Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

329). в) В этом вопросе Лейбниц находится еще под влиянием схоластов; он всегда представляет себе высказывания как устанавливающие среди понятий отношения .субъекта" к „предикату". Как только понятия будут разложены на .примитивные" (это, как иы видели, является одной из основных его идей), все сводится, по Лейбницу, к проверке соотношений .включения" при помощи того, что он называет .тождественными аксиомами" (главным образом, высказывания А = А и А ~ А), и принципа „подстановки эквивалентных' (если А=В, можно везде заменить А на  — наша схема 56 из гл.

1, 9 5) ([26], стр. 184 — 206). По этому поводу интересно заметить, Не следует, впрочем, забывать, что на языке той эпохи математика содержала многие науки, которые больше к ней не причисляются, иногда вплоть до инженерного искусства; и в доверии, которое она внушала, играл большую роль поразительный успех ее приложений к „натуральной философии", к „механическим искусствам". к навигации.

При этих взглядах аксиомы не более могут быть подвергнуты обсуждению или сомнению, чем правила рассуждения; самое большее, можно предоставить каждому, следуя его предпочтению, выбирать, рассуждать ли „в манере древних" нли давать свободную волю своей интуиции. Выбор исходной точки также есть вопрос индявидуального предпочтения и можно наблюдать появление многочисленных „изданий" Эвклида, где прочный логический остов Начал причудливо изменен; излагаются куски исчисления бесконечно малых, рациональной механики, изложение как будто дедуктивное, но база его обоснована в высшей степени плохо; и Спиноза, возможно, искренне выдавал свою Этику за доказательство на манер геометров (,шаге Ееоше1г1со дешопз(га1а" ')). Хотя в ХЧП веке трудно найти двух математиков, согласных друг с другом по какому-либо вопросу, хотя споры каждодневны, нескончаемы и язвительны, понятие истины тем не менее не обсуждается.

„Существует лишь одна истина о каждой вещи,— говорит Декарт,— и кто нашел ее, знает о ней все, что можно знать" ([20[, т. Ч[, стр. 21г)). Несмотря на то, что никакого греческого математического текста великой эпохи, посвященного этим вопросам, не сохранилось, вероятно, взгляды греческих математиков на этот предмет были гораздо более гибкими.

Только благодаря опыту правила рассуждения могли быть разработанными до такой степени, чтобы внушать полное доверие; прежде чем их можно было рассматривать стоящими выше всякого обсуждения, необходимо было пройти через много поисков и паралогизмов. Воображать, что те самые „аксиомы', которые Паскаль считал самыми очевидными (и которые он по легенде, распространявшейся его сестрой, якобы с безошибочным инстинктом, самостоятельно открыл в детстве).

не делались предметом долгих споров, значило бы также недооценивать критического духа греков, их вкуса к дискуссиям и софистике. В области, не относящейся, собственно ~оворя, к геометрии, парадоксы Элеатов сохранили для нас некоторые следы этих споров; и Архимед, когда он заметил ([2[, стр. 266). что его предшественники во многих обстоятельствах пользовались аксиомой, которую мы привыкли называть его именем, добавил, что.

что в соответствии со своим желанием все свести к логике и .доказать все, что доказуемо', Лейбниц доказывает симметричность и транзитивность соотношения равенства, исходя из аксиомы А = А и принципа подстановки эквивалентных, получая, таким образом, в основном доказательства, которые иьг. даля в гл. 1, 9 5 ([27а[, т.

Ч11, стр. 77 — 78). ') Доказанную геометрическим способом (лат.). — Прим. ред. ') Русский перевод, стр. 24. — Прим. ред. з!з ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК З!2 ПОНЯТИЕ ИСТИНЫ В МАТЕМАТИКЕ то, что было доказано с помощью этой аксиомы, „было признано не е меньшей степени, чем то, что было доказано без нее', и что ему достаточно, чтобы его собственные результаты были признаны на том же основании. Платон в соответствии со своими метафизическими воззрениями представлял математику как способ достижения „истины в себе", а объекгы, о которых она рассуждает, как имеющие собственное существование в мире идей; это не уменьшает точности. с которой он характеризовал математический метод в известном отрывке из,республики'.,Те, которые занимаются геометрией и арифметикой,...

предполагают четное и нечетное, три рода углов; они рассуждают о них, как о известных вещах; один раз предположив это, они считают. что им уже больше нет нужды отчитываться в этом ни самим себе. ни другим, [рассматривая его[ как ясное каждому; и, исходя из этого, они действуют по порядку, чтобы с общего согласия прийти к цели, поставленной перед их поискали" (Книга Н1, 510с — е). Итак, доказательство состоит, прежде всего, из исходноИ точки, представляющей нечто произвольное (хотя и „ясное каждому"), дальше которой, говорит он немного ниже, мы не пытаемся идти; затем действие, проходящее по порядку последовательность промежуточных этапов; наконец, на каждом шагу согласие собеседника, гарантирующее правильность рассуждения.

Следует добавить, что, как только аксиомы установлены, никакое новое обращение к интуиции в принципе не допускается: Прокл, цитируя Темина, напомнил, что „у самих пионеров этой науки научились .иы совсем не принимать в расчет просто правдоподобных заключений, когда речь идет о рассуждениях, должных составить часть нашей системы геометрии" ([44а), т.

1, стр. 203). Итак, именно опыту и огню критики мы обязаны выработкой правил математического рассуждения; и если верно, как это правдоподобно утверждали'), что Книга Н!!1 Эвклида сохранила нам часть арифметики Архита, не удивительно увидеть в неИ несколько педантичное отсутствие гибкости рассуждений, появляющееся каждый раз во всякоИ математической школе, в которой открывают или думают, что открывают „строгость". Но, однажды введенные в математическую практику, эти правила рассуждения, по-видимому, никогда, вплоть до совсем недавнего времени, не подвергались сомнению; хотя у Аристотеля и стоиков некоторые из этих правил выводились пз других по схемам рассуждения, исходные правила всегда принимались как очевидные, К тому же, дойдя до „гнпогез", „аксиом", „постулатов', дававших, как им казалось, солидное основание науке своего времени (например, таких, которые должны были быть предсгавленными в первых „Началах", приписываемых традицией Гиппо- ') Сы, чаи бег %'аегйеа В.

1., Рге Агцьтепх бег Р!гйадогеег, Лиса. Апп., СХХ (1947), 127 — 153. крагу Хиосскому, 450 г. до н. э.), греческие математики классического периода посвятилн, видимо, свои усилия более открытию новых результатов, чем критике этих оснований, которая в то время не могла не быть бесплодной; и, отложив всякие метафизические заботы в сторону, математики достигли общего согласия об основах их науки, о чем свидетельствует цитированный выше текст Платона.

С другой стороны. греческие математики, по-видимому, не надеялись на возможность истолкования ,первоначальных понятий', служивших им исходной точкой, — прямой линии, поверхности, отношения величин; если они и дают им ,определения", то это, очевидно, для очистки совести, не питая иллюзий относительно их значимости.

Само собой разумеется, что зато относительно определений не „первоначальных понятий" (определений, часто называемых „номинальными" и играющих ту же роль, что и наши „сокращающие символы") греческие философы и математики имели совершенно ясные представления. Несомненно. именно по этому поводу впервые явно возникает вопрос о „существовании" в математике.

Аристотель не преминул заметить. что определение не влечет существования определяемой вещи и что, кроме этого, нужен либо постулат, либо доказательство. Без сомнения, его наблюдение было выведено из практики математиков: во всяком случае Эвклид позаботился о постулировании существования круга и о доказательстве существования равнобедренного треугольника, параллельных, квадрата и т.

д., по мере того как он вводит их в свои рассуждения ([44а), Книга 1); эти доказательства являются „конструкциями": иначе говоря, он предъявляет, опираясь на аксиомы, математические объекты и доказывает о них, что они удовлетворяют проверяемым определениям. Таким образом, мы видим, что греческая математика в классическую эпоху пришла к некотороИ эмпирической уверенности (каковы бы ни были ее метафизические основы у того или иного философа); хотя и не было осознано, что можно ставить под вопрос правила рассуждения, успех греческой науки и чувство несвоевременности критической ревизии сильно способствуют доверию, которое вызывают аксиомы в собственном смысле слова, доверию, очень похожему на то (также почти неограниченное) доверие, которое в прошлом веке связывалось с принципами теоретической физики, Именно это, впрочем, внушает школьная поговорка „и![г[1 ез[ 1п !п1е1- 1ес!и г[ног[ поп рпнз !пег[! 1и зепзп" '), против которой, как не дающей достаточно твердого основания тому, что он хотел бы извлечь из применения разума, справедливо восстает Декарт.

Нужно дойти до начала Х1Х века, чтобы увидеть, как математики возвращаются от высокомерия такого человека, .как Декарт (не говоря уж о высокомерии такого, как Кант, или такого, как ') Ничего такого нет з разуме, чего прежде не существоваш бы в чувстве (лат.). — Прим.

Характеристики

Список файлов книги