Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 84
Текст из файла (страница 84)
мн., Рез.', э 4, п'1О), остроумным способом получил из нее удовлетворительное доказательство (в основном воспроизведенное нами в гл. П1, 8 2) существования полного порядка на любом множестве. По-видимому, этот новый способ рассуждения, появившийся одновременно с „парадоксами', своим необычным видом привел в смущение математиков; достаточно взглянуть на странные недоразумения, возникшие по этому поводу в следующем томе Ма!ИешайзсИе Аппа!еп под пером математиков, настолько освоившихся с канторовскими методами, как Шонфлис (Бсйоеп1йез) и Бернштейн (Р. Вегпз!е1п).
Более существенны напечатанные в том же томе критические замечания Бореля (Е. Воге1), имеющие прямое отношение к точке зрения Пуанкаре на целые числа; они развиваются и обсуждаются в переписке Бореля, Бэра, Адамара и Лебега, до сих пор считающейся классической во французской математической традиции [8]. Борель начинает с оспаривания законности аксиомы выбора, поскольку, вообще говоря, она предполагает ') Пуанкаре доходил до того, что, по существу, утверждал невозможность определения структуры, удовлетворяющей всем аксиомам Пеано, кроме принципа полной индукции ( [37а], стр. 65); пример [придуманный Падоа (РайоаН целых чисел с отображением х-а х+2 вместо х-их+ 1 показывает, что это утверждение не точно. Любопытно, что мы находим этот пример — почти в тех же выражениях — уже у Фреге ( [42б], стр. 21 е). ') В 1890 году Пеано, доказывая свою теорему о существовании интегралов дифференциальных уравнений, заметил, что его естественно привета к тому, чтобы .бесконечное ниелп раз применить нраизеольный закон, но которому каждому классу ставится е соответствие некоторый индивид этого класса"; ио он тотчас же добавляет, что такое рассуждение в его глазах недопустимо (Магд.
Алл., т. [38] (1890), стр. 210). В 1902 г. Леви (В. Иет1) заметил, что то же рассуждение было неявно использовано Бернштейном в одном доказательстве теории кардинальных чисел (7за ЕотЬагаа Ясг'. Т.е(Е, Кепгг. (2), т. [8] (1902), стр. 863). несчетную бесконечность выборов, что непостижимо для интуиции. Но Адамар и Лебег замечают, что счетная бесконечность последовательных произвольных выборов не более поддается интуиции, поскольку она предполагает бесконечное число операций, а это невозможно представить себе действительно осуществленным. Лля Лебега, расширившего спор, все сводится к тому, чтобы узнать, что понимается под словами: математический объект „существует', ему нужно, чтобы явно „назвали" свойство, определяющее этот объект однозначным образом („ функциональное" свойство, сказали бы мы); что касается функции, вроде той, которая служит Цермело в его рассуждении,— это то, что Лебег называл „законом" выбора; если, — продолжал он,— это требование не выполнено и мы ограничимся тем, что будем ,думать" об этой функции вместо того, чтобы ее „называть', можем ли мы быть уверены, что на протяжении рассуждения мы думаем об одной и той же ([6], стр.
267)? Впрочем. Зто приводит Лебега к новым сомнениям; уже вопрос о выборе какого-нибудь единственного элемента в множестве кажется ему вызывающим трудности: нужно быть уверенным, что такой элемент „существует", т. е. что можно „назвать" по крайней мере один из элементов множества'). Можно ли тогда говорить о „существовании' какого-нибудь множества, не каждый элемент которого мы можем „назвать"? Уже Бэр без колебаний отрицал „существование" множества частей заданного бесконечного множества (1ос.
с(1., стр. 263 — 264); напрасно Адамар заметил, что этн требования ведут к отказу даже от того, чтобы говорить о множестве действительных чисел: именно к этому заключению в конце концов присоединился Борель, Не считая того факта, что счетное, по-видимому, приобретает право гражданства, мы почти возвращаемся к классической позиции противников „актуальной бесконечности". Все эти возражения были не слишком систематичны; Брауэру и его школе было предназначено предпринять полное преобразование математики, основанное на похожих, но гораздо более оадикальных принципах. Мы пе можем здесь даже кратко излагать такое сложное учение, как интуиционизм, столь же относящееся к психологии, сколь и к математике, и мы ограничимся указанием на некоторые из самых поразительных его черт, отсылая за подробностями к ') Так называемый „выбор элемента в множестве не имеет иа самом деле ничего общего с аксиомой выбора; речь идет просто о манере выражаться, и всюду, где ей следуют, з действительности только используют метод вспомогательной константы (гл.
1, 6 3, п*3), опирающийся лишь на самые элементарные логические правила (куда не входит знак т). Разумеется, применение этого негода к множеству А требует, чтобы было доказано, что А ~ РИ именно к этому пункту обращена аргументация Лебега, так как такое доказательство приемлемо для него только в том случае, если именно .назван' какой-нибудь элемент. Например, Лебег не считал законным рассуждение Кантора, доказывающее существование трансцендентных чисел; это существование доказано для него только потому, что возчожно .назвать трансцендентные числа, такие, как числа Лиувилля, нли числа е илн и.
МЕТАМАТЕМАТИКА ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК 34О 341 работам самого Брауэра [6] и к изложению Гейтинга ]13]. Для Брауэра математика совпадает с „точной" частью нашего мышления, основанной на первоначальной интуиции последовательности натуральных чисел, и ее невозможно без искажений перевести в формальную систему. Впрочем, она „точна' только в сознании математиков, и все надежды придумать какое-нибудь средство сношений между ними, которое не было бы подвержено всем несовершенствам и двусмысленностям языка, несбыточны; самое большее можно надеяться вызвать у собеседника состояние духа, благоприятное для более или менее туманных описаний (]13], стр.
!1 — 13). Интуиционистская математика придает логике ненамного больше значения, чем языку: доказательство убедительно не в силу логических правил, фиксированных раз и навсегда. но по причине „непосредственной очевидности" каждого из ее авеньев. Эта „очевидность" должна, кроме того, быть истолкована еще более ограничительным образом, чем у Бореля и его сторонников: так, в интуиционистской математике нельзя сказать, что отношение вида „Я или (не Я)" истинно (закон исключенного третьего), если только мы не можем для каждой системы значений, приданных переменным, встречающимся в Я, доказать, что одно из двух высказываний Я, „не Я" истинно; например, из уравнения ад =О между двумя действительными числами нельзя заключить „а =О или 6=О", ибо легко дать явные примеры действительных чисел а, д, для которых ад=О, но в настоящее время мы не можем доказать никакое из двух высказываний а=О, 6=О (]13], стр.
21). Не удивительно, что, исходя из таких принципов, интуиционистские математики приходят к результатам, весьма отличным от классических теорем. Целый ряд этих последних исчезает, например большинство теорем „существования" в анзлизе (вроде теорем Больцано и Вейерштрасса о числовых функциях); если некоторая функция одной действительной переменной „существует' в интуиционистском смысле, она (рео у'ас(о ') непрерывна; монотонная ограниченная последовательность действительных чисел не обязательно имеет предел. С другой стороны, многие классические понятия для интуициониста распадаются на несколько различных фундаментальных понятий: так, имеется два понятия сходимости (для последовательности действительных чисел) и восемь понятий счетности.
Само собой разумеется, что трансфинитная индукция и ее применения к современному анализу (как и ббльшая часть теории Кантора) приговорены без права обжалования. Только таким способом, по Брауэру, математические высказывания могут приобрести „содержание"; формалистические рассуждения, выходящие за пределы того, что допускает интуиционизм, считаются не имеющими значения, поскольку им нельзя придать „смысл", к которому было бы применимо интуитивное понятие ,истины". Ясно, ') В силу самого факта (лат.).— Прим. ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
