Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 91
Текст из файла (страница 91)
называют супер- позицией трех отображений У, й, Д (взятых в этом порядке)", см. предыдущее полстрочиое примечание.— Прим. ред. 1) В гл. П, Ц 3, п' 5 это отображение обозначено через У/А.— Прим. ред. множества или через множество Е; тогда Е называется множе ° стзом параметроа этого представления, а его элементы — параметрами.
Семейство элементов множества Р есть, по определению, часть множества Р, наделенная параметрическим представлением; другими словами, задание семейства элементов из Р равнозначно заданию отображения какого-нибудь множества Е в Р. Образ множества Е при этом отображении называется множесгивом элементов семейства; заметим, что два различных семейства элементов Г могут иметь множеством своих элементов одну и ту же часть множества Р. Любой части А множества Р всегда можно поставить в соответствие семейство элементов, множеством элементов которого является А; для этого достаточно рассмотреть семейство, определенное каноническим отображением множества А в Г. Если семейство элементов множества Р определено отображением 1 — ьх, множества 1 в Р, его обозначают (х,),~1 или просто (х,), если невозможна неясность относительно множества индексов.
Если з — подмножество множества 1, семейство (х ) нааывается «йз подсемейством семейства (х,),г!. соответствующим множеству Я; оно определяется сужением отображения 1-~х, на з. 9 3. Произведение несколькнх множеств 1. Пусть Е и à — два множества, не обязательно различных. Пары (х, у), в которых первый элемент х есть произвольный элемент множества Е, а Второй у — произвольный элемент множества Р, являются элементами нового множества, называемого произведением множества Е на множество Р и обозначаемого Е Х Р; множества Е и Р называются множителями или сомножителями множества Е Х Р.
Две пары считаются тождественными только в том случае, если у них одни и те же первые элементы и одни и те же вторые элементы; иначе говоря, соотношение „(х, у) =(х', у')' эквивалентно соотношению „х=х' и у=у". Если я — произвольный элемент множества Е Х Р, соотношение „х есть первый элемент пары г' есть функциональное соотношение по х; оно определяет отображение множества Е )4', Р на Е, называемое первой ноординатой или первой проекцией ') и обозначаемое рг,; вместо того чтобы сказать „х есть первый элемент пары х", говорят также ,х есть первая координата пары я", „х есть первая проекция ') Читатель заметит здесь расхождение с терминологией гл. 11, в которой это отображение было названо первой координатной функцией (ф 3, п'6), а первой координатой или первой проекцией пары з из множества Е)< Р называлось значение этого отображения для лары з (ф 2, и'1).
Аналогично для второй координаты, второй проекции и распространения функций рг, и рга на миоксества частей (см. ниже).— Прим. ред. $ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖЕСТВ г-з СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ пары я" '), „х = рг, (я)'. Аналогично определяется вторая координата нли эторая проекция, являющаяся отображением множества Е)( Г на Г и обозначаемая через ргг. Соотношение „х = рг, (л) и у= рте(я)" эквивалентно соотношению .В=(х. у)'. Распространение функции рг, „':на множества частей обозначается в соответствии с общими соглашениями тем же символом и также называется первой проекцией (здесь термин „координата" не употребляется). Аналогично для распространения второй проекции г). 2. Соотношение К между общим элементом х множества Е и общим элементом у множества Г есть свойство пары (х, у) и, следовательно, определяет часть произведения Е)(Г, называемое графиком соотношения К; обратно, всякая часть А множества Е )( Г есть график соотношения (х, у)~ А между х и у.
Пусть А — часть множества Е и  — часть множества Г; через А)( В обозначают часть произведения Е )( Г, определенную соотношением „хц А и уц В" между х и у. 3. В следующих предложениях Х, Х' обозначают произвольные части множества Е; У, У' — произвольные части множества Г; Х вЂ” произвольную часть множества Е)( Г. а) Соотношение.„Х)(У = И" эквиеаленпгно соотношению „Х = И или У = И". б) Если Х)(У чь И, соотношение,Х)(У с= Х' (У'" экэиэалентно соотношению „Хс=Х' и Ус= У'". в) Каковы бы ни были Х, Х', У, (Х )( У) () (Х' )( У) = (Х 0 Х') у( У. (22) г) Каковы бы ни были Х, Х', У, У', (ХХУ)П(Х'ХУ')=(ХПХ') Х(УПУ').
(23) д) Каковы бы ни были Х, У, рг, (Х) = Х )( Г. ргг (У) = Е )( У. (24) е) Если У чь И, то, каково бы ни было Х, рг, (Х )( У) = Х. (25) ') В рамках введенной только что терминологии эти выражения (полностью соответствующие терминологии гл. Й, Е 2, и'1) представляют собой вольности речи: без допущения вольностей надо было бы говорить .х есть значение первой координаты (или первой проекции) для пары г'. — Прим. ред.
') Допуская вольность речи, значение так определенной проекции (яервой или второй) для какой-либо части произведения Е )( Г называют просто лрогкциеа (первой или второй) этой части (см. ниже и' 6), что совпадает с употреблением термина .проекция' з гл. П, й 3, п' 1. †Пр. ред.
ж) Каково бы ни было Е. 7, ~ рг (7) )( рг (Х). (26) з) Пусть а — элемент из Е; отображение (а, у) — ! у множества (а1)( Г на Г (т. е. сУжение фУнкции Ргг на часть (а) ')( Г) эзаилгно однозначно. 4. Отображение (х, у) -ь(у, х) (27) есть взаимно однозначное отображение множества Е Х Г на Г >(Е. называемое каноническим отображением. В случае, когда Е и Г совпадают. отображение (27) называется канонической самметриед; оно тогда инзолютивно.
Элементы (х, у) множества Е )( Е, инвариантные относительно этой симметрии, это элементы, обладающие свойством х=у; множество б этих элементов называется диагональю произведения Е)( Е. Отображение х -+(х. х) есть взаимно однозначное отображение множества Е на б, называемое диагональным отображением множества Е в Е!( Е. Если Х обозначает произвольную часть множества Е )( Г, -1 через 7 обозначается образ множества Х согласно каноническому отображению множества Ек', Г на Г)(Е. Пусть Х вЂ” произвольная часть множества Е, У вЂ” произвольная часть множества Г; тогда — 1 хху=ухх.
Если соотношение К между х и у, рассматриваемое как свойство пары (х, у), определяет часть А произведения Е)( Г, то элго жэ соотношение, рассматриваемое как свойство пары (у, х), определяет -1 часть А произведения Г!(Е; соотношение К эквивалентно каждому — 1 из соотношений (х, у)~ А, (у, х)~ А. Если Е и Г совпадают, соотношение К и соответствующая часть А называются симмелгричными, -1 коль скоро А=А.
Диагональ а (определяемая соотношением равенства) симметрична; если г. — произвольная часть множества Е)(Е, — 1 — 1 то Х 0 Х и 2 П Е симметричны. 5. Пусть А — часть множества Е и 7 — отображение множества А в множество Г; соотношение между общим элементом х множества Е и общим элементом у множества Г, выражаемое записью „х~А и у=у(х)", определяет часть произведения Е )( Г, называемую графиком функции )'. Если  — часть множества Е, содержащая А, и э' — ародол- 5 3.
ПРОНЗВЕДЕННЕ НЕСКОЛЬКИХ МНОЖЕСТВ 3 — 10 368 сВОдкА Результлтов жение (8 2, п' 13) функции у' на В, график функции )' содержатся в графике функции й. Обратно, пусть С вЂ” часть произведения Е )с, Р, такая, что для всякого х ~ Е существует не более одного у Е Р, для которого (х, у)СС; соотношение (х, у)~С между общим элементом х множества рг,(С) и общим элементом у множества Р есть функциональное соотношение по у, определяющее отображение множества рг,(С) в множество Р, графиком которого является С. Множество частей С произведения Е)с,' Р, обладающих свойством ,каков бы ни был х ~ Е, существует не более одного у Е Р, такого, что (х, у) Е С" (множество, являющееся частью множества цр(Ерс', Р)).
может быть, таким образом, поставлено во взаимно однозначное соответствие с множествам отображений произвольной части множества Е в Р. Пусть у' — инъективное отображение множества Е в Р, й — отображение, обратное к отображению у, рассматриваемому как биекция множества Е на у'(Е); если С есть график отображение 7", то — 1 график отображения К есть С. 6. Если г" — отображение множества Е в Г и С вЂ” его график в Е )( Р, соотношение „у = 7' (х)" эквивалентно соотношению „(х, у) С С"; соотношение „у ~ у (Х)" эквивалентно соотношению „существует такое х, что х ~Х и (х, у)ЕС". Пусть теперь К вЂ” произвольная часть множества Е )с', Р и Х вЂ” произвольная часть множества Е. Обозначим через К(Х) часть множества Р, образованную элементами у, удовлетворяющими соотношению „существует х.
такой, что х ЕХ и (х, у) ~ К"; таким образом, это соотношение эквивалентно соотношению .у Е К(Х)". Говорят, что отображение Х-ьК(Х) множества цв(Е) в !цв(Р) определено частью К множества Е )с', Р. Заметим, что К(Х) есть не что иное, как вторая проекция множества К П(Х)с', Р). Когда К есть график некоторого отображения 7" множества Е в Р, отображение Х-!.К(Х; совпадает с распространением отображения у' на множества частей. 7. Если х — общий элемент множества Е, то х-ьК(!х!) есть отображение множества Е в йв(Р); значение К(!х!) этого отображения (обозначаемое также, допуская вольность речи, К(х)), называется срезом части К ио х.
Соотношение (х, у) ~К эквивалентно соотношению у ~ К(х). Обратно, всякое отображение х-+Ф(х) множества Е в 4г(Р) может быть получено таким образом, ибо соотношение у ~ Ф (х) определяет некоторую часть К множества Е ус', Р и Ф(х) есть не что иное, как срез части К по х. Тем самым множество цр(Е)с', Р) и множество отображений множества Е в !4в(Р) ставятся во взаимно однозначное соответствие. К(ХОУ)=К(Х)() К(У), К(ХПУ) с К(Х) ПК(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
