Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 67
Текст из файла (страница 67)
2. Существование универсальных отображений Проблема универсального отображения не обязательно имеет решение (упр. 1). Однако мы сейчас покажем, что следующие условия влекут существование решения: (СЦ). На всяком произведении семейства Е-множеств существует структура-произведение рода Е (э" 2, п'4). (СОН). Пусть (Р,) Е, — семейство Е-множеетва и для всякого ~~1 пусть Р, — и-отображение множества Е в Рг Тогда отображение (э,),Е, множества Е в множество П Р, (наделен- ЕТ ное структурой-произведением) есть и-отображение. Мы будем говорить, что часть С от Е-множества Р является Е-допустимой, если структура множества Р индуцирует на С структуру рода Е (э 2, п' 4). (СРш). Существует кардинальное число а, обладающее следующими свойствами: для всякого Е-множества Р и всякого и-отображения е множества Е в Р существует Е-допусгпимое подмножество С множества Р, содержащее э(Е), с кардинальным числом (а и такое, что, во-первых, отображение мнозгсества Е в С с тем же графиком, что и Р, есть и-отображение и, во-вторых, деа морфизма множества С в произвольное Е-множество, совпадающие на э(Е), равны.
СВТ22. Если условия (С()) — (ССш) выполнены, проблема универсального отображения для Е обладает решением. Покажем сначала, что если существует пара (Р, о ), удовлетворяющая условию (А()~), то существует также и решение проблемы универсального отображения для Е. В самом деле, в силу (ССщ) существует Е-допустимое подмножество Ре множества Рг, содержащее э (Е), такое, что, во-первых, отображение у' множества Е в Р„' с тем же графиком, что и ое, является и-отображением и, во-вторых, два морфнзма множества Ре в произвольное Е-множество, совпадающие на эе(Е), равны.
Пусть у' — каноническая инъекция мно- жества Р' в Р, тогда у =/а ее; для всякого морфизма г' множества Ре в Е-множество Р, у о,т' есть морфизм множества Ре в Р и У о Ре —— (т' ь у~ о ~'. Теперь ясно, что (Р', уе) удовлетворяет условиям (АС~), (АСН). Остается, таким образом, показать существование пары (Р, у ), удовлетворяющей условию (А()~).
Пусть з~5(х) — тйповая характеристика рода структуры Е; рассмотрим подмножество Е произведения 4з (а) Х В (а) Х 4в (Е Х а), образованное тройками Л = (Х, Ч, Р) со следующим свойством: „Ч есть структура -рода Е на Х~а и Р есть график некоторого и-отображения множества Е з множество Х (наделенное структурой Ч')" (заметим, что 8(Х) ~ В(а), как легко видеть, рассуждая последовательно по длине схемы конструкции ступени В). Для всякого 1 = (Х, Ч, Р) ~ 1.
обозначим через Х„ множество Х, наделенное структурой У, а через яь — отображение множества Е в Х, с графиком Р. Пусть теперь Ре есть Е-множество, произведение множеств Хт (существует в силу (С()1)), а у — отображение х — ь(э,(х)) множества Е в Ре, являющееся а-отображением в силу (СОН). Покажем, что (Ре, 4 ) удовлетворяет условию (А(3;). В самом деле, если даны и-отображение э множества Е в Е-мцожество Р, пусть С вЂ” часть множества Р, удовлетворяющая условиям, сформулированным в (С(),ц); пусть у' — каноническая инъекция множества С в Р и ф — отображение множества Е в С с тем же графиком, что я у, так что э =у ьф.
Из (ССш) вытекает, что ф — а-отображение множества Е в С. Так как Сагй(С) (а, существует часть С' множества а, равномощная множеству С. Пусть е — биекция множества С на С', если структуру рода Е множества С перенести посредством е, найдется по определению такое 1~1., что С' (наделенное этой перенесенной структурой) равно множеству Хт и еоф=эк Тогда г =/ой-~ з рг, есть морфием множества Р в Р, такой, что у=у о4е, что заканчивает доказательство. СВТ23.
Пусть (Р, у ) — решение проблемы универсального отображения для Е. Для того чтобы э было иньекиией множества Е в Ре, необходимо и достаточно, чтобы для всякой пары различных элементов х, у из Е существовало такое а-отображение у множества Е в некоторое Е-множество Р, что э(х) + р(у). Так как э есть и-отображение, критерий тотчас же вытекает из определений. В этом случае говорят также, что а-отображения отделяют элементы множества Е.
В языке тогда обычно не делают никакой 18ь ГЛ. Нл СТРУКТУРЫ Ч 3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ разницы между элементами множества Е и их образами пря (ср. приложение, п' 5); при этом соглашении, если (Р, аае) есть решение проблемы универсального отображения и если условие (С()1ц) выполняется, всякое и-отображение множества Е в Е-множество Р продолжается, и притом однозначно, до морфизма мпожестеа Ре е Р. 3. Пра мерт универсальных отображенай 'Нижеследующие примеры будут большей частью детально обсуждены на дальнейших страницах этого сочинения. 1.
Свободные алгебраические структуры. Пусть Š— некоторое множество, а Š— некоторый род алгебраической структуры (определенный при помощи одного или нескольких законов композиции: см. „Алгебра", гл. 1); в качестве морфизмов возьмем представления рассматриваемого рода Е, а и-отображениями будут произвольные отображения множества Е в Е-множество (иначе говоря, а)х, е'1 = =еу (Е, х)). Все обычные рода алгебраической структуры удовлетворяют условию (СЕН~); за исключением структуры тела, они удовлетворяют также условию (СЦ), а (С()ц) является здесь тривиальным следствием условия (СЦ).
Поскольку обычно существуют структуры рода Е, определенные на множествах, имеющих не меньше двух элементов, и-отображения отделяют элементы множества Е и Е рассматривается, таким образом, погруженным в Ре. Ре называется сеободпым Е-множеством, порожденным множеством Е; так, например, в Алгебре говорят о сеободном мопоиде („ Алгебра', гл. 1, Э 1, п' 3), свободной группе („ Алгебра", гл. 1, $ 6, упр. 19), свободном модуле („ Алгебра".
гл. 11 и ЧП), свободной алгебре („ Алгебра", гл. 111). 11. Кольца и поля дробей. Пусть Š— коммутативное кольцо с единичным элементом, а 5 — мультипликативное подмножество множества Е, не содержащее О. Возьмем в качестве Е род структуры коммутативного кольца, имеющего единичный элемент, в качестве морфизмов — гомоморфизмы (относительно структуры кольца), преобразующие единичный элемент в едяничный элемент. В качестве а-отображений возьмем такие гомоморфизмы я множества Е з обладающее единичным элементом коммутативное кольцо А, что аа(1)='1 и ау(5) содержит только элементы, обратимые в А. Немедленно проверяются условия (()Мц), (С()г) — (ССш) (с а =Сагд(Е) Сагд(М)); проблема универсального отображения, таким образом, всегда имеет решение (Р, у ), но, вообще говоря, у не инъективно.
Чаще всего Е является областью целостности; в этом случае ае инъективно. Если, кроме того, взять 5 = Š— 10), то Ре есть поле, называемое полем дробей кольца Е („ Алгебра", гл. 1, $ 9, п'4, предложение 4; см. Вторая часть, „Коммутативная алгебра". 111.
Тензорное произеедекие двух модулей. Пусть Е есть произведение А ХВ двух унитарных модулей над коммутативным кольцом С, имеющим единичный элемент. Возьмем в качестве Е род структуры унитарного С-модуля, в качестве морфизмов — линейные отображения, в качестве а-отображений — билинейные отображения множества А )( В в С-модуль.
Условие (ОМН) выполняется, так же как и (СЦ) — (СЦц) (с а=Сагй(Е)Сагб(С) Сэссю (М)). Универсальный С-модуль Ре, соответствующий паре (А, В), называется тензорпым произведением множества А на В и обозначается А ~В; универсальное отображение ау обозначается (х, у) — ьх ®у; оно билинейно, но, вообще говоря, не инъективно (см.,Алгебра", гл.
111, з 1) 1Ч. Расширение кольца операторов над модулем. Пусть А — коммутативное кольцо с единичным элементом,  — подкольцо кольца А, содержащее единичный элемент кольца А, Š— унитарный В-модуль. Род Е есть род структуры унитарного А-модуля, морфнзмы суть А-ликейкые отображения, а-отображения суть В-липейяые отображения множества Е в унитарный А-модуль. Говорят, что универсальный А-модуль Ре, соответствующий В-модулю Е, получен путем расширения до А кольца операторов В над Е („ Алгебра",.
гл. 1П, в 2). Ч. Пополнение (сотрЫГ(оп) равномерного пространства. Пусть Š— равномерное пространство; возьмем в качестве Е род структуры отделимого и полного равномерного пространства, в качестве морфизмов — равномерно непрерывные отображения, в качестве и-отображений — равномерно непрерывные отображения множества Е в отделимое и полное равномерное пространство. Е-допустимыми частями отделимого и полного равномерного пространства являются здесь части, замкнутые относительно рассматриваемой топологии всего пространства; и условия (ОМц) и (С()1) — (СЦц) выполняются, если взять а= 2г 1 1. Отделимое и полное равномерное пространТСааз (Е) ство Ре есть не что иное (с точностью до изоморфизма), как пополнение (сошр1е(е) отделимого равномерного пространства, ассоциированное с Е (,Общая топология", гл.
11, э 1 и 3). Ч1. Компактное расширение (сотрас1Ц)са(гоп) Стоуна— Чеха. Пусть Š— вполне регулярное пространство; Š— род структуры компактного пространства, морфизмы — непрерывные отображения (компактного пространства в компактное пространство), и-отображения — непрерывные отображения множества Е в компактное пространство. Е-допустимыми частями здесь опять являются замкнутые множества; условия ЯМН), (СЦ) — (С()ца) (с тем же кардинальным числом, что и в примере Ч) легко проверяются. Компактное пространство Ре есть (с точностью до изоморфизма) „компактное 4 Э УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Уар.
ГЛ. !У. СТРУКТУРЫ расширение (сощрас1111е) Стоуна — Чеха', полученное пополнением (еп сощр14(ап1) множества Е до самой крупной равномерной структуры, делающей непрерывные отображения множества Е в [О, 1) равномерно непрерывными („ Общая топология", гл. 1Х, 2 1, упр. 7); отображение ч) инъективно, так как две различные точки множества Е могут быть отделены непрерывным отображением множества Е в (О, 1). Ч1!.
Свободные топологичгские группы. Пусть Š— вполне регулярное пространство, Š— род структуры отделимой топологической группы, морфизмы — непрерывные представления; наконец, в качестве а-отображений возьмем непрерывные отображения множества Е в отделимую топологическую группу. Легко проверяются условия (ОМН), (СО!) — (С()ш) с а = Сагб (Е) Сатб ())(). Отделимая топологическая группа Ге — решение проблемы универсального отображения для Š— называется свободной топологической группой, порозкденной пространством Е; так как две различные точки из Е могут быть отделены непрерывным отображением множества Е в отделимую топологическую группу (ч, отображение )!) инъективно; можно показать, что ча есть гомеоморфизм множества Е на подпространство ()е(Е) пространства Г ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
