Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 71
Текст из файла (страница 71)
и грС Бр(х, х', А, А')" где Б (!г.У р) — схемы конструкции ступени над и+г-+т+г термами. Мы покажем сейчас, что это определение эквивалентно следующему (в обозначениях, введенных в и' 1): соотношение К) х, х', г, в)(4К~У, у', г,', в~ есть теорема теории Ц;),, полученной добавлением к аксиомам теории сT соотношения переноса для типизации „Тз и Т" и аксиомы Р ! х, гз!.
Заметим, что это условие не означает переносимости соотношения К в теории,7» для типизации .Т, и Т", так как буквы х» (1 (! (и) являются константами теории,7'. Предположим, в самом деле, что К переносимо (в 7) относительно Е при типизации „Тз и Т"; тогда соотношение (Р)х, го)='УК)х, х' го в»»)(Ф(~»»у го)=>К»»у У ' го '»») (1) есть теорема теории,7»; то же верно и для соотношения Р)», 1(=РР)у, „1, поскольку Р переносимо для Тз (в,7). Следовательно, в 7, соотношение (!) эквивалентно соотношению (Р1х, гз)ФК1х. х', за, в1)(=)(Р)х, го!ФК1У у гз в 1) (2) Но в (7»), К) х, х', гз, в) и Р)х, гь)=1»К(х, х', гз, в( — эквивалентные соотношениЯ; аналогично в Ц;), эквивалентны К(У, У', гь, в'1 и Р ! х, гз)=;:» К! у, у', гз, в'1; из этого заключаем, что К1 х, х', гз, в)(ФК) у.
у', г,', в') есть теорема теории Я;)ю Обратно, предположим, что это верно; тогда в 7, соотношение Р!х гз)=!»(К!х х го в!(ФК!У У гз в !) (3) есть теорема; но легко проверяется, что соотношения В=й(С(ф0) и (В ~ С)(=ф(В ='ь О) эквивалентны во всякой логической теории; таким образом, (2) есть теорема теории 7„а следовательно, и (1), что заканчивает доказательство нашего утверждения.
Мы будем говорить, что терм О теории с7 есть переносимыб терм типа 8 (е,7) относительно Е при типизации,Тз и Т", если в (T,) соотношения О с 5(х, х', А, А') и О!у, у', г„', в') =! (О ) х, х',, э!) являются теоремами. Легко теперь проверить, что критерии, установленные в п' 2, остаются верными, если в них заменить „переносимый" на „переносимый относительно Е', Т на „Тз и Т" и (в критериях СТ7, СТ9 и СТ!6) теорию,T на теорию с7,. Покажем, например, как доказать критерий, соответствующий первой части критерия СТ7.
Предположение, что (Ть к Т)4»й есть теорема теории 7ю означает, что соотношение (Р!х, з»1 и Т,!х, г»1 и Т1х, х', г„з)) фй(х, х'. гь з! есть теорема теории,7 и, следовательно, К(х, х', г,, з! есть теорема теории (7,) . Так как буквы х,, х», г) не являются константаин теории 7, соотношение (Р!У 'о1"!'з)У 'о) "Т!Уу 'о '1)ФК)У.У 'с ' ! есть теорема теории,7 и тем более теории (7,) . Но соотношение (Р)х, г»1 и Ть(х, гь! н Т! х, х', гь, 51) (ф (ф(Р!У,га) и Тз!у,га) и Т!У,у,гз, з 1) есть теорема теории,7„ а значит, и (,7,)В из этого заключаем, что К )у, у, г, з ) есть теорема теории (,7,)а и, следовательно, то же верно для Й ) х, х, гс, з ! (=Ф К ! У, У, гз, з' !. 295 ПРИЛОЖЕНИЕ. КРИТЕРИИ ПЕРЕНОСИМОСТИ ГЛ.
!У. СТРУКТУРЫ. 294 Предположим, что 1( есть соотношение, переносимое относительно Е при типизации „То и Т". где г= О. В теории ор", более сильной, чем д, пусть о5р (соответственно озр') — структура рода Е на о оо множествах Е,, ..., Ео (соответственно Е,, ..., Е,) и пусть (я, ..., д ) — изоморфизм множеств (ЕР ..., Е„), наделенных 1' '''' и о о о стРУктУРой о9', на множества Е1, ..., Е„, наделенные стРУктУРой 59о ($ 1, п'5). Пусть, с другой стороны, С,, ..., С вЂ” термы теории у', такие, что соотношения СГ~БТ(Е1, ..., Ео А1 ° ° ° Ам А1 ° ° ° Ао) являются теоремами теории Д" (1 (У.( р). Пусть из — каноническое распространение отображений д1, ..., К„и тождественных отображений .множества Ао и Ал (1 (й (т, 1 (5 (5) на ступень типа Ь, построенную из Е1, ..., Е„, А,, ..., А, А1, ..., А,; имеем, в частности изо(о9Р)=о9Р'.
ПРи этих УсловиЯх соотношение К)Е1, .,Ер,о9',С1,, Ср)фф(ЦЕ1... Ео о9',й1(С1),",й Р(Ср)~ есть теорема теории у". В самом деле, если в терм 11(5 ) подставить К1 вместо у1, Ег вместо х1, Е1 вместо у1, о9' вместо зо и С, вместо 5, (1 (! (п, 1.(! ( р), получим терм и г(С ) (1.(у (р). Так как те же подстановки, произведенные в Р, То, Т и в соотношении переноса для „То и Т", дают теоремы теории,7", наше утверждение вытекает из определения соотношения, переносимого относительно Е. Аналогично, если () — переносимый терм типа 8 относительно Е для типизации „То и Т" (с г = 0). соотношение цз(()) Е1,, Ео, о9', С1., Су~)= =() ~ Е,, ..., Ео, о9', и 1(С1), ..., и Р(Ср)~ есть теоРема теоРии оР', как это виДно сРазУ же из опРеделениЯ.
Большинство соотношений и термов, рассматриваемых в теории рода структуры Е, переносимы относительно Е (при соответствующей типизации). Пример. 'Возьмем в качестве 2 род структуры группы; таким образом, п=-1, т =О; То есть соотношение зоей((х, Х х,) Х х,) и Р (хь 5,! — аксиома .5о есть закон композиции гРУппы на х," (п" 3). Терм, называемый „нейтральный элемент множества х," (относительно общеи структуры 5,), есть то(»5х~ и (Ч»')((» бх~) =,о(зо(»» ) =» и 5о (»») =» ) )). Он является переносимым термам типа х, относительно 2 при типизации Т„как легко видеть с помощью СТ!2: обозначим его е (в нем встречаются только буквы 5, и х,).
Обозначим через и ' терм о (»СХ1 и 5, (ж и) = е и 5, (и, ») = е); он является относительно переносимым термам типа х, при типизации .То и и ~х,'. Соотношение, обозначаемое через „о есть подгруппа группы х,", есть (Ч») ((» 5 о) Р (» ' 5 о и (Ч»') ( (»' 5 о) Ф (зо (»»') б 1') ) ); оно относительно пеРеиосимо пРи типизации .То и об !Ьо(х,)", ТеРм, называемый .подгруппа группы х„порожденйая множеством ю', являетсв относительно переносимым термам типа !З) (х,) при типизации ,Т, и ген!Зо(х,)", так как он равен пересечению множества таких о, что о — подгруппа группы х~ и юг:о. соотношение .» есть коммутатор в х," относительно переносимо при типизации .Т, и»бх,, так как оно эквивалентно (в Я'з) соотношению (В»') (Э» )(»'бх, и»'бх1 и»=зо(»' зо(»", зо(»' 1»» 1)))).
Отсюда терм „множество коммутаторов группы х, ' (содержащий только буквы 5, и х,) относительно переносим типа Ч) (х,) и, наконец, то же верно для герма „коммутант группы х,', поскольку этот последний есть по определению подгруппа, порожденная множеством коммутаторов группы х,, Данные выше определения показывают. что терм, внутренний для 5, (5 1, п'6), есть не что иное, как терм Ч)х1, ..., х„, зо1, не содержащий никаких букв, отличных от констант теории и переносимый относительно Е при типизации Та, 'Таким образом, мы только что показали, что в теории групп нейтральный элемейт и коммутант — внутренние; то же верно для центра, группы автоморфизмов и т. д., ПУсть Ч !х,, ..., х„, зо! — теРм, внУтРенний Дла зо типа $.
Очевидно, что соотношение ,(Л, ..., Гу) есть аетоморфизм множеств хп ..., х„, наделенных структурой 5„" влечет (в оуз) соотношение 15(Ч)=Ч; говорят также, что Ч инвариантеи при всех автоморфизмах множеств х,...., х„, наделенных структурой 5 . Это необходимое условие того, чтобы Ч был внутренним (для зо), вообще говоря, не является достаточным; может случиться, например, что всякий автоморфизм сводится к тождественным отображениям множеств хр 'Так обстоит дело в случае структуры простого тела или для структуры полного архимедовского упорядоченного тела. Но, если, например, 2 есть род структуры простого тела из двух элементов, имеющий в качестве базисного множества К, терм т (»5 К) не переносим относительно 2 (и в настоящее время не располагают никакой теоремой, позволяющей сказать, равен ли этот терм О или 1 в К)., Если терм Ч, внутренний для з, еще и таков, что соотношение „Ч есть соответствие между Х и У" (соответственно „Ч есть отображение множества Х в У") есть теорема теории д з (Х и У вЂ” два терма, внутренних для зо), то Ч называется соответствием (соответственно отображением), каноническим для 5 .
В дальнейшем в этом Трактате нам понадобится определить очень много канонических отображений. Замечание. В силу соглашений, введенных в 5 1 (п'4 и п'5), утверждение, что соотношение (соответственно терм) переносимо от- 296 ГЛ ПС СТРУКТУРЫ в приложение критЕРИИ ПеРЕНОсимОСти 297 ь касательно рода структуры множества, означает просто, что соотношение (соответственно терм) переносимо в смысле, определенном в п'1. Терминология, канонических отображений', введенная в теории множеств (гл. В и Шб, согласована, таким образом, с предыдущей терминологией при помощи соглашений, которые мы только что напомнили. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
