Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Этот язык особенно употребителен, когда Г есть отображение множества Е яа Р; в этом случае говорят также, что Г есть преобразование множества Е е Р. Если У вЂ” отображение множества Е в себя, часть Х множества Е называют устобчивоб относительно г", если Г'(Х)с=Х. Говорят, что Х устойчиво относительно некоторого множества отображений множества Е в Е, если Х устойчиво относительно каждого из этих отображений. 5. Пусть у †отображен множества Е в Р; имеют место следующие предложения, где Х и У обозначают произвольные части множества Е: а) Соотношение Хс=У влечет соотношение Г(Х)с=Г(У).
б) Свойство Х + И эквивалентно свойству Г(Х) Ф И. в) Каковы бы ни были Х, У. ~ (Х () У) = у' (Х) 0 г" (У), (!1) У(ХПУ) =У(Х)ПУ(У). (! 2) 6. Пусть г" — отображение множества Е в Р, а У вЂ” произвольная часть множества Р. Полным прообразом множества У относительно (при, по) г" называется часть Х множества Е, образованная теми элементами х, которые обладают свойством у(х) ЕУ. Этим определены соотношение между Х и У, функциональное по Х, и тем самым отображение множества 14з(Р) и !4з(Е), называемое обратным распространением отображения Г" на множества — 1 — 1 частей и обозначаемое у; таким образом. пишут Х = у(У). У(Х О У) = У(Х) () У(У), у (Х П У) = г' (Х) П г (У), У(ЕХ) = Сг (Х).
(13) (14) (15) Отметим различие между формулами (12) и (14); (14) ие будет — 1 истинной для произвольных Х и У, если в ней У заменить произвольным отображением множества Р в Е. Аналогично и соотношение (15) ие имеет аиалогз для распространения произвольного отображения. — 1 Кроме того, г'(И)=И; но здесь н для непустого подмножества Х вЂ” 1 множества Р может иметь место Г(Х) = И; для того чтобы Х + И -1 влекло г" (Х) Ф И. необходимо и достаточно, чтобы у было отображением множества Е яа Р.
8. Если отображение Г" множества Е в Р таково, что для всякого у~Р существует яе более одного х~Е, для которого г" (х)=у -1 (иначе говоря, г" (]у]) либо пусто, либо сводится к единственному элементу), Г' называется взаимно однозначным отображением множества Е е множество Р, или инъектиекым отображением, или икъекциеб. В этом случае, каковы бы ни были части Х, У множества Е, ,Г(ХП У) =У(Х) П Г(У). (16) 9. Если отображение Г множества Е в Р таково, что для всякого у ~Р существует и единственно хЕ Р, для которого У'(х)=у — 1 (иначе говоря, у(]у]) сводится к единственному элементу), у назы- -1 В частности, если у — элемент множества Р, у (]у]) будет множеством -1 тех х ~ Е, для которых у(х) = у; соотношения „)(х) = у" и „х ~у(]у])" -1 эквивалентны.
Допуская вольность речи, вместо у (]у]) пишут — 1 также г'(у). След ХА (от) части Х множества Е на определенной части А есть не что иное, как полный прообраз множества Х согласно каноническому отображению множества А в Е (п' 3). 7. Пусть у — отображение множества Е в Р; имеют место следующие предложения, где Х н У обозначают произвольные части множества Р: -1 -1 а) Соотношение Х~У влечет )'(Х)с=)'(У). б) Каковы бы ни были Х, У, сводкл яеззльтлтов ю % з. скнкцнн г! вается взаимно однозначным отображением множества Е на множество Р, или биективным отображением, или биекцией.
Такое отображение можно охарактеризовать как отображение, являющееся одновременно отображением Е на Р и взаимно однозначным отображением Е в Р. Если г' — взаимно однозначное отображение множества Е на Р. соотношение у= г" (х) не только функционально по у, но также функционально яо х. Как функциональное по х соотношение, оно определяет взаимно однозначное отображение множества Р на Е, называемое отображением, обратным к у.
Заметим, что рагаространение отображения, обратного к у, совпадает с обратным расиространением отображения У. Пусть а — отображение, обратное к г'; соотношения „у =у (х)' и „х=л(у)' эквивалентны; отображение, обратное к л, есть г'. Если !" — взаимно однозначное отображение множества Е на Р, то не только имеет место соотношение (16), но также для любой части Х множества Е У(СХ) = Су (Х). Кроме того, распространение отображения у' является взаимно однозначным отображением множества г(з(Е) на ф(Р). Говорят, что взаимно однозначное отображение множества Е на Р и обратное к нему отображение осуществляют (илн реализуют) взаимно однозначное соответствие между Е и Р или что Е и Р приводятся или ставятся этими отображениями во взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное отображение множества Е на себя называется перестановкой множества Е; тождественное отображение есть перестановка.
Если некоторая перестановка совпадает с обратным к ней отображением, она называется инволютизноб; такой является, например, отображение Х вЂ” «СХ множества г1з(Е) на себя. 10. В нижеследующих предложениях Х обозначает произвольную часть множества Е, а У вЂ” произвольную часть множества Р: а) Если у' — отображение множества Е з Р, то .У'(У) = У'(У П.У(Е». -! Хе= У(У(Х)), (18) — ! у(у(»~ . (19) -! б) Свойства „каково бы ни было У, у(г(У»=У" и „У есть отображение множества Е на Р" эквивалентны. — ! в) Свойства „каково бы ии было Х, у(г(Х»=Х" и „у есть взаимно однозначное отображение множества Е з Р" эквивалентны.
-! г) Свойства „каковы бы ни были Х н У, у(у(Х) ) = Х и — 1 у(г(У))=У" и „у есть взаимно однозначное отображение множества Е на Р" эквивалентны. 11. Пусть Е, Р, С вЂ” три множества, не обязательно различных; пусть У вЂ” отображение множества Е в множество Р, а а — отображение множества Р в множество С. Отображение множества Е в множество С, значением которого на любом элементе х из Е является 8 (У(х», называется (составным) отображением, составленным (или скомланозанным) изл' и г [или(сложной) функцией, составленной (скомпановаиной) из а и у), или композицией отображений а и г'!) и обозначается аоу' или даже — когда это не приводит к двусмысленности — просто бу.
Равенство й=л ог" называется факторизацией отображения й. Заметки, что если С отличио от Е, нельзя говорить о композиции отображений У и л и запись Уоб ие имеет никакого смысла; если О совпадает с Е, то рой и йоу являются элементами одного и того же множества лишь в том случае, когда Р также совпадает с Е; и даже в этом случае, вообще говоря, уол ~ лоу; таким образом, лорядок, в котором компонируются отображения У и л, существен. Пусть гр — отображение, составленное из а и у, Х вЂ” произвольная часть множества Е, а Š— произвольное подмножество множества С; тогда р(х) =д(у(х», (20) (21) <р (Х) = У(б (Е» Если у — взаимно однозначное отображение множества Е на Р и е.— взаимно однозначное отображение множества Р на С, то й о у — взаимно однозначное отображение множества Е на С. Пусть й — отображение множества С в множество Н; тогда Н о (~ о р) = (й о д') о у; ') В подлиииике: „з'арре1е раррнсанол сотрозге бе л е! у (ои (опспоп сошрозее де л е! у) .
В приложении к русскому изданию первых глав .Общей топологии Н. Бурбаки (М., 1958) эта фраза переводится так; .называется гулерлозицией или композицией отображений У и л, или также с.гожной функцией, составленной из у и й'. разумеется, порядок, в котором перечисляются компоиируемые отображения в слозесном определении композиции лоу, существен.
В настоящем переводе этот порядок оставлен таким же, как во французском оригинале (в частности, как в оиределеиии у из гл. 11, 5 3, п'3); ои совпадает также с порядком, указанным в статье ,Композиция' во 2-м издании Большой советской энциклопедии. Читателю, однако, иеобходимо иметь в виду, что этот порядок расхолится с порядком упоминания компоиируемых отображений, принятым в уже вышедших русских переводах книг и глав трактата Бурбаки [в качестве примера можно привести текст определения 2 иа стр. 18 русского издания первых глав ° Алгебры* (Мо !962)1.
— Прим. ред. 1 4 Э. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖЕСТВ Збб 1Š— 14 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ это отображение множества Е в Н обозначается также й и е. оу; про него говорят. что оно составлено (скомпоновано) из трех отображений й, й, у (взятых в этом порядке) или что оно есть композиция отображений й, и, у (взятых в этом порядке' )). Аналогично определяют композицию большего числа отображений (см. „Алгебра", гл. 1). Если У вЂ” отображение множества Е в себя. итерациями отображения у называют отображения У" (п — целое, п)~ 1) множества Е в себя, определенные с помощью индукции по и соотношениями у~=у, у"=у" чу; отображение у'" называют п-й итерацией отображения У. Имеем у~+"=у -1 12. Вообще говоря.
композиция у оу обратного распространения и распространения отображения у не является тождественным ото-! бражением множества 1цз(Е) на себя; аналогично и у пу не является в общем случае тождественным отображением множества цз (Р) на себя. Одновременно эти два свойства имеют место только тогда, когда у — взаимно однозначное отображение множества Е на Р. Пусть в этом случае я обозначает отображение, обратное к у'; тогда. кроме того, композиции йпу и упй являются тождественными отображениями соответственно множества Е на себя и множества Р на себя.
Обратно, если У вЂ отображен множества Е в Р и и — отображение множества Р в Е, такие. что и к у является перестановкой множества Е, а У пя является перестановкой множества Р, то У— взаимно однозначное отображение множества Е на Р, а и — взаимно однозначное отображение множества Р на Е. Если, кроме того. з пу — тождественное отображение множества Е на Е, то й является отображением, обратным к у'. 13. Пусть у — отображение множества Е в Р и А — произвольная часть множества Е; отображение уа -) множества А в Р, значением которого на любом элементе х из А является у (х).
называется сужением отображения у на часть А; уА есть не что иное, как композиция отображения у' и канонического отображения множества А в Е. Если два отображения у, и множества Е в Р имеют одинаковое сужение на А, говорят также, что они совпадают на А. Обратно, у' называют продолжением отображения ул на Е. 14. Отображение множества Е на множество Р называют еще параметрическим представлением множества Р посредством ') В подлиннике: „ое ЙИ ци'е1!е ез! сотрете йез 1го!з аррйсацопз д„й, у рг!зез бааз се! огйге"," в приложении к русскому изданию первых глав .Общей топологии' эта фраза переведена так:,это отображение ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
