Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Исторический очерк к гл. 1Ч книги Ш и ссылки, приведенные там по этому поводу). иллюстрацией нлн моделью (удовлетворяя иногда даже, как н у Пифагорейцев, его склонность к мистицизму). Что касается его ученика Аристотеля, то он не мог не получить минимума математического образования, требуемого от учеников Академии, и был составлен целый том отрывков из его сочинений, относящихся к математике или упоминающих о ней [44); но он никогда, повидимому, не старался сохранить контакт с математическим движением своего времени и ссылался в этой области только на те результаты, которые давно уже стали общеизвестными. Впрочем, у большинства последующих философов это расхождение только усилится; многие из этих философов, не имея технической подготовки, вполне искренне считали, что они говорят о математике со знанием дела, в то время как они ссылались на давно уже пройденную стадию ее развития.
Завершением этого периода развития логики является монументальный труд Аристотеля [1), великая заслуга которого состоит в том, что ему впервые удалось систематизировать и кодифицировачь методы рассуждений, оставшиеся не ясными или не сформулированными у его'предшественников') )[ля наших целей здесь особенно необходимо запомнить основное положение этой работы, заключающееся в том, что всякое правильное рассуждение возможно свести к систематическому применению небольшого числа неизменных правил, не зависящих от конкретной природы объектов.
о которых идет речь (эта независимость ясно выявляется обозначением понятий или высказываний буквами — что, очевидно, было заимствовано Аристотелем у математиков). Но Аристотель сосредоточил свое внимание почти исключительно на особом типе логических соотношений и их соединений, составляющем то, что он называет „силлогизмом": речь идет, в основном, о соотношениях, которые в настоящее время на язык теории множеств мы перевели бы в виде А~В или А [) ВФ(Р[г), ') Несмотря на простоту и .очевидность", которые, по-видимому, представляют для нас логические правила, сформулированные Арисз отелем, достаточно лишь поместить их в их исторические рамки, чтобы оценить трудности, мешавшие точному пониманию этих правил, и усилия, которые должен был приложить Аристотель, чтобы достигнуть цели; Платой в своих диалогах, которые он адресует просвещенной публике, позволял еще своим персонажам запутываться в таких элементарных вопросах, как соотношение между (на современном языке) отрицанием соотношения А<-В и соотношением А П В = 0, хотя впоследствии не скрывает правильного ответа [см.
й. к о Ь1п во и, Р1а1о'е сопзс1ощпезз о! !айасу, М1ла, 51 (1942), 97 — 1 14). ') Соответствующие выражения Аристотеля: „Всякое А есть В' и „Некоторое А есть В"; в этих обозначениях А (,субъект") и В (.предикат") ааменяют понятия, и,Всякое А есть В" означает, что можно приписать понятие В всякому существу, которому можно приписать понятие А (в классическом примере А есть понятие .человек",  — панягие .смертен"). Интериретацая, которую мы этому даем, состоит в рассмотрении множеств существ, к которым применяются соответственно понятия А и В; это так называемая .объемная' точка зрения, уже известная Аристотелю.
Но этот последний рассматривает, особенно соотношение .Всякое А есть В", с дру- ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ и о способе соединения этих соотношений или их отрицаний при помощи схемы (А с В и В с С) ==;> (А с С). Все же Аристотель был слишком искушен в математике своего времени. чтобы не заметить, что схем этого рода не достаточно, чтобы охватить все логические операции математики и, тем более, других применений логики [[1[, Ап.
Рг., 1, 35; [1![, стр. 25 — 26['). По крайней мере, углубленное изучение различных форм „силлогизма", которым он занимается (и которое почти целиком посвящено выяснению постоянных трудностей, вызываемых двусмысленностью или неясностью терминов, участвующих в рассуждении), дает ему между прочим повод сформулировать правила нахождения отрицания высказывания [[1[, Ап. Рг., 1, 46[. Также именно Аристотелю принадлежит заслуга очень отчетливого различения роли „общих' и „частных" высказываний, что было первым подходом к кванторамз). Йо слишком хорошо известно, как влияние его трудов (истолкованных зачастую односторонне или неумно), остававшееся очень чувствительным вплоть до конца Х!Х века, поощряло философов в их пренебрежении к изучению математики и тормозило развитие Формальной логики з). Тем не менее последняя продолжает развиваться в античном мире в лоне мегарской и стоической школ, соперничавших с перипатетиками.
К сожалению, все наши сведения об их теориях — нз вторых рук и переданы они часто их противниками или посредственными комментаторами. Главное достижение этих логиков состояло, повидимому, в создании „исчисления высказываний' в том смысле, как мы понимаем его сегодня: вместо того, чтобы, подобно Аристотелю, ограничиваться высказываниями частного вида АсВ, они формулировалн правила, относящиеся к совершенно неопределенныле высказываниям.
Кроме того, они настолько глубоко проанализировали логические связи между этими правилами, что умели методами, очень гой, так называемой „содержательной" точки зрения, где В понимается как одно из понятий, которые каким-то образом составляют более сложное понятие А, иеи, как говорит Аристотель, ему .принадлежат'. На первый взгляд обе точки зрения кажутся одинаково естественными, но .содержательная" точка зрении была постоянным источником трудностей в развитии логики [она, ио-видимому, более далека от интуиции, чеи первая, и довольно легко приводит к ошибкам, особенно в схемах, в которых участвуют отрицания; си.
[26[, сгр. 21 — 32]. ') По поводу критического обсуждения силлогизма и его недостатков си., например, [26[, стр. 432 †4 или [16[, стр. 44 — 50. е) Отсутствие настоящих кванторов (в современном смысле) до конца Х1Х века было одной из причин застоя в формальной логике.
') Рассказывают случай с одним видным профессором университета, котОрый недавнО на лекции в Принстоне в пРисутствии Гзделя якобы сказал, что в логике со времен Аристотеля не было сделано ничего нового! похожими на описанные в гл.
1, % 2 и 3, выводить все эти правила из пяти из них, взятых как „недоказуемые' [5[. К сожалению, их влияние было довольно эфемерным, и их результаты должны были оставаться в забвении до тех пор, пока они не были вновь найдены логиками Х1Х века, Вплоть до ХЧ!1 века неоспоримым авторитетом в Логике оставался Аристотель; известно, в частности, что философы- схоласты всецело находились под его влиянием; н хотя нх вкладом в формальную логику никак нельзя пренебречь [3[, он не содержит никакого первостепенного достижения по сравнению с вкладом философов Античности. Здесь следует, впрочем, заметить, что, по-видимому, работы Аристотеля или его последователей не имели заметного отклика в математике. Греческие математики продолжали свои исследовании по пути, проложенному пифагорейцами и их последователями !Ч века (Теодором, Теэтетом, Ввдоксом), не ааботясь, видимо, о формальной логике при оформлении своих результатов: факт, который вовсе не должен нас удивлять, если сравнить гибкость и точность, достигнутые в это время в математических рассуждениях, с весьма зачаточным состоянием аристотелевой логики.
А когда Логика прошла этот этап, то именно новые завоевания математики снова направляли ее развитие. Когда начала развиваться алгебра, нельзя было не поразиться сходству между правилами Формальной логики и правилами алгебры, поскольку и те, и другие имели обобщенный характер применения к неопределенным объектам (высказываниям или числам). И когда в ХЧП веке алгебраические обозначения под пером Виета н Декарта приняли свою окончательную форму, почти тотчас же стало наблюдаться появление различных опытов символической записи, предназначенной для изображения логических операций; но до Лейбница эти попытки, как, например, у Эрнгона (Н4г1допе) (1644) для записи доказательств Элементарной геометрии или у Пелла (Ре11) (1659) для записи доказательств Арифметики, оставались весьма поверхностными и не вели ни к какому прогрессу в анализе математических рассуждений.
Лейбниц предстает перед нами как философ, который не только был одновременно математиком первой величины, но и умел извлекать из своего математического опыта ростки идей, способных вывести Формальную логику из схоластического тупика'). Уннвер- ') Хозя )[екарт и (в меньшей степени) Паскаль иосвятилн часть своих философских работ основаниям математики, их вклад в развитие Формальной логики ничтожен. Несомненно, причину этого надо видеть в основной тенденции их мышления, в их стремлении вырваться из-иод опеки схоластики, приводившем к отбрасыванию всего, что могло их с ней связывать и, в первую очередь, Формальной логики. Лействитееьно, в своих „Размышлениях о духе геометрии Паскаль по собственному признанию ограничился главным образом вкладываниеи в хорошо построенные формулы известных принципов эвклидовых доказательств (например, известное правило .Всегда подстаелнть мысленно определении на место определяемых" ([33], т. 1Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
