на х,...х„. 2' Имеется способ вывода Сс(х,, ..., х„, У~ структуры рода Е иа х,...., х„из структуры рода сг на х,, ..., х„. 3' Соотношение С)~хр ..., х„Р~хо ..., х„, г!~=г есть теорема теории суг, а соотношение Р~хо ..., х„, с!~хо ..., х„, У~~=У есть теорема теории с7 . Тогда говорят, что роды структуры Е и 8 экеиеалентны посредством способов выгода Р и Я. В этом случае для всякой теоремы В!хо ..., х„, г! теории су' соотношение В(хм ..., х„, Я1 есть теорема теории су (гл.
!. й 2, л'4); и обратно, для всякой теоремы С~х,... х„, г! теории сУ' соотношение С(хм ..., х„, Р! есть теорема теории сT. Если () есть структура рода Е, говорят, что структура, полученная из () методом Р, эквивалентна структуре(). Из критерия СБТб вытекает следующий критерий: СЯТ7. Пусть 5е, эу' — дее структуры рода Е на основных базисных множествах (Еу ..., Е„) и (Е,', ..., Е„') соотеетстеенно. Пусть эЭ'е, елее — структуры рода В, эквивалентные соответственно структурам эУэ и эУ"' Для того чтобы (до ..., Уэ) было изомоРфизмом длЯ стРУктУР паз и эУ"', необходимо и достаточно, чтобы (ди ..., У„) было изоморфизмом для структур эуг и эу"'.
На практике теории су'г и су'н двух эквивалентных родов струк.туры не различают. ПРимеРы. !)' ПУсть Х вЂ” рол структуры абелевой группы („Ал гебра", гл. 1, й б, л'7); он содержит одно (основное) базисное мно ство А, а его общая структура есть одна буква Р; тйповая характери. стика рола Х есть РЕф((А ХА)ХА); обозначим аксиому рода й через й)А, Р!. Из этой ансиомы следует, в частности, что Р есть функциональный график (.занан композиции' группы, см. л'4, при- меР 2). ОпРеделим тогда в,у'г (где д' обозначает теоРию множеств)' терм М( А Р 1, являющийся функциональным графиком в с(е ((2 ХА)ХА) Ф 1 СТРУКТУРЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ и удовлетворяющий слелующему соотношению В)М, А РР (сух)(ЧУ) (Чп) ((к с А и у бА и пай)ь ='Ь (М (и, Р (х, у) ) = Р (М (и, х), М (и, у) ) )) и (ссгх) (Чт) (Тгп) ((хй А и т ВХ н п ЕХ) из =;Ь(М (т+и, х) = Р(М(т, х), М(п, «)))) и (Чх) (Чт) (сгп) ((хй А и т б2 и и ВХ) Ф =;Ь (М (т, М (п, х) ) = М (тп, х) ) ) и (Чх) ( (х й А) Ь (М (1, х) = х) ) (.Умножение элемента из А на целое число"; м.,А с ., лгебра", гл,!, Рассмотрим теперь ол с кт р трухтуры В унитарного Х-модуля базы А, с Х в качестве вспомогательного множе л' 2), имеющий одно основное множ ожество тельного множества, с общей струкдве уквы , 1., с типовой характеристикой Об%ПАХА) ХА) и В й 9((Х ХА) ХА) и с аксиомой .й А,О'и 1.
! и (1. есть функциональный график) и В(1, А, Оьч Тотчзс же проверяется, что т мы Р, М со гмы, составляют способ вытру ур рода ~, а т рм О есть способ ф трухтур Рода Рб Роме того, выше- сказать, что род структуры абелевой г плы н о иог Х-модуля зквнвалентны. 2) Пусть Х вЂ р топологической с кт ы А — множество базы и Ч вЂ” общая ст отношение и . — о щая структура рода Х.
Рассмотрим со- ч и Х с А и (ч()) ((()Е Ч н хйЩ='Э(ХП(1 ~ 6)). Оно об графиком Рс'4а(А) ХА по паре (Х, х); р!А Ч' е т мнй .множество лар (Х, х), ' '» > есть терм, называе- множества Х относительно тололог и Ч , д риносноеения топология', гл. 1, лв 1), " " оказывается (см. „Общая .теории ьт х: щне соотношения являются теоремами Р (6) = 6, (ЫТ) ((Т с А) Ф (Т с Р (Т) ) ), (ЧТ) ((Тс А)ь(Р(Р(Т)) =Р(Т))), (ЧТ) (ЧХ) ((ус А и Х с: А) Э(Р(Т() Х) = Р(Т)(/Р(Х))). Рассмотрим теперь род стрчкт ы В, им А б й , с о ще структурой, содержащей одн б кв лозой характеристикой 1Ч й 4)(4У(А) Х А) н с '1Ч (6) = 6 н (ЧТ) ((Т с: А) Ь (Т с:. сЧ (Т) ) ) и (ЧТ) ((Т С А) Р (1Ч (ЪЧ (Т)) = \Ч (Т))) и (ЧТ)(ЧХ) Цусй и ХсА)=.Ь(СЧ(Т()Х)-1Ч(Т)()СЧ(Х))).
Гл. 1ж стРуктуРН з г™ОРецзмы И ПРоизвОдныЕ структурь! Уп« О(Е~ " Еп)ХЧ(Е~ " Еп). ь (уо "' у ) =(уь ' у )ь ° Рассмотрим, с другой стороны, соотношение (! ~ А и (Чх) ((хб())«(х ~)Ч (А — (!)) ). Множество элементов 0 Е й)) (А), удовлетворяющих атому соотношению, есть часть ()1А, ТЧ1 множества Чй(А). Тогда доказывается (,Общая топология', гл. 1, 2 издание, й 1, упр. 10), что следующие соотношения являются теоремами теории Т'в. А 4 Я, (чм)((м~ с))4ь((1) х) б О)) (чх) (чу) ((х 4 я и т е с?) ь ((х П т) е с)) ).
Это показывает, что термы Р)А, Ч1 и () (А, )Ч! удовлетворяют вышеуказанным условиям 1' и 2'! видно также, что они удовлетворяют условию 3'. Таким образом, роды структуры Е и В эквивалентны; всякую структуру рода 8 также рассматривают как топологию, а именно как топологию, которая соответствует ей согласно способу вывода С) 1А, ТУ~., Ул рагк ненив Рассмотрим теорию,T, более сильную, чем теория множеств, в которой Р есть субстантнвный знак веса 1, Х вЂ” субстантивный знак веса 2 (гл.
1, й 1, п'3). Пусть х„..., хп — различные буквы, ноторым приписывается вес О. Пусть Т вЂ” равновесное выражение (гл. 1, приложение, п' 1) из знаков Р, Х, х„..., х„; такое выражение будет называться типом ступени над х„..., хп. Пусть теперь Еь ..., Еп суть и терман теории, более сильной, чем теория множеств. Для всякого типа ступени Т на х„..., хп определим терм Т(Е„..., Еп) следующим образом: 1' если Т есть буйва хь то Т(Е„..., Еп) есть множество Еб 2' если Т имеет аид Р(), где Π— выражение, антецедентное к Т гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
