Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 77

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 77)

ред. 315 ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ З МАТЕМАТИКЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК .314 Гегель, — последний, как и следует, несколько отстает от науки своего времени')). к столь же гибкой позиции, как и позиция греков. Первый удар этим классическим концепциям нанесло построение в начале века гиперболической неэвклидовой геометрии Гауссом, Лобачевским и Бойаи. Мы не собираемся подробно излагать здесь генезис этого открытия, результата многочисленных бесплодных попыток доказать постулат о параллельных (сй. Исторический очерк к книге П, гл. 1Х).

В то время его влияние на принципы математики не было, по-видимому. столь глубоко, как это иногда говорят. Оно просто потребовало отказа от претензий предшествующего столетия иа „абсолютную истинность' эвклидовой геометрии и тем более от лейбницевской точки зрения об определениях, влекущих аксиомы; эти последние вовсе не кажутся теперь „очевидными", это скорее гипотезы и речь идет о проверке, приспособлены ли они к математическому представлению чувственного мира.

Гаусс и Лобачевский считали, что спор между различными возможными геометриями может быть решен опытом ([28], стр, 76). Такова же точка зрения Римана, который в своей знаменитой диссертационной лекции „О гипотезах, .лежащих е основании геометрии' ставит себе целью дать общее математическое обрамление разлнчныч естественным явлениям: „Остается еще выяснить, — говорит он, — обеспечиеаются ли опытной проверкой эти простые отношения, и если обеспечиваются, то в какой степени и е каком обьеме" ( [39[, стр. 284 г) ).

Но это — задача, которая, очевидно, не имеет ничего общего с математикой; и ни один из предыдущих авторов не сомневается, повидимому. в том, что даже если некоторая „геометрия' не соответствует экспериментальной действительности, ее теоремы тем не менее столь же остаются „математическими истинами" г). Во всяком случае, если это так, то, разумеется, не неограниченной вере в классическую „геометрическую интуицию" следует приписывать такое убеждение; описание, которое Римам старался дать „и-кратно протяженным многообразиям", предмету своей работы, опирается на „интуитивные'4) соображения только для оправдания введения „локальных координат"; начиная с этого момента, он явно чувствует себя на твердой почве, а именно на почве Анализа.

Но этот последний основан в конечном счете на понятии действительного числа, остававшемся до сих пор на крайне интуитивном уровне; к тому же раз- ') В своей диссертация он, в тот самый год, когда открыли восьмую планету,,доказывает', что их может быть только сень. ') Стр. 290 русского издания. — Прим. ред. ') Ср. аргументы Пуанкаре в пользу „простоты" и,удобства" звклндовой геометрии ([37а], стр.

67) и тот зйзлиз, при помощи которого он несколько позже приходит к заключению, что опыт не дает абсолютного критерия для выбора одной геометрии вместо другой в качестве обрамления естественных явлений природы. ') Само слово это оправдано только для и < 3; для больших значений и речь в действительности идет о рассуждении но аналогии. витне Теории функций привело в этом вопросе к весьма смущающим результатам: с исследований самого Римана по интегрированию и в особенности с примеров кривых без касательной, построенных Больцано и Вейерштрассом, начинается в математике всевозможная патология.

В течение века мы видели столько чудовищ этого рода, что уже немного пресытились, и нужно собрать самые несуразные тератологические свойства, чтобы еще нас удивить. Но эффект, произведенный ими на большинство математиков Х1Х века, распространялся от отвращения до растерянности: „Каким образом, — спрашивает себя А. Пуанкаре,— интуиция могла обманывать нас до такой степени?" ([37б], стр. !9')); н Эрмит (не без капли юмора, которую, кажется, не все комментаторы этой знаменитой фразы заметили) заявляет, что он „с ужасом и омерзением отворачиеается от этой жалкой язви непрерывных функций, не имеющих ни е одной точке производной" ([38], т. П, стр.

318). Самое главное, нельзя было отнести эти, столь противные здравому смыслу явления на счет плохо выясненных понятий, как во времена „неделимых", так как они появились после реформы Больцано, Абеля и Коши, позволившей обосновать понятие предела столь же строго, как была обоснована теория отношений. Таким образом, винить следовало именно грубый и неполный характер нашей геометрической интуиции и понятно, что с этих пор она была с полным основанием дискредитирована как средство доказательства. Констатация этого неизбежно должна была оказать влияние нв классическую математику.

и прежде всего на геометрию. Какое бы уважение к аксиоматическому построению Эвклида ни проявляли, в нем с самой античности находили не один недостаток. Из них постулат о параллельных был предметом наибольшего числа критических замечаний и попыток доказательства; но последователи и комментаторы Эвклида пытались также доказать и другие постулаты (а именно постулат о равенстве прямых углов) или признавали несовершенство некоторых определений, как, например, определений прямой и плоскости.

В ХЧ! веке Клавий (С!ачшз), издатель Начал, заметил отсутствие постулата, гарантирующего существование четвертого пропорционального; Лейбниц, со своей стороны, заметил, что Эвклид пользовался геометрической интуицией, явно этого не. оговаривая, например, когда он допускал (Начала, Книга 1, предл. 1), что два круга, из которых каждый проходит через центр другого, имеют общую точку ([27б[, т. ЧП, стр. 166).

Гаусс (сам не отказывающийся ог использования подобных топологических рассмотрений). обращает внимание иа роль, которую в эвклидовых построениях играет понятие точки (или прямой), расположенной „между" двумя другими, понятие, которое, однако. не было определено ([11], т, Ч!П, 4) Стр. 15 русского издания (в котором эта фраза приведена в неверном. переводе). — Лрим. ред. 316 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ОБЪЕКТЫ, МОДеЛи. стРуктуры 3Г) стр.

222). Наконец, использование перемещений — именно в „признаках равенства треугольников", †долг время допуекаемое как само собой разумеющееся' ), должно было вскоре подвергнуться критике Х1Х века, как также основанное на несформулированных аксиомах. Таким образом, в период с 1860 по 1885 год мы пришли к различным частичным ревизиям начал геометрии [Гельмгольц, Мерэй (Мегау), Уель (НоиН)], направленным на заполнение некоторых из этих пробелов.

Но только у М. Паша [34[ отказ от всякого обращения к интуиции становится ясно сформулированной и выполняемой с совершенной строгостью программой. Успех его начинания доставил ему вскоре многочисленных конкурентов, которые, главным образом между 1890 и 1910 годами, дали довольно различные оформления аксиом эвклидовой геометрии.

Самыми знаменитыми из этих сочинений были труды Пеано, написанные на его символическом языке [296[, и особенно „Огипб1аееп бег Оеоше1Пе" Гильберта [15], вышедшая в 1899 году, книга, которая по ясности и глубине изложения сразу же с полным основанием стала своего рода хартией современной аксноматики, вплоть до того, что заставила забыть своих предшественников. И действительно, не ограничившись приведением полной системы аксиом для эвклидовой геометрии, Гильберт классифицирует эти аксиомы по нескольким группам различной природы и стремится определить точную силу каждой из этих групп аксиом, не только получая логические следствия каждой из них отдельно, но и обсуждая еще различные „геометрии", получаемые выбрасыванием или модифицированием некоторых из этих аксиом (геометрии, по отношению к которым геометрии Лобачевского и Римана являются не более чем частными случаями г)); таким образом, в области, рассматриваемой до тех пор в качестве одной из наиболее близких к чувственной действительности, он ясно выявил свободу, которой располагает математик в выборе своих постулатов.

Несмотря на замешательство, вызванное у многих философов этими „метагеометриями" со странными свойствами, положении „Сгппт[1аееп" были вскоре почти единодушно приняты математиками; А. Пуанкаре, которого вряд ли можно заподозрить в благосклонном отношении к формализму, признает в 1902 году, что аксиомы геометрии суть соглашения, для которых понятие „истины", как его понимают обычно, не имеет смысла ([37а[.

стр. 66 — 67). Таким образом, „математическая истина" пребывает исключительно в логической дедукции из посылок, устанавливаемых ') Следует, однако, заметить, что еще в ХУ1 веке комментатор Эвклкда Пелетье [Д Ре!ецет) возражал против этого способа доказательства примерно э тех же выраженняк, что и современные критики ([44[, т. 1, стр. 249). ') По-видимому, больше всего поразила современников .неархкнедова" геометрия, т. е, геометрия, основным телом которой является неархимедовскк упорядоченное (коннутативное илн нет) тело; в комнутативном случае эта геометрии была введена за несколько лет до этого Веронезе (Ропйателй нт яеотеггГа, Работа, 1891), путем произвольного задания аксиом. Как мы увидим дальше, законность правил рассуждения, по которым производились эти дедукции, сама должна была вскоре быть подвергнута сомнению, что привело к полному преобразованию основных концепций математики.

Обаекгпы, модели, структура А) Математические обьекрты ') и структуры. С античности до Х1Х века существует общее согласие по вопросу о том, что является основными объектами математиков; это те самые объекты, которые упоминает Платон в цитированном выше отрывке: числа, величины и фигуры.

Характеристики

Список файлов книги