Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 80
Текст из файла (страница 80)
203); и он никогда не рассматривает коммутативность сложения и умножения как само собой разумеющиеся' ). Но дальше этих размышлений он по этому поводу не шел, и до серелины Х!Х века никакого прогресса в этом направлении еще не ') В качестве примера некоммутативных операций он указывал вычитание, деление и возведение в степень ( [276], т.
Ч!1, стр. 3!); он как-то раз даже пытался ввести такие операции в свое логическое исчисление ([з5] стр. 353). происходило: сам Вейерштрасс, лекции которого сыграли большую роль в распространении „арифметизирующей" точки зрения, не чувствовал, по-видимому, необходимости в логическом прояснении теории целых чисел, Первые шаги в этом направлении принадлежали. вероятно, Грассману, который в 1861 году ([17], т. 11ю стр. 295) дал опре.
деление сложения и умножения целых чисел и доказал их основные свойства (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), используя только операцию х — ~.х + ! и принцип индукции. Последний принцип был впервые ясно изложен и употреблен в ХЧ! веке итальянцем Мавролико (Манго!!со Р.) [29]') — хотя еще в Антич ности встречались более или менее сознательные его приложения и широко использовался математиками с первой половины ХЧ1! века. Но только в 1888 году Дедекинд ([!9], т. 1Д, стр.
359 — 361) сформулировал полную систему аксиом для арифметики [эта система была воспроизведена 3 годами позже Пеано и известна обычно под его именем [Зба] ], содержащую, в частности, точную формулировку принципа индукции (который Грассман еще употребляет, явно ив формулируя). Казалось, что с этой аксиоматизацией достигнуто окончательное обоснование математики.
В действительности, в тот самый момент. когда были ясно сформулированы аксиомы арифметики, она для многих математиков (начиная с самих Дедекинда и Пеано) уже утратила роль основной науки в пользу последней новинки среди математических теорий †теор множеств; и споры, раввернувшиеся вокруг понятия целого числа, не могут быть оторваны от великого „кризиса оснований" 1900 †19 годов. Теория множеств Можно сказать, что математики и философы всегда более или менее сознательным образом пользовались рассуждениями Теории множеств; но в истории развития их взглядов по этому предмету необходимо четко отделять все вопросы, связанные с идеей кардинального числа (и, в частности, с понятием бесконечности), от вопросов, ведущих только к понятиям принадлежности и включения. Эти последние наиболее интуитивны и, по-видимому, никогда не вызывали споров: именно на них легче всего можно основать теорию силлогизма (как это должны были показать Лейбниц и Эйлер) или аксиомы вроде „целое больше части", не говоря уж о геометрических вопросах, касающихся пересечения кривых и поверхностей.
Вплоть до конца Х!Х века разговор о множестве (или, у некоторых авторов,,классе") объектов, обладающих тем или иным заданным свойством, не вызывал ') См. также Ф. Н. Виззеу, Тье ог!й!и о[ аашеааиса! !нйисг!Ои, Атее. л!агл. Мопед!у, 24 (1917), 199. ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК 326 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ никаких трудностей'); и знаменитое „определение", данное Кантором (,Под мноэаестеом мы понимаем обаединение е одно целое хорошо различаемых обэентое нашей интуиции или мысли' [22[, стр. 282), не вызвало в момент его публикации почти никаких возражений э).
Олнако положение в корне изменилось, как только к понятию множества начали примешивать понятия числа или величины. Вопрос о бесконечной делимости пространства (стоявший, несомненно, еше со времен первых пифагорейцев) привел. как известно, к значительным философским трудностям: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы безуспешно бились над парадоксом конечной величины, составленной из бесконечного числа точек, лишенных величины. Нам было бы неинтересно излагать здесь, даже бегло, нескончаемые и страстные споры, которые вызывала этз проблема, создавшая особенно благоприятную почву для метафизических или теологических разглагольствований; отметим только ту точку арения, которой со времен античности придерживалось большинство математиков. Эта точна зрения состоит главным образом в отказе от споров за отсутствием возможности разрешить их неопровержимыми средствами — позиция, которую мы вновь находим у современных формалистов: подобно последним, стремяшимся устранить любое использование „парадоксальных" множеств (см.
ниже стр. 333 — 334), классические математики тщательно избегали вводить в свои рассуждения „актуальную бесконечность" (т. е. множества, содержащие бесконечное число объектов, рассматриваемых, как существующие. по крайней мере мысленно, одновременно) и довольствовались „иотенциальной бесконечностью", т. е. возможностью увеличения (или уменьшения, если речь идет о „непрерывной" величине) любой данной величины з).
Хотя эта точка зрения содержала некоторую долю лицемерия 4), ') Выше мы видели, что Буль без колебаний ввел в свое логическое исчисление, Универсум" 1 — множество всех объектов; по-видимому, в свое время эти воззрения не критиковались, хотя Аристотель, приводя довольно темное доказательство их абсурдности, отвергает их ([1[, 4це!. В, 3, 998б). ') Кажется, Фреге был одним из немногих тогдашних математйков, возражавших, не без основания, против расплывчатости подобных .Определений* ( [42 в), т. 1, стр.
2). ') Типичный пример такой концепции дает формулировка Эвклида:,Длп любого заданного количестеа простых чисел найдется простое число, их лрееосходлщее', которую сегодня мы выражаем, говоря, что множество простых чисел бесконечно. ') Классически мы, очевидно, имеем право сказать, что точка принадлежит прямой, но вывести отсюда заключение, что прямая .составлена иэ точек", было бы нарушением табу актуальной бесконечности, и Аристотель посвятил длинные рассуждения оправданию этого запрета.
Вероятно, чтобы избавиться от любых возражений этого рода, в Х1Х веке многие математики избегали говорить о множествах и систематически рассужаалн .по содержанию", например, Галуа говорил не о теле чисел, а только о свойствах, общих всем элементам такого тела. Даже Пащ н Гильберт в своих аксиомэтических представлениях эвклидовой геометрии еще воздержалнсь от того, она позволяла все же развить большую часть классической математики (включая теорию отношений и позже анализ бесконечно малых)'); она казалась также отличной опорой, особенно после споров по поводу бесконечно малых, и еше лолго в Х1Х веке была почти повсеместно принятой догмой. Первый зародыш общего понятия равномошности появляется в одном замечании Галилея ([9[, т.
171!1, стр. 78 — 80): он обращает внимание иа то, что отображение и — ьп' устанавливает взаимнооднозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами и, следовательно. аксиома „целое больше части' не применима к бесконечным множествам. Но вместо того, чтобы положить начало разумному изучению бесконечных множеств, это замечание имело, по-видимому, только обратный эффект, усилив недоверие к актуальной бесконечности; это заключение было сделано уже самим Галилеем, и Коши цитирует его в 1833 году только для подтвержления своей позиции. Потребности анализа — и в особенности углубленное изучение функций действительной переменной, продолжавшееся в течение всего Х1Х века, — положили начало тому, что впоследствии развилось в современную теорию множеств. Когда Больцано в 18!7 году доказывал существование нижней грани множества, ограниченного снизу в К, он, как и большинство его современников, рассуждал еше „содержательно", говоря не о произвольном множестве действительных чисел, а о произвольном свойстве этих последних.
Но когда тридцатью годами позже он редактировал свои „Рагабох[еп без Упепбйсйеп" [4[ (опубликованы в 1851 году, через три года после его смерти), он без колебаний требовал права на существование для „актуальной бесконечности" и права говорить о произвольных мно- чтобы сказать, что прямые и плоскости суть множества точек; Пеапо был единственным, кто в элементарной геометрии свободно пользовался языком Теории множеств. ') Причину этого нужно, без сомнения, видеть з том обстоятельстве, что множества, рассматривавшиеся в классической математике, принадлежзт к небольшому числу простых типов н могут большей частью быть полностью описаны конечным числом числовых „параметров', так что нх изучение сводится в конечном счете к изучению конечного множества чисел (так обстоит лело, например, с алгебраическими кривыми и поверхностями, из которых з течение долгого времени и составлялись в основном ,фигуры классической геометрии).
До того, как прогресс анализа вынудил в Х!Х веке рассматривать произвольные подмножества прямой или Йэ, редко встречались множества, выходящие из предыдущих типов; например, Лейбниц, всегда оригинальный, привел в качестве .геометрического места точек' замкнутый диск беэ центра нли (любопытным образом предчувствуя теорию идеалов) усматривал, что в арифметике целое число есть „род' множества его кратных, н заметил, что множество кратных числа б есть пересечение множества кратных числа 2 и множества кратных числа 3 ([2?б[, т.
ч!1, стр. 292). С начала Х!Х века в алгебре и теории чисел привыкли к множествам этого последнего типа, как к классам квадратичных форм, введенным Гауссом, или к телам и идеалам, определенным Дедекиидом еще до каиторовской революции. ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ жествах. В этой работе он определил общее понятие равномощности двух множеств и доказал, что два интервала, компактных в [4 и не сводящихся к одной точке, равномощны; он заметил также, что характеристичная разница между конечными и бесконечными множествами состоит в том, что бесконечное множество Е равномощно подмножеству, отличному от Е, но не дает никакого убедительного доказательства этому утверждению. Впрочем, общий тон этого сочинения гораздо более философский, чем математический; не отличая достаточно ясно понятие мощности множества от понятия величины или порядка бесконечности, Больцано потерпел неудачу в своих попытках образовать бесконечные множества все более и более возрастающей мощности и пришел к тому, что примешал к своим рассуждениям совершенно бессмысленные рассмотрения расходящихся рядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
