Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Во второй половине Х!Х века система Буля служит основой для работ активной школы логиков, которые обогатили и дополнили ее в различных направлениях. Так, например, Джевонс (3енопз) (1864) расширил смысл операции объединения х+у, распространив ее на произвольные х и у; А. де Морган (А. бе Могдап) в 1858 году и Пирс (С. 8. Ре!Гсе) в 1867 голу доказали соотношения двойственности (ОА) П (ВВ) = 6 (А 0 В), (ОА) [] (б В) = 6(А П В) ').
В 1860 году де Морган предпринял также изучение соотношений, определяющих инверсию и композицию бинарных соотношений (т. е. -1 операции, соответствующие операциям С и С, » Ст над графиками) ). Все эти работы систематически изложены и развиты в объемистом и многословном сочинении Шредера [47]. Но любопытно также отметить, что логики, о которых мы только что говорили, как будто бы вовсе не интересовались применением своих результатов в математике и что, совсем напротив, именно Буль и Шредер, по-видимому, имели своей главной целью развивать „булеву" алгебру, копируя ее методы и проблемы с классической алгебры (часто очень искусственным образом). Причины такого отношения, несомненно, следует видеть в том, что булево исчисление еше не было достаточно удобным для выражения большинства математических рассужденийз) и, таким образом, лишь в очень малой степени отвечало великому замыслу Лейбница.
Построение формализмов. лучше приспособленных к математике, — его главным этапом явилось принадлежащее независимо Фреге [42] и Пирсу [Збб] введение переменных и кванторов †бы делом логиков и математиков, которые в отличие от предшественников прежде всего имели в виду приложения к основаниям математики. ') Следует отметить, что формулировни, эквивалентные этим правилам, встречаются уже у некоторых философов-схоластов [[3], стр. 67 и след.), ') Однако понятие „декартова' произведения двух произвольных множеств было, по-видимону, явно введено только Г. Кантором ([22], стр.
286); также именно Кантор первым определил возведение в степень А (!ос. с!!., в стр. 287); общее понятие бесконечного произведения принадлежит Уайткеду (А. !ч. 'Т7Ь!!епеад) (Атег. Уоигп. оу Мата., 24 (1902), 369). Исиоаьзование графинов соотношений достаточно ново; если исключить, нонечно, классический случзй числовых функций действительных переменных, оно, кажется, впервые появляется у итальянских геометров, а именно у Сегре (С. Бейте) в его работе об алгебраических соответствиях. ') Для каждого соотношения, полученного из одного или нескольких заданных соотношений применением наших кванторов, в атом исчислении -1 пришлось бы ввод1пь обозначение аб Ьос, типа обозначений О и Ог«С» (см., например, [Збб]).
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ В МАТЕМАТИКЕ Замысел Фреге !42б и в) состоял в обосновании арифметики при помощи логики, формализованной в виде „записи понятий" (Веет!1- 1зспг!11), и мы вернемся в дальнейшем к способу, которым он определяет натуральные числа. Его труды характеризуются крайней точностью и тщательностью в анализе понятий; именно в силу этой тенденции он вводит многочисленные различения, получившие большое значение в современной логике: например, он первый различает формулировку высказывания и утверждение, что это высказывание истинно, соотношение принадлежности и соотношение включения, объект х и множество 1х), состоящее из этого единственного объекта, и т.
д. Его формализованная логика, содержащая не только „переменные" в смысле, употребляемом в математике, но и „пропозицнональные переменные", представляющие неопределенные соотношения и способные подвергаться действию кванторов, должна была позже (пройдя через сочинение Рассела и Уайтхеда) составить основное орудие метаматематики. К сожалению, применяемые им символы были мало выразительны, ужасающей типографской сложности и очень далеки от практики математиков; все это оттолкнуло последних и значительно снизило влияние Фреге на современников. Пель Пеано (Реапо) была одновременно более обширной и более практичной; дело касалось издания ,Формуляра математики', написанного полностью на формализованном языке и содержащего не только математическую логику, но и все результаты наиболее важных разделов математики.
Быстрота, с которой ему удалось осуществить свой честолюбивый замысел с помощью плеяды сотрудников-энтузиастов )Вайлати (Ча)1ай), Пиери (Р)ег!), Падов (Рабов), Вакка (Часса), Виванти (Н!чап11), Фано (Рапо), Бурали-Форти (Впга)1-РОТ!!)К свидетельствует о превосходном качестве принятой им символики: неотступно следящий за обычной практикой математиков, вводящий многочисленные, хорошо подобранные символы для сокрашения, его язык остается, кроме того, достаточно легко читаемым благодаря в особенности остроумной системе замены скобок разделительными точками !42в). Многие обозначения Пеано приняты сегодня большинством математиков: укажем ~, л (но в противоположность современному употреблению в смысле „содержится" или „имплицирует" ')), 1), П, А — В (множество разностей а — д, где аЕ А и Ь Е В). С другой стороны, именно в,Формуляре" мы впервые находим развитый анализ общего понятия функции, понятий образав) и полного прообраза и замечание, что последовательность есть не что иное, как функция, определенная в Х.
Но употребление кванторов у Пеано подчинено стеснительным ограничениям (по существу, в его ') Это хорошо показывает, до какой степени укоренилась дзже у него старая привычка мыслить скорее содержанием', нежели .объемом'. ') По-видимому, это понятие было введено Дедениндом в его работе .'1таз Ыпд ипб Йаа ЗОПЕп 41е Лап)еп", о которой мы будем говорить позже ()42), т. !рь стр. 348). системе кванторы можно навешивать только на соотношения вида А =?ьВ, А (ф В или А = В). Кроме того, почти фанатическое усердие некоторых из его учеников легко подавало повод к насмешкам; критика, часто несправедливая, в частности критика Пуанкарэ (Н.
Ро!Псаге), нанесла чувствительный удар школе Пеано и явилась препятствием для распространения его учения в математическом мире. Благодаря Фреге и Пеано появились основные элементы употребляемых в настоящее время формализованных языков. Самым общеизвестным из них, без сомнения, является язык, созданный Расселом и Уайтхедом в их капитальном сочинении „Рг!псгр!а Ма1йетат!са' и счастливо соединяющий точность Фреге и удобство системы Пеано !38К Большинство современных формализованных языков отличается от него только модификациями второстепенной важности, связанными с упрощением его употребления.
Среди наиболее остроумных приведем „функциональную" запись соотношений !например, ~ ху вместо х ~ у), придуманную Лукасевичем (1.пКаз!ЕМсз), благодаря которой можно полностью обойтись без скобок; но наибольший интерес, несомненно, представляет введение Гильбертом (НВЬег1) символа т, которое позволило рассматривать кван- торы и и 7 как сокращающие знаки, избежать введения „универсального" функционального символа ~ Пеано и Рассела (применимого только к функциональным соотношениям) и, наконец, избавило от необходимости формулировать в теории множеств аксиому выбора К15а), стр. 183')). Понятие истины в математике Математики всегда были уверены, что они доказывают „истины" или „истинные высказывания"; такое убеждение может иметь, очевидно, только чувственный или метафизический характер и, встав на почву математики, невозможно ни оправдать его, ни даже придать ему смысл, отличный от тавтологии.
История понятия истины в математике относится, таким образом, к истории философии, а не к истории математики; но эволюция этого понятия оказала неоспоримое влияние на эволюцию математики и поэтому мы не можем обойги его молчанием. Прежде всего заметим, что столь же редко приходится видеть математика, обладающего высокой философской культурой, сколь и философа, широко знакомого с математикой; воззрения математиков на вопросы философского порядка, даже когда эти вопросы относятся к их науке, чаще всего представляют собой взгляды, полученные из вторых или из третьих рук, происходя от источников сомнительной ценности. Но именно поэтому эти-то средние взгляды ') Заметим, что то, что Гильберг обозначает там через т (А), было.
з гл. 1 обозначено через т (не А). ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ В МАТЕМАТИКЕ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 310 зп и интересуют историка математики по меньшей мере так же, как и оригинальные воззрения таких мыслителей, как Декарт или Лейбниц (приводим двух из тех, которые были также математиками первого порядка), Платон (который был по крайней мере в курсе математики своего времени), Аристотель или Кант (о которых этого уже не скажешь).
Традиционное понятие математической истины восходит к эпохе Возрождения. В этом понятии не делалось еще большой разницы между объектами, изучаемыми математикой, и объектами, изучаемыми естественными науками; и те и другие познаваемы и человек подчиняет их себе при помощи одновременно интуиции и рассуждений; невозможно подвергать сомнению ни интуицию, ни рассуждения, которые только тогда могут привести к ошибке, когда их употребляют не так, как полагается.
„Нужно было бы, — говорит Паскаль, — иметь совершенно яеяравильный ум, чтобы дурно рассуждать о принципах столь значительных, что почти невозможно, чтобы оки ускользали ([33[, т. Х11, стр. 9). Декарт, у своей печки' ), пришел к убеждению, что только математикам удалось найти некоторые доказательства, т. е. некоторые точные и очевидные соображения" ([20[. т. Ч1, стр. 19г)) и это (если ограничиться его рассказом) задолго до построения метафизики, в которой говорил: „То, что я с недавних яор принял за правило, а именно, что вещи, которые мы постигаем очень ясно и очень отчеягливо, суть истинные, гарантировано лишь тем, что Бог есть или существует и что ок является совершенным существом' [[20[, т.
Ч1, стр. 38 а)[. Хотя Лейбниц и возражал Декарту, что не видно, каким образом распознается, что некоторая идея „ясна и отчетлива" в), он сам также рассматривал аксиомы, как очевидные и неизбежные следствия определений, как только мы понимаем смысл входящих в них слова).
') Во Франции распространено предание, что Декарт был очень теплолюбивым и писал свои работы, сидя у натопленной печки.— Прим. перев. ') Русский перевод, стр. 23.— Прим. ред. ') Русский 'перевод, стр. 37. — Прим. ред. ') .Те, которые дали нам методы,— говорил ои по этому поводу,— бев сомнения дают иам и прекрасные предписаиищ но ке способ их выполнения" ([27б[, т. Ч11, стр. 21). И в другом месте, высмеивая декартовы правила, он сравнивал их с рецептами алхимиков: .Возьми. что нужно, проделай, что должно, и получишь, что желаешь!" ( [27б), т. 1У, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
