Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Но контекст позволяет понять, что Грассман достаточно ясно понимал под этим аксиоматическую математику в современном смысле (зз исключением того, что он, как нн странно, следовзл Лейбницу, считая основами этой, как ои говорит, „формальной науки" определения, а не аксиомы); во всяком случае, он, подобно Булю, настаивает нз том, что. название науки а величинах не подходит к совокупности математических дисциплин' ( [17[, т.
1Р стр. 22 — 23). ') Стр. 283 русского издания. — Прим. ред. могут соответствоватв действительные абвекты или отношения. хотя такое соответствие не обязательна" ([1О[, стр. 10). Кантор в 1883 году откликнулся на это требование,свободной математики", провозгласив, что „математика полностью свободна в своем развитии и ее понятия связаны только неабходимаствю бытв непротиворечивыми и согласованными с понятиями, введенными ранее посредством точных определений" ( [22[, стр.
182). Наконец, пересмотр эвклидовой геометрии завершил распространение и популяризацию этих иле». Даже Пащ, добивающийся еще некоторой „реальности" для геометрических сущностей, признает, что на самом деле геометрия не зависит от их значения и представляет собой чистое изучение отношений между ними ([34[, стр. 90); концепция, которую Гильберт довел до логического конца, подчеркнув, что сами названия основных понятий математической тео. рии можно выбрать произвольно'), и которую Пуанкаре выразил, сказав, что аксиомы — это „замаскированные определения", полностью ниспровергла, таким образом, схоластическую точку зрения.
Можно было бы, таким образом, пытаться сказать, что современное понятие „структуры" выработалось в основном к 1900 году; в действительности, понадобилось еще тридцать лет ученичества, чтобы оно появилось в полном блеске. Конечно, нетрудно распознать структуры одного и того же рола, когда их прирола достаточно проста; например, для структуры группы этого уровня достигли уже в середине Х1Х века.
Но в то же время мы еще видим, как Ганкель боролся, не вполне достигая своей цели, за выделение общих идей тела и его расширения, которые он смог выразить только в виде полуметафизического „принципа перманентности' [10[ и которые определенно были сформулированы только Штейницем 40 годами позже. В этом деле особенно трудно было освободиться от впечатления, что математические объекты „даны" нам вместе со своей структурой; и только достаточно долгая практика функционального анализа помогла современным математикам освоиться с идеей, что, например, существуют различные „естественные" топологии на рациональных числах и различные меры на числовой прямой. Это разъединение окончательно осуществило переход к общему определению структур, такому, какое было дано в этой Книге.
В) Модели и изоморфизмы. Можно заметить, что мы неоднократно использовали понятие „модели" или „интерпретации" одной математической теории при помощи другой. Эта идея не нова; ее, ') Согласно известному анекдоту, Гильберт охотно выражал эту идею, говоря, что можно было бы, ничего не меняя в геометрии, слова .точка", „прямая' и .плоскость" заменить словами „стол", .стул" и .пивная кружка'. Любопытно, что уже у Даламбера можно найти предвосхищение етого остроумного выпада:,Славам ложно придать такай смысл, какой лаже лаешь, — пишет он в Энциклопедии ( [17[, статья Ое[1а1цоп); — [можно было бы) е крайнем случае, сделать элемента геометрии точными (но смешными), назвав треугольником то, чта обычна называется кругом", ОБЪЕКТЫ, МОДЕЛИ, СТРУКТУРЫ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК 323 несомненно, можно видеть в беспрестанно возрождающемся проявлении глубокого чувства единства различных „математических наук", Если традиционное изречение первых пифагорейцев „Все еств число" считать подлинным, можно рассматривать его как след первой попытки сведения геометрии и алгебры того времени к арифметике.
Хотя открытие иррациональностей, казалось, навсегда закрыло этот путь, реакцией, которую оно вызвало у греческих математиков, была вторая попытка синтеза на основе на этот раз геометрии со включением туда среди прочего методов решения алгебраических уравнений, унаследованных от вавилонян'). Известно, что эта концепция просуществовала вплоть до фундаментальной реформы Р.
Вомбелли (ц. ВошЬеП1) и Декарта, сводившей всякую меру величины к мере длины (иначе говоря, действительному числу; см. Исторический очерк к Книге )П, гл. 1Н). Но с созданием Декартом и Ферма аналитической геометрии снова проявляется первая тенденция — получается гораздо более тесное слияние геометрии и алгебры, но на этот раз на почве алгебры. Впрочем, Декарт тотчас идет дальше и говорит о существенном единстве „всех наук, поторые е общем называют Малыматикой... Хотя их обвеиты различны, — говорит он, — они остаются согласованными между собой е том, что рассматривают е этих объектах только различные связи или пропорции. которые е них находятся" ()20), т. 'Н1, стр. !9 — 20)').
Тем не менее эта точка зрения всего лишь стремилась сделать алгебру основной математической наукой; заключение, против которого сильно возражал Лейбниц, также занимавшийся. как мы видели,,Универсальной математикой', но в плане много более широком и уже совсем близком к современным идеям. Уточняя „согласованность', о которой говорил Декарт, он, по существу, впервые вводит в рассмотрение общее понятие изоморфии (которую он называет„подобие") и возможность „отождествления" изоморфных соотношений или операций; в качестве примера этого он приводит сложение и умножение ()26), стр. 301 — 303). Но эти смелые взгляды не нашли отклика у современников, и нужно дождаться развития алгебры, совершившегося к середине Х!Х века.
чтобы увидеть начало осуществления того, о чем мечтал Лейбниц. Мы уже подчеркивзли. что именно к этому времени появились многочисленные „модели' и стал привычным переход ') Тем не менее арифметика остается вне этого синтеза; известно, что Эвклид, развив общую теорию пропорций между произвольными величинами, независимо развил теорию рациональных чисел, вместо того чтобы рассматрнватв их как частные случаи отношений величин ') По этому поводу довольно любопытно видеть, как Декарт сопоставлял арифметику и,комбинации чисел", „искусства ..., в которых наибольшую роль играет порядок, подобно искусствам ремеелеининов, делающих тканв или ковры, или искусствам женщин, еышиеающих или ллетущих кружева" ([20), т.
Х, стр. 403), как бы предвидя современные работы по симметрии н ее связям с понятием груш1ы (ср. !1г еу ! Т1,, яуттеггу, Рг!псе!оп Ов!ч. Ргезз, 1952). от одной теории к другой простым изменением терминологии; самым ярким примером этого является, вероятно, двойственность в проективной геометрии, где частая в 'то время практика печатания теорем, „двойственных" одна другой, друг против друга в две колонки сыграла, безусловно, большую роль в осознании понятия изоморфии.
С более технической точки зрения несомненно, что понятие изоморфных групп было известно Гауссу для абелевых групп, Галуа †д групп подстановок (см. Исторический очерк к Книге П, гл. 1 и П вЂ” 1П); в общем виде для произвольных групп оно было усвоено к середине Х)Х века'). Впоследствии каждая новая аксиоматическая теория естественно приводила к определению понятия изоморфизма; но только с современным понятием структуры было окончательно признано, что каждая структура несет в себе понятие изоморфизма и нет никакой нужды давать особое определение изоморфизма для каждого рода структуры. С) Арифметизация классической математики, Все более и более распространявшееся употребление понятия „модели" дало также возможность осуществить в Х1Х веке то объединение математики, о котором мечтали пифагорейцы, В начале века целое число и непрерывная величина все еще казались столь же несовместимыми, как и в античности; действительные числа оставались связанными с понятием геометрической величины (по крайней мере, с понятием длины), и именно к последней обращались за „моделями" отрицательных и мнимых чисел.
Даже рациональное число традиционно связывалось с идеей „деления" величины на равные части; только целые числа оставались в стороне в качестве „исплючителвиых продуктов нашего ума", как сказал Гаусс в 1832 году, противопоставляя их понятию пространства ()11), т.
НП1, стр. 201). Первые усилия по сближению арифметики с анализом были направлены сначала на рациональные числа (положительные и отрицательные) и принадлежали Мартину Ому (Маг)!и ОЬш) (1822); около 1860 года они были возобновлены несколькими авторами, а именно Грассманом, Ганкелем и Вейерштрассом (в его неопубликованных лекциях); именно последнему, кажется, принадлежит идея получения „модели" положительных рациональных чисел или отрицательных целых чисел в виде классов пар натуральных целых чисел. Оставалось, однако, сделать самый важный шаг, а именно найти в теории рациональных чисел „модель" иррациональных чисел; к 1870 году эта задача получила первостепенную важность ввиду необходимости после открытия „патологических" явлений в анализе устранить всякий след геометрической ') Само слово,изоморфизм введено в теории групп в это же время; ио сначала оно служит также для обозначения сюръективных гомоморфизмов, квалнфицировавшнхся как .меривдрическне изоморфизиы", тогда как изоморфвзмы в собственном смысле слова назывались .голоздрвческнми изоморфнзмамн"; эта терминология оставалась в употреблении вплоть до работ Э.
!!егер (Е. Р)ое!Ьег). 21в ИСТОРИЧЕСКИП ОЧЕРК ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ интуиции и неясного понятия „величины" в определении действительных чисел. Известно, что эта задача была решена в это время почти одновременно Кантором. Дедекиндом, Мерэем (Мбгау) и Вейерштрассом довольно рааличными методами (см. Исторический очерк к Книге 1!1, гл. 1Ч). Начиная с этого времени целые числа стали фундаментом всей классической математики. Кроме того, „модели', основанные на арифметике, приобретают еще большее значение с распространением аксиоматического метода и концепцией математических объектов как свободных творений разума, На самом деле на эту свободу, провозглашенную Кантором, было наложено ограничение — вопрос о „существовании", который занимал уже греков и который ставился здесЬ гораздо более неотложно как раз потому, что всякое обращение к интуитивному представлению было теперь отброшено. Мы увидим дальше, центром какого философско-математического мальстрзма стало понятие, существования" в первые годы ХХ века.
Но в Х1Х веке этого еще нет и доказать существование какого-нибудь математического объекта с заданными свойствами — это просто, как и для Эвклида, значит „построить' объект, имеющий указанные свойства. Для этого как раз и служили арифметические „модели": как только действительные числа „интерпретированы" в терминах целых чисел, это же имеет место благодаря аналитической геометрии для комплексных чисел и для эвклидовой геометрии; то же самое верно и для всех новых алгебраических объектов, введенных с начала века; наконец,— открытие, имевшее большой резонанс,— Вельтрами и Клейн (К1е1п) даже получили эвклидовы „модели" неэвклидовых геометрий Лобачевского и Римана и, следовательно, „арифметизировали" (тем самым полностью оправдав их) эти теории, вызвавшие при первом Знакомстве столько недоверия.
[)) Ансиоматизаяия арифметики. Линия развития должна была затем повернуть к основаниям самой арифметики и, действительно, это наблюдается около 1880 года. По-видимому, до Х1Х века не пытались определить сложение и умножение натуральных целых чисел иначе, чем прямым обращением к интуиции; только Лейбниц, верный своим принципам, явно указывал, что „истины", столь „очевидные", как 2+2=4, не менее прочих допускают доказательство, если полумать об определениях входящих в них чисел ( [27б], т. 1Ч, стр. 403; ср. [26], стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
