Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 87
Текст из файла (страница 87)
В течение 1920 †19 годов Гильберт и его школа развивали новые методы для наступления на эти проблемы; доказав непротиворечивость частных формализмов, охватывающих некоторую часть арифметики (см. [48[, [43в]), они надеялись достичь цели и доказать не только непротиворечивость арифметики, но и непротиворечивость теории множеств, когда Гбдель, опираясь на неполноту арифметики, вывел из этого невозможность доказать при помощи ,финитных методов" Гильберта непротиворечивость любой теории 7', содержащей эту последнюю ). Теорема Геделя не полностью, однако, закрывает дверь попыткам доказательства непротиворечивости, если отказаться (хотя бы частично) от ограничений Гнльберта относительно „финитных методов".
Именно так Генцен (Оеп!Ееп) в 1936 году [14], использовав „интуитивно" трансфинитную индукцию до счетного ординального числа з (гл. 1П, Э 6, упр. 14)з), сумел доказать непротиворечивость формализованной арифметики. Степень „уверенности", которую можно приписать подобному рассуждению, конечно, менее убедительна, чем для рассуждений, удовлетворяющих первоначальным требованиям. ~) Следует четко отличать проблему разрешимости ог веры, разделяемой многочисленнымн математиками и неоднократно к с большой силой выражав'шейся, в частности, Гильбертом, веры в то, что для каждого математического высказывания наступит день, когда мы узнаем, является лн оно истинным ложным нлн неразрешимым.
Здесь мы имеем акт чистой веры, критика которого лежит зз пределами нашего обсуждения. ') В обозначениях, введенных выше, точный результат Геделя состоит в следующем. Сказать, что т непротнворечнва, означает, что в Т не существует доказательства соотношения Офо; это влечет затем для всякого выявленного целого числа Р, что (не Р [О, А (х + х), Р ]) есть теорема теории,7 Рассмотрим тогда высказывание (ьгз)((хбг[) =ф не Р[0, 4'(хФх), х[), которое мы обозначим через С; .переводя в формализованную арифметику рассуждение (воспронзведенное выше), которым метаматематически показано, что „если,T непротнворечива, то в,у' не существует доказательства дзя 3[Т[", можно установить, что С ~ (не (Эх)(Р[Т, Т, х])) есть теорема теорий Т, илн, иначе говоря, что С ~ Б[Т[ есть теорема теории 7'.
Из этого вытекает, что если т' непротнворечнва, то С яе есть шеорема теории Т, потому что при этих условиях Б[Т] не есть теорема теории т'. В этом точная формулировка теоремы Гбделя. э) Геицеи сопоставлял каждому доказательству О формализованной арифметики ординальиое число а ([)) с г;, с другой стороны, он описывал метод, который по каждому доказательству О, заканчивающемуся противоречием, дает доказательство О', также заканчивающееся противоречием и такое, что. э (О') < э(Р); теория вполне упорядоченных множеств позволяет заключить, что такого доказательства П не существует (тнп рассуждений, развивающий. классический „бееконечиын спуск" теории чисел).
ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК ЛИТЕРАТУРА Гильберта, и является, в сущности, делом личной психологии каждого математика; от этого не становится менее справедливым, что подобные „доказательства", использующие „интуитивную" трансфиннтную индукцию до заданного ординального числа, рассматривались бы как важный прогресс, если бы они были проведены, например, для теоРии действительных чисел или для содержательной части теории множеств. С другой стороны, внутри самой теории множеств возникают многочисленные проблемы „относительной" непротиворечивости, свя.занные с разнообразными „гипотезами", существующими в этой теории.
Самый замечательный результат, полученный в этом направлении, принадлежит Гбдел!о: в 1940 году он доказал, что если теория, аксиомами которой являются аксиомы системы фон Неймана — Бернайса без аксиомы выбора, непротиворечива, то непротиворечива и теория, полученная добавлением к этим аксиомам очень сильной формы аксиомы выбора (вроде той, которую дает нам употребление символа т) н обобщенной гипотезы континуума [12б]. Еще ближе к нашим дням Новак-Гал ([. Моуз)г-Оа1) показал, что непротиворечивость системы Цермело — Френкеля влечет непротиворечивость системы фон Неймана — Бернайса — Гбделя ').
ЛИТЕРАТУРА [1] Аристотель (А с!в!о!с ! ез), Тйе шогйз оу Аггзгог!е, !гапз!а!еб ипбег !Ье егП!огзЛ!р о! (Ч. О. коза, Ох!Огб, 1928 зЧФ [2] Архимед (Агой!ведез), Агсй!театз Орега Отп!а, 3 тт., изд. 1. 1.. Не!Ьегя, 2-е изд., 1913 — 1915. ,[3] Б8нер П.
(Во Ь пег Р.), МеаПеоа! !оя!с, ап оиО!ле ог"!!з аеое!ортеп! Угот 1250 го са. 1400, СЫсадо, 1952. [4] Больцано Б. (Во!капо В.), Рагааок(еп гГез (тлела!!сйел, Ее!рх!й, 1851. [Русский перевод: Бо ль цано Б., Парадоксы бесконечного, Одесса, Ма!Ьез!з, 191!.] [5] Бохенскнй (ВосЬепз1г! Л. М.), Апс!епт уогта! !оа!с, Б!игйез !и (.Оя!с, Авз!егбав (Могй Нойапб РиЫ. Со.), 1951. [6] Брауэр (В г о и жег Ь. Е. Х), а) 1п!и!Ноп!зв апд 1оппайзв, Ви!!. Атег. Маые 5ос., т.
ХХ (1913), стр. 81 — 96; б) Хит Веягбпбипй без !и!ин!оп!зизсьеп ма!Лева!!к, мань Апп., т. хСГП (1925), стр. 244 — 257; т. ХСЧ (1926), стр. 453 — 473; т. ХСЧ! (1926), стр. 451 — 458. '[7) Б ул ь Дж. (В оо1е О ), а) Тйе тагИетаВга! апа!уза оУ !ог!с, СавЬгшде — Ьопбоп, 1847 (= СоОесгеа !ой!са! шогйз, нзл.
Р. !ашба!п, СЫсадо — ).опбоп, 1916, т. 1); б) Ап глоезМЛаВоп оу гИе !ашз оу !Лоиййг, СавЬгшде — 1.опбоп, 1854 (= Со!!ее!за' !ой!са! шогйз, т. П). ') Мотай-ОЛ ! 1., А сопл!гис!!оп !ог воде!з о(сопз1з!еп! зуз!евз, рипа!агл. Ма!Л., 37 (1950), 87 — 110. [8] Бар р,, Б о рель Э,, Адам ар )К., Л сбег А. (В а !ге й., Воге( Е„ Н а д а в а г б 2., 1. е Ь е з я и е Н.), С!пя Ьепгез зиг 1а !Ьйог!е без епзевЫез, Ви!!. Зос. Ма!Л. ае Ргапсе, т.
ХХХ1П (1905), стр. 261 — 273. [9] Галилей Г. (Оз!!1е! Оа!!)ео), Ореге, К!з!авра бейа Егйх1опе Ма!!опз!е, 20 тт., Р!генке (ВагЬага), 1929 — 1939. [10] Ганкель Г. (Напйе! Н.), ТИеоже ггег сотр!екеп Хай!впзузтете, Ье!рх!я (Чозз), 1867. [Русский перевод: Ганк ель Г., Теория комплексных числовых систем, преимущественно обыкновенных мнимых чисел и кватернионов Гамильтона, вместе с их геометрическим толкованием, Казань 1912.] [11] Гаусс К. Ф.
(Оаизз С. Р.), йгегйе, 12 тт., ООН!преп, 1870 — 1927. [12] Гбдель К. (Об де! К.), а) ОЬег !огва! ипеп!зсйеМЬаге Баске бег Рг!пс!р!а марьеваиса ипб тегчгапб!ег Буз!еве, мопаыи. улг ма!И. и. РЛуз„т. ХХХЧП! (1931), стр. 173 — 198; б) Тйе сопл!з!епсу оу !Ле ак!от оУ сИо!се ала! оУ !Ле делега!!кей сап!!пиит йуро!Иез!я, Апп.
о! Ма!Ь. Я!иб!ез, и'3, Рг!псе!оп, 1940. [Русский перевод: Г Еде ль К., Совместимость аксиомы выбора н обобщенной контннуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, УМН, 3, РЛ 1 (1948), стр. 96-149.] [13] Ге йтннг А. (Неу!!пя А.), МагЛетаВзгйе Огипг(!айепуогзсйипХ. !пги!г(ол(зтиз. Веше!зтйеог(е, Егя.
бег Ма!Ь., т. 3, Вегпп (Ярг!пяег), 1934. [Русский перевод: Г ей т ни г А., Обзор исследований по основаниям математики. Интунционнзм — теория доказательства, М. — Л., ОНТИ, 1936.] [14] Гент цен Г. (О ел ! х ел О.), О!е йейепшагт!йе Е.аае т аег тагИетаВтсиеп Огипй!айелуогзсйипй. )Чеие Разлапа аез йг7гтегзргисйзугегйеИзйетее!зез уйг ЕВе ге!пе Хай!епгйеог!е, Рогзсйипяеп хиг Еодпс..., Не!! 4, Ье!рх!я (Н!гхе!), 1938.
[15] Гильберт Д. (Н!1Ьег! ()), Огипй!айеп гГег Оеоте!г!е, 7е изд., [.е!Рх!я — Вегйп (ТеиЬпег), 1930. [Русский перевод этого издания: Гиль берт Д., Основания геометрии, М.— Л., Гостехнздат, 1948.] [15а] ОезаттеИе Азйапгт!ипйеп, т. 1П, Вегйп (Брг!пяег), 1935. [16] Гильберт Д., Аккерман В.
(Н!!Ьег! П., Ас1сегвапп (Ч), Огипйкййе лег гИеогемзсйеп Лоя!Л, З.е изд., Вегйп (Ярг!пяег), 1949. [Русский перевод второго издания: Г ил ь берт Д. и А к керм а н В., Основы теоретической логики, М., ИЛ, 1947.] [17] Грасс м ан Г, (О!авва а п и Н.), ОезаттеИе йхегйе, 6 тт., Ье!рт!я (ТеиЬпег), 1894. [18] Да лам бер (П'А! ев Ь е г!), Епсус!орет!!е, Раг!з, !751 — 1765, статьи .Мейан!*, „1взя!па!ге*, „()е!!пн!оп'. [19] дедекинд Р. (Падей!пб В.), ОезаттеВе тагИетайгсие кегле, 3 тт., Вгаипзсйше!я (Ч!етгея), 1932.
На русском языке имеются: а) Непрерывность н иррациональные числа, перевод с немецкого, Одесса, Ма!Ьемз, 1923. б) Что такое числа и для чего оии служат) перевод с немецкого, Казань, 1905. зя ЛИТЕРАТУРА ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК [20] Декарт Р. (Певсаг се в К.), Оеиогея, изд. СЬ. Айат е! Р. Таппегу.
11 тт., Раг!в (Ь. Сег1), 1897 — 1909). На русском языке имеется рвд сочинений Декарта, в том числе .Рассуждения о методе" с приложением,Диоптрика*, .Метеоры, „Геометрия', М., АН СССР, 1953. [21] Жирар А. (О !г агй А.), !лоелВол лоиое!!в вл ГА!Кебге.
1629 (новое изд. В!егепв йе Наап, 1884), [22] К ан тор Г. (С а и ! о г О.), беяаттеИз Абйалй!илеса, Вег!!п (ЗРПпйег), 1932. [23] Кантор Г., Деде к инд Р. (Сап!от О., П ей ей 1пй й), Вг!егвесйяе1, изд. 1.Сачай!ев — Е. Мое!Ьег, Асгиа!. Ес!епй з! 7лй., п'518, Раг!в (Негвапп), 1937. [24] К лини С. (К1е е не Б.), 7лггойисбол го тегатагйвтаВся, Метч уог1с, 1952. [Русский перевод: К л и н и С. К., Введение в метаматематику, М., ИЛ, 1957.] [25] Куратовский К.
(К ига!очгвй! К.), ()пе вМЬойе й'ейпнпаиоп йев повЬгев !гапвйпы йев га!воппевеп!в ва!Ьева!!Чцев, рилй. МаИ., Ч (1922), стр. 76 — 108. [26] Кутюра Л. (Сои ! иг а ! 1..), Еа !ойиуие йя Ее!Ли!х й'аргдя йея йосителбя !лсйВя, Рапв (А!сап), 1901. [27] Лейб ниц Г. (Ь е! Ь п ! в О. !Ч.), а) Ма!Икта!!кейз Бсйг!!тел, изд. С. !. ОегЬагй1, 7 тт., Вег!!п — На!)е (АзЬег — Зсйв1й!), 1849 — 1863; б) РМ!ояорИ!ясйе Зсйггггел, изд, С.
1. ОегйагйЬ 7 тт., ВегИп, 1840 — 1890; в) брияси!ея е! Тгадтел!я !лей!!я, изд Е. Соц!сна!, Рагж (А1сап), 1903. [28] Лоб ачев с к ий Н. (Ьо Ьа1зс Ьеч зйу М), Ралйеотеы!е, Оз!жа)йв К!авз!Кег, п'130, 1е!Рх!д (Епяе!вапп), 1902. [Русский оригинал: Л о б ач ев с к и й Н., Пангеометрия, см. в книге Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. 3, М.— Л., Гостехиздат, 1951, стр. 435 524.] [29] Манро лико Д. (Манго!ус ! О.
Р гап с 1 в с!), Аббайя Меяяаляля!я, МагИеглаВс! Се!еЬегг!тй АгыйтеВсогит Е!бгг' Оио, Уепие, 1575. [30] Мор г а н А. (й е М от й а п А), а) Оп !Ье ву!1ой!зв (!11), Тгаля. Сатб. РИИ. Еос., т. Х (1858), стр, 173 — 230; б) Оп !Ье вуВод!зв (!Ч) апй оп !Ье!Оя!с о( ге1аыопв, Тгаля Сатб. Рйй!. Кос., т. Х (1860), стр. 331 — 358. [31] Н ей г е б а у в р О. (М е ц не Ь а и е г О.), Чог!еяилдел йЬег аТе беясМ- сМе лег алййел Ма(Икта!й, т. !. Уогдг!евсЫвсйе Ма!Ьевв!!Ь, Вегнп (Брг!пеег), 1934.
[Русский перевод: Нейгебаувр Отто, Лекции по истории античных математических наук, т. 1. Догреческая математика, М. — Л., ОНТИ, 1937.] [32] Нейман Дж. (ч оп Ме! в а пи 1.), а) Е1пе Ах!Свана!егцпя йег Мепяеп!епге, Л йе Сгейе, т. С1.!Ч (1925), стр. 219 — 240; б) Р!е Ах1овабз!егцпн йег Мепнеп! ейге, МаИ. Ея!!ясйг., т. ХХЧ!! (1928), стр. 669 — 752; в) Еиг НВЬегъвсйеп Ветче!в!Ьеопе, Маги. Ее!!ясйг., т. ХХЧ1 (1927), стр. 1 — 46.
[33] Паскаль Б. (Рааса! В.), Оеиогея, изд. Вгцпвсйч!сн, 14 тт., Раг!в (Насйене), 1904 — 1914. [34] П а ш М., Де н М. (Раас Ь М., П е Ь и М.), Ъгог!еяилйел йбег леиеге бяотетг!е, 2-е изд., Вег!!п (Ярг!пнет), 1926. [35] П евно Дж. (Р сап о О.), а) АгВИте!!сая рг!лс!р!а, попо теИойо ехроз!га, Тцг1п, 1889; б) ! рг!лс!ри' й! беотегг!а, !ой!савел!я еярая!й, Тш!п, 1889; в) рогти!а!ге ае Ма!Лета!!Еиея, 5 тт., Тцг!п, 1895— 1905. [36] П и р с К. (Р е ! г с е С. Б), а) ()реп Гйе!оя!с о1 ва!Ьева!!сз, Ргос. Атег. Асей. Агев алй Яс!., т. ЧП (1865 — 1868), стр, 402 — 412; б) Оп !Ье а(йеЬга о1 1ое!с, Атег.
!литл. о! МаИ., т. 1П (1880), стр. 49 — 57; в) Оп Гйе а1неЬга о! !Оя!с, Атяг, !лиги, о! МаИ., т. ЪЛ! (1884), стр, 190 — 202. [37] Пуанкаре А. (Ро ! по агй Н.), а) Зс!елее е! ИуроИеяе, Рагы (Р!авваг!оп), 1906 [русский перевод: Пуанкаре Анри, Наука и гипотеза, Спб., 1906]; б) Еа оа!еиг йе!а Ес!ялте, Раг!з (Р(агпваг!оп), 1905 [русский перевод: Пуанкаре Анри, 11енность науки, М., 1906]; в) Зс!елее е! те!Лойе, Раг!в (Р1апнпаг!оп), 1920 [русский перевод по над. 1908 гс П у а ни аре А., Наука и метод, Спб., 1910], [38] Рассел Б., Уайтхед А. (Князе)1 В., ЪЧЬ!!ейеай А. М), Ргторга МаИетаВса, 3 тт., СагпЬгМде, 1910 — 1913.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
