Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Заметим, что Е и И являются дополнениями одно для другого. 9. Пусть а — определенный элемент множества Е; некоторые свойства истинны только для одного элемента а, например х = а; любые два таких свопства эквивалентны; определяемую ими часть обозначают 1а] и называют частью, сводящейся и единственному элементу а, или состоящей из единственного элемента а. 10. Множеством Гвсех) частей множества Е назывзют и через ф(Е) обозначают множество, элементами которого являются все чисти 23э 11 — 14 5 1. ЭЛЕМЕНТЫ И ЧАСТИ МНОЖЕСТВА СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ С(СХ) =Х, Хцх=Х, ХПХ=Х; ХЦ(СХ)=Е, Хй(СХ)=И; ХЦИ=Х, ХПЕ=Х; ХЦЕ=Е, ХП И=И. (1) (2) (3) (4) (5) множества Е.
Имеем И~ф(Е), Е~ф(Е) и, каков бы ни был х~Е, (х( ~ф(Е). Если х обозначает общий элемент множества Е, а Х— общий элемент множества 14е(Е), соотношение „х ~х" между х и Х называют соотношением принадлежности. 11. Пусть х и у — два элемента из Е, Х вЂ” обший элемент множества 4е(Е); соотношение равенства „х=у" екеиеалекл1но соотношению „для всякого Х, такого, что х~х, имеет место у~х". 12. Пусть Х. У вЂ” две части множества Е; если свойство х~х влечет свойство х~У, инымн словами, если каждый элемент из Х принадлежит также к У, говорят, что Х содержится е У, или что У содержит Х, или что Х есть часть множества У„это соотношение между Х и У называется соотношением включения (множества Х в У) и обозначается „Хсу" или „Улх"; его отрицание обозначается „Х фУ" или „У Азх".
Какова бы ни была часть Х множества Е, имеем ИсХ н ХсЕ. Соотношение принадлежности „х~х" эквивалентно „(х(1=Х". Соотношение „Хсу и Усг" влечет „Хсг', Соотношение „ХсУ" не исключает возможности „Х =У"; соотношение „ХсУ и У1=Х" эквивалентно „Х=У". 13. Пусть Х и У вЂ” две произвольные части множества Е; множество элементов, обладающих свойством „х~х или х ~У", обозначается Х ЦУ и называется объединением множеств Х и У; множество элементов, обладающих свойством „х~х и х~У", обозначается Х й У и называется пересечением множеств Х и У. Аналогично определяют объединение и пересечение нескольких частей множества Е. Если х, у, е †т элемента из Е, объединение (х( Ц (у( Ц (е( обозначается также [х, у, е].
Так же для любого числа (индивидуально поименованных) элементов. Пусть Х и У вЂ” две части множества Е; смотря по тому, имеет ли место Х й У Ф И или Х й У = И, говорят, что Х и У пересекаются или пе пересекаются. 14. В формулировке следующих предложений Х, У, г обозначают произвольные части одного и того же множества Е. а) И= СЕ, В=СИ. б) Каково бы ни было Х, в) Каковы бы ни были Х и У, ХЦУ=УЦХ, ХПУ=УПХ (коммутативность). (6) -Х1=ХЦУ. ХПУсХ; (у) С(Х Ц У) = (СХ) й (СУ), С (Х й У) = (СХ) Ц (СУ).
(8) г) Соотношения Х=У, СХ=зСУ, ХцУ=У, ХПУ=Х зкеиеалектны, д) Соотношения Х й У= И, ХсСУ, УсСХ акеиеалептны. е) Соотношения ХЦУ=Е; СХсУ, СУсХ эквивалентны, ж) Каковы бы ни были Х, У, г, х ц (у ц г) = (х ц У) ц г = х ц у ц г, Хй(У йг)=(ХПУ) йг=ХПУ йг (ассоциативность); х ц (у й г) = (х ц у) й (х ц г) Х й (У Ц г) = (Х й У) Ц (Х й г) (дистрибутив ность). (9) (10) з) Соотношение ХсУ влечет соотношения хцгсУцг и хйг =Уйг.
и) Соотношение,гсх и гсУ" эквивалентно соотношению гсХПУ; соотношение „Хсг и Усг' эквивалентно соотношению „ХЦУсг. 15. На основании тождеств (8), если некоторая часть А множества Е получается из других частей Х, У, г множества Е применением, не важно в каком порядке, одних только операций С, Ц, то дополнение СА получается заменой частей Х, У, г их дополнениями и операций Ц, й на й, 0 соответственно, причем порядок операций сохраняется; это — правило двойственности. Пусть дано равенство А=В частей указанного вида; рассмотрим эквивалентное равенство СА = СВ; если СА и СВ заменить выражениями, получающимися применением правила двойственности, а затем в полученных выражениях заменить СХ, СУ, Сг на Х, У, г и обратно„получим равенство, называемое двойственным к А = В; аналогично можно оперировать с соотношением включения А1=В, не забывая только заменить знак „1=' на „">".
Тождества, записанные выше под одним и тем же номером, двойственны друг другу. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ !6. В некоторых вопросах рассматривают определенную часть А множества Е; пусть Х вЂ” любая другая часть множества Е; назовем тогда следом (от) множества Х на А множество АПХ, которое часто обозначается также ХА и в этом случае рассматривается всегда как часть множества А. Каковы бы ни были части Х, 2' множества Е. (ХНУ)А=ХАОУА, (ХПУ)А=ХАПУА САХА = (СЕХ)А (где СеХ обозначает дополнение множества Х, взятое относительно Е, а САХА — дополнение множества ХА взятое относительно А).
Если $ обозначает некоторое множество подмножеств множества Е, назовем аналогично следом (от) множества $ на А множество $А следов множеств из $ на А. В 2. функции 1. Пусть Е и Р— два множества, не обязательно различных. Соотношение между переменной х из Е и переменной у из Р называется соотношением, функциональным по у, если для любого х ~Е существует и единствен элемент у из Р, находящийся с х в рассматриваемом соотношении. Операцию, сопоставляющую таким способом всякому элементу х ~ Е элемент у ~ Р, находящийся с х в данном соотношении, называют функцией; говорят, что у есть значение функции для элемента х и что функция определяется рассматриваемым функциональным соотношением. Два эквивалентных функциональных соотношения определяют одну и ту же функцию. Говорят, что такая функция „принимает свои значения в Р" и что она „определена на Е", или также, что это „функция аргумента (или переменной), пробегающего Е"; более коротко говорят также, что это отображение множества Е а Р.
2. Отображения множества Е в множество Р являются элементами нового множества — множества отображений множества Е э Р. Если у — произвольный элемент этого множества, через у(х) часто обозначают значение функции у для элемента х из Е; в некоторых случаях предпочитают употреблять обозначение у„, называемое индексным обозначением (множество Е называется тогда множеством индексов). Соотношение „у=у(х)" есть функциональное по у соотношение, определяющее у. Если соотношение вида у=(х) (где (х) обозначает комбинацию знаков, в которой, быть может, фигурирует х) есть функциональное соотиошение по у, функцию, им определенную, обозначают также х -+ (х) а к Функции иаи даже прас~о (х) — весьма часто встречающаяся вольиость обозначений.
Например, если Х и У вЂ” две общие части множества Е, соотношение У = бХ функционально по У; отображение множества 2(г (Е) в 1Гг(Е), им определенное, обозначают через Х-ьСХ иаи просто ОХ. Выест~ того чтобы сказать. пусть У вЂ” отображение множества Е в Р, часто говорят проще: „пусть У: Е-+Р". Чтобы описать ситуацию,в которой фигурирует несколько отображений, употребляют также диаграммы, подобиые такой я~,и 'ъ А — + — ьЕ !ч !а т т Вч — Р где буква иад стрелкой обозначает отображение множества, стоящего у начала'этой стрелки, в множество, стоящее у ее конца.
Соотношение равенства „~' = А" между отображениями множества Е в Р эквивалентно соотношению „каково бы ни было хцЕ, у (х) = й (х) ". 3. функция, определенная в множестве Е и принимающая одно и то же значение а для всякого элемента х из Е, называется постоянной в Е; она определена функциональным соотношением у = а. Отображение множества Е в Е, ставящее в соответствие каждому элементу х из Е сам этот элемент, называется тождественным отображением; оно определеио функциональным соотношением у = х. Пусть А — произвольная часть множества Е; отображение множества А в Е, которое каждому элементу х из А ставит в соответствие х, рассматриваемый как элемент множества Е, называется каноническим отображением множества А в Е. Пусть г" — отображение множества Е в себя: элемент хцЕ навывается икаариакткым (или неподвижным) для (или относительно, нли при) /', если у(х)=х.
Говорят, что х инвариантек (неподаижек) относительно (для, при) некоторого множества отображений множества Е в Е, если он инвариантен относительно каждого из них. 4. Пусть у — отображение множества Е в Р и Х вЂ” какая-либо часть множества Е. Образом множества Х при (или относительно, или по) у или, иначе, мкожеством значений, принимаемых отображением г' на Х, называется часть Х множества Р, образованная теми элементами у, которые обладают свойством: ,существует х СЕ, такое, что хцХ и у =у(х)'.
Этим определены соотношение между Х и 2', функциональное по 2", и, следовательно, отображение множества 4э(Е) в ф(Р), называемое распространением отображения у" ка множества подмножеств; допуская вольность речи. его обозначают снова у н пишут 2'= Г'(Х). СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ $2, ФУНКЦИИ 361 Каковы бы ни были у' и х, у(И)=И и у(]х))=]у(х)], Допуская вольность речи, значение г" (х) отображения у' для х называют также образом элемента х согласно Г.
Если у — общий элемент множества Р, свойство „у~у'(Е)' выражают также, говоря, что „у имеет вид у'(х)". Допуская вольность речи, образ Г (Е) множества Е относительно у' называют иногда образом отображения Г. Если г(Е)=Р. т. е. если для любого уЕР существует х~Е. такое, что у= Г (х), говорят, что г' есть отображение множества Е ка Р. Говорят также, что Г есть сюръектиеяое отображение или сюръекция. Пусть х — произвольный элемент и Х вЂ” произвольная часть множества Е, Вместо того чтобы говорить, что г'(х) есть значение отображения Г для х, а Г(Х) — образ множества Х согласно у', говорят иногда, что у преобразует х в Г(х) и Х в у (Х); Г(х) и Г(Х) называются тогда трансформатами по (относительно, при) Г от х и Х соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
