Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Если ! есть множество из одного элемента, структура, финальная относительно единственной тройки (А, 29', /), называется (когда она существует) прямым образом структуры 29' при отображении у'. 1!. Факторструктура. Пусть А — множество, наделенное структурой е9' рода Е, К вЂ” соотношение эквивалентности в А и пусть 2>— каноническое отображение множества А на фактормножество Е = А/К (гл.
11, $ 6, п'2). Факторс|лруктурой структуры 29'посоотношению К называется прямой образ (если он существует) структуры 29> при отображении 9. ' Вообще говоря, структура порядка нли алгебраическая струнтура не обладают факторструктурой относительно произвольного соотношения энвнвалентности (см. гл. !!1, $ 1, упр. 2). Напротив, топология всегда обладает фанторструнтурой относительно любого соотвошения эквивалентности, но вто не имеет места для структуры отделимого топологичесного пространства., Пусть А,  — два множества, наделенные соответственно структурами е9', 29Р' рода Е, и пусть у — морфизм множества А в В.
Пусть К вЂ” соотношение эквивалентности у(х)=у(у), 9 — каноническое отображение множества А на А/К и у — каноническая инъекция множества у (А) в В. Предположим, что йР обладает фактор- структурой е9' по соотношению К и что 29" индуцирует на у(А) структуру 29ье Тогда в каноническом разложении у'=/ьдор отображения / (гл. 11, В 6, п'5) биекция д множества А/К на /'(А), ассоциированная с у, есть лорфизм (но не обязательно изоморфизм), когда множество А/К наделено структурой е9'е, а у(А) — структурой е9'е, В самом деле, / ° »г есть морфизм множества А/К в В, по определению факторструктуры, а д есть морфизм множества А/К на у(А), по определению индуцированной структуры.
СЯТ20. Пусть А, А' — два множества, наделенные структурами 29Р, 29" рода Е, К вЂ” соотношение эквивалентности в А, К' — соотношение эквивалентности в А'. Предположим, что существует факторструктура ч9 е структуры е9' по соотношению К и факторструктура еу'е структуры е9' по соотношению К'. Тогда. если / есть морфизм множества А в А', совместимый с соотношениями К и К', и д — отображение, полученное переходом к факторлножвствам, то й есть морфизм множества А/К в А'/К'.
В самом деле, если ф — каноническое отображение множества А на А/К, 9' — каноническое отображение множества А' на А'/К', то и~2>=Ч>'оу; так как 9' и у — морфизмы, то же, в силу (МОН), верно и для 9' ~/; но тогда, поскольку д ь 9 — морфизм, то же, по определению факторструктуры, верно и для »г. Критерий транзитивности С3Т19 дает, в частности, следующий критерий: СБТ21. Пусть А — множество, наделенное структурой еуэ рода Е, К вЂ” такое соотношение эквивалентности в А, что на множестве А/К существует факторструктура 29" структуры 29' Упр.
$2. МОРФИЗМЫ И ПРОИЗВОЛИЫИ СТРУКТУРЫ Упр, ГЛ. 2У. СТРУКТУРЫ по К. Пусть 5 — соотношение эквивалентности з А, более крупное, чем К, и пусть Ь/К вЂ” соотношение эквивалентности е А/К, являющееся факторсоотношением соотношения 5 по К (гл. 11, 9 б, п'7). Для того чтобы на (А/К)/(Ь/К) существовала факторструктура пуп структуры пу"' по Я/К, необходимо и достаточно, чтобы на А/Б сущестэоеала факторструктура ьрээ структуры пуп по 5 и чтобы каноническое отображение множества А/Ь (наделенного структурой п9'э) на множество (А/К)/(Б/К) (наделенное структурой пх' ) было изоморфизмом. В самом деле, пусть Ф вЂ” каноническое отображение множества А иа А/К, ф — каноническое отображение множества А/К на (А/К)/(Ь/К).
В силу СЬТ19, утверждение, что 29'" — факторструктура струкТуры аУ' по Я/К, эквивалентно утверждению, что ехп — структура, финальная относительно тройки (А, ох, ф ° ф). Критерий вытекает теперь из того, что соотношение ф(ф(х))=ф(ф(у)) эквивалентно соотношению Я. Замечание. Пусть А — множество, наделенное структурой рода 2, й — такое соотношение эквивалентности в А, что на Е = А/й существует факторструктура Р' структуры а' по й.
Пусть Т вЂ” каноническое отображение множества А на Е; вообще говоря, не существует иссеченпя з, ассоциированного с Т (гл. !1, Э 3, п'8), которое было бы мор!Зизмом множества Е в А. Предположим, что такое иссечение з существует и, кроме того, что существует структура и", индуцированная на з (Е) структурой Ла; тогда, если через / обозначить каноническую инъейцню множества з (Е) е А и положить з = /о», взаимно однозначное отображение» есть иэоморрбизм множества Е на з(Е). В самом деле, » есть морфизм по определению индуцированной структуры, а и= То/ есть морфиэм множества з(Е) на Е в силу (И)ОИ); так как ио» вЂ” тождественное отображение множества Е и»ои — тождественное отображение множества з(Е), заключение вытекает из критерия СВТ8.
Упражнения 1) Пусть 3 — теория, более сильная, чем теория множеств, в которой Р и Р— субстзнтивные знаки веса 1, Х и Х вЂ” субстантивные знаки веса 2 (гл. 1, Э 1, п'3). Для всякого знакосочетания А из этих знаков и п различных букв хь ..., х„определим цену знэкосвчетания А следующим образом: каждзя из букв х! так же, как и знаки Р, Х, имеет цену О, знаки Р, Х имеют цену 1; цена энакосочетания А есть сумма '(в теле Р,), цен входящих в него знаков (иначе говоря, она есть О, если в нем четное число знаков, имеющих цену 1, и 1 — в противном случае).
Назовем знаковым типом ступени равновесное знакосочетанне А (гл. 1, приложение, п'3) из вышеуказанных знаков, удовлетворяющее следующим условиям: 1 выражения, антецедентные к А (гл. 1, приложение, п'4), являются знаковыми типами ступени; 2' если А начинается со энакэ Х, два антецедентных знакосочетания имеют цену О, если же А начинается со знака Х , два антецедентных знакосочетанив имеют цену 1. Знаковый тип ступени называется копириинтным, если он имеет цену О, и контразириантным, если он имеет цену 1. Если в знако- вом типе ступени А заменить Р и Х на Р и Х соответственно, по- лучится тип ступени А' (ф 1, упражнение); всякая реализация на п термах Е„ ..., Е„ типа ступени А называется реализацией' на Еп ..., Е„ знакового типа ступени А и обозначается А (Еп ..., Е„). Пусть Е, ..., Е„, Е,,..., Е„ — множества, »г — отображение мно- жества Ег в Е; (! ( ! ( и).
Показать, что каждому знзковому типу ступени 5 на хо ...,х„ можно ассоциировать отображение (»ь ..., »„)з имеющее следующие свойства: 1' Если 5 коваРиантен (соответственно контРаваРиантен), (»„'..., »и) з есть отображение множества 3(ЕР ..., Е„) в Я(Е,, ..., Е„) (соответ- ственно множества 5(Е2,..., Е„) в 5(Е2, ..., Еп)), 2' Если 5 есть буква х (», » )ь есть Л 3' Если 5 есть РТ (соответственно Р Т) и если й = (»и ..., »„) есть отображение множества Р в Р', то (»и ..., »о)~ есть распро- странение отображения я на множества подмножеств (соответственно обратное распространение отображения и на множества подмножеств ') ). 4' Если 5 есть ХТО или Х Т(1, где Т и 0 — антецедентные вы- ражения, и если (уь ..., »,)т есть отображение я множества Р и Р' з (»ь ..., »и) — отображение И множества 0 в 0', то (»н..., » )з есть распространение иго', И, отображение множества Р КО е Р'2о',С!'.
Отображение (»ь..., »„)з называется знаковым каноническим распространением отображений»п ..., ут соответствующим знако- вому типу ступени 3. Когда 5 есть тип ступени (иначе говоря, когда Р и Х не встречаются в 3), знаковое каноническое распространение (»н ..., уп)э равно (»и ..., »„)э. Показать, что если »г есть отображение множества Е, в Е,, а », †отображен множества Е) в Е; (1 ( ! ( п), то для ковариант- ного знакового типа ступени Я (»о»...,, »о») =(»...
») а(»,..., а для контравариантного знакового типа ступени Я (»'о»,..., »'а») =(»Р.... »„) о(»',..., »',), Вывести из этого, что если»! является биекцией множества Ег на Е', а»,— обратной биекцией (1 ( г (и), то (»Р ..., »а) есть биекция и (»,,..., »„) — обратная биекция. Кроме того, если 5" есть тип ступени (не знаковый), соответствующий знаковому типу сту- пени Я, то (», ..., »о) равно (»2, ..., »,) или (»,, ...,»„), смотря по тому, ковариантен или контравариантен 5.
2) Пусть 3 †знаков тип ступени над и+ т буквами (упр. 1). Пусть 2 — род структуры, имеющей хп ..., х„е качестве основных множеств базы, Аь..., Аы — в качестве вспомогательных множеств баэЬ! И С тнПОВОй Харахтврнетняай Внда З й Ч)(5(ХЬ „Х„, А„..., Аы)). Показать, что для этого рода структуры понятие о-морфизма можно ') Обратное )гаспрострзнение отображения определяется в сводне результатов (ф 2, и 6). — Прим. ред.
27О Упр. ГЛ. !У. СТРУКТУРЫ Уп р. $2. МОРФИЗМЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ СТРУКТУРЫ 271 определить следующим образом: когда даны л множеств Ео ..., Е, наделенные структурой () рода Е, и множеств Е,, ..., Е„, наделенные структурой (Г рода Е, и, для 1((а.и, отображение /г множества Е в Е,„говорят, что (гп ..., уп) есть а-морфнзм, если отображения Л удовлетворяют следующим условиям: 1' если 3 — ковариантный тип ступени (Уь..., У„, 1„..., ! ) (())~(). 2' если Я вЂ” ковтравариаптный тип ступени ( Уь ..., УФ 1„..., 1 ) '(()') С (). Показать, что, надлежащим образом выбирая ценм, можно таким спо- собом снова дать определение морфизчов для структур порядка, алгебраических структур и топологических структур.
3) Пусть А, В, С вЂ” три множества, наделенные структурами одного н того же рода Е, У вЂ” сюрэектианый морфизм множества А в В, Р— морфизм множества В в С. Показать, что если йаУ является изо- морфизмом множества А на С, то л и У вЂ” изоморфизмы. 4) Пусть А, В, С, Р— четыре множества, наделенные структурами одного и того же рода Е, У вЂ” морфизм множества А в В, л — морфизм множества В в С. й — морфнзм множества С в Р. Показать, что если йау и лап — изоморфнзмы, то у, а и й — изоморфизмы (см. гл.
!1, й 3, упр. 9). 5) Пусть А,  — два множества, наделенные структурами й', ~' одного и того же родэ Е. Пусть У вЂ” морфизм множества А в В, Р— морфизм множества В в А. Пусть М (соответственно Н) — множество элементов хр А (соответственно у б В), таких, что й (у (х) ) = х (соот- ветственно у (л(у) ) = у). предположим, что Р (соответственно лг') индуцирует на М (соответственно Н) структуру рода Е. Показать, что М и Н, наделенные этими структурами, изоморфны. б) Пусть Š— род структуры с одним (основным) базисным мно- жеством А, общая структура (Ч, Н) которого имеет тйповую характе- ристику Чб ча(4)(А) ) и Нбвд)(А) н аксиома которого есть (переносимое) соотношение НсЧ и Й)Ч), гле Й(Ч( обозначает зксиому рода топологической структуры (й 1, п'4, пример 3). Если А, А' — два множества, наделенные соответ- ственно структурами (Ч, Н), (Ч', Н') рода Е, определим а-морфизмы множества А в А' как отображении у', непрерывные (для топологий ЧЧ') и такие, что у(Н) ~ Н'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
