Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Огпоагсдествлеяия А) Часто случается, что, для того чтобы не усложнять записи, множества Ег (в обозначениях п' 4) уславливаются обозначать теми же символами, что и соответствующие множества Е,, и ьуь' (соответственно и 7(С ) — тем же символом, что и чх (соответственно С ); 3 I в этом случае говорят, что множества Е,, ..., Е„, наделенные струкб турой ь5Р, отождествляются с множествами Ег, ....
Е„, наделенными структурой вт"~, посредством изоморфизма (д,, ..., Р,). Термы () ) ЕР ° ° ° Ед У', СР..., С, ) и () ~ Ет, °... Е„, акхь . и' ' (С,), ... ..., гг р(СР)~ уславливаются тогда обозначать одним и тем же символом. Примеры.'1) Множество натуральных целых чисел !Е, наделенное структурами порядка, адитивного моноида и мультипликативного моноида, отождествляется с некоторой частью множества Х рациональных целых чисел, наделенной структурами, индуцированными соответствующими структурами на Х; при атом Х определяется как некое фактор- множество множества )ч,к',!ч пар натуральных целых чисел.
Множество Х отождествляется с йекоторой частью множества () рациональных чисел (зто последнее определяется как фактормножество некоторой части множества Х Х Х). Множество () отождествляется с некоторой частью множества й действительных чисел (это последнее определяется как фактормножество некоторого множества фильтров на ()). Наконец, й отождествляется с некоторой частью множества С комплексных чисел.
2) Множество мер Р -+ ~ у (х) Р (х) ах, определенных функциями у, локально интегрируемыми по мере Лебега на й, отождествляется с множеством классов эквивалентности из этих функций (по соотношению „у и е почти всюду равны").„ Разумеется, отождествление Е~ с Ег (1 (1 ( и) ) посредством Р изоморфизма (й'н ....
бр) не означает, что соотношения Ег = Ег вводятся как новые аксиомы; впрочем, соотношения ЕгчьЕг часто являются теоремами теории Д"'. Б) Пусть, в обозначениях п' 4. Х и г' — термы, внутренние для з, Ч вЂ” каноническое (для зэ) отображение множества Х в т', такое, чго соотношение „ту есть биекция множества Х на т" является теоремой теории гу'т. Тогда часто уславливаются обозначать Х и т' одним и тем же символом, так же как в теории 7" термы Х ~Е, ° °, Е„, ь2Р~ и г'1Е,, ° ° ., Е, е2Р ~. Если, кроме того, Е есть терм теории,7'. такой, что Е~Х)ЕИ ..., Е„, ь2р) является теоремой теории у", Х и терм 17) ЕР ° , Е„, ьуь((Х) обозначают одним и тем же символом.
В этом случае говорят, что Х и У отождестелеяы посредством канонической биекции Ч. Примеры. В гл. П, 4 5 было определено несколько канонических (для рода „структуры множества ) биекций некоторых термов теории множеств иа другие термы. Напомним, среди прочих, каноническое отображение множества Г на множество й(Е, р) отображений множе- Е ства Е в р, каноническое отображение множества Х( ) иа Х„, каноническое отображение множества А Х В на Д Х~ (где Х, = А, Х, = В), гг(ь т) каноническое отображение множества (А ~( В) Х С на А >( (В 1( С) и т. д.
Во всех этих случаях чаще всего принято отождестелять соответствующие термы посредством этих биекций. Аналогично отображение 0-ь(0, А, В) множества (э) (А)г, В) на множество соответствий между А и В есть каноническая биекция; вниду этой биекции очень часто отождествляют соответствие между А и В (и, в частности, отображение множества А в В) с его графиком, что мы несколько раз уже к делали.
Замечание. Только практика может указать, в какой мере отождествление двух множеств представит больше преимуществ, чем неудобств. Во всяком случае нужно. чтобы, когда оно применяется, не возникало необходимости писать непереносимые соотношения. Критерии, данные в этом приложении, показывают, что чаще всего опасность этого минимальна. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — 1Ч ') .А!!диоГ ве!ее!аз Ггот!лев гет !нега г]иглдиеллгит адеаЕиеге разве риео ') Лейбниц [[276], т. Ч11, стр, 187) (Н — Цифры в скобках отсылают к библиографии, помещенной в конце этого очерка) Изучение того, что обычно называют „основаниями Математики", беспрерывно продолжающееся с начала Х1Х в., смогло привести к хорошим результатам только благодаря параллельным усилиям по систематизации Логики, по крайней мере тех ее частей, которые изучают соединения математических предложений. Историю Теории множеств и формализации математики нельзя также отделить от истории Математической логики.
Но традиционная логика, как и логика современных философов, имеет, в принципе, намного более обширное поле применений, чем Математика. Поэтому читатель не должен надеяться найти здесь историю Логики, даже в очень обзорной форме; мы ограничились, насколько это возможно, изложением развития Логики только в той мере, в которой оно воздействовало на развитие Математики. Так, например, мы ничего не скажем о неклассических логиках (многозначных и модальных); тем более мы не можем вдаваться в историю ученых споров, которые, от Софистов до Венской школы, постоянно разделяли философов в вопросах о возможности и способе применения Логики к предметам чувственного мира или понятиям человеческого разума. Существование в доэллинский период очень развитой математики сегодня не может быть подвергнуто сомнению.
Не только (и уже очень абстрактные) понятия целого числа и измерения величин свободно использовались в самых древних документах, дошедших до нас из Египта или Халдеи, но и вавилонская алгебра по изяществу и надежности своих методов не может рассматриваться как простое собрание задач, решенных эмпирическими поисками. И хотя в этих текстах мы не находим ничего, что напоминало бы „доказательство" в точном смысле слова, мы все же вправе думать, что такие методы ') Другой перевод этого же историческою очерка (выполненный И. Г.
Башмаковой) читатель найдет нв стр. 9 — 60 книги: Н. Бурбаки, Очерки по нстооии математики, перев. с французского, ИЛ, М., 1эбз.— Прим. ред. ь) .Полагаю, что несколько избранных людей могут завершить делов течение пяти лет" (лат). — Прим. ред. решения, общность которых проявляется в конкретных численных приложениях, не могли бы быть открыты без некоторого минимума логических построений (быть может, не полностью осознанных, но, скорее. вроде тех, на которые опирается современный алгебраист, когда он осуществляет вычисления, еще не „приведя в порядок" все детали) [[31], стр. 203 н след.1. Важнейшая самобытная особенность греков состоит именно в их сознательном стремлении расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял никакого места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться.
О том, что греческие математики, совсем как современные. в своих изысканиях пользовались скорее „эвристическими" рассуждениями, чем доказательными, свидетельствует (если в этом есть нужда), например, „трактат о методе" Архимеда [2 ); у него же можно также заметить упоминания о результатах,,найденных, но не доказанных" предшествующими математиками '). Но, начиная с первых подробных текстов, ставших нам известными (датирующихся сере- диной Ч века), идеальный „канон" математического текста уже вполне установлен. Он находит свою наиболее законченную реализацию у великих классиков: Эвклида, Архимеда и Аполлония; понятие доказательства у этих авторов ничем не отличается от нашего. У нас нет никакого текста, позволяющего нам проследить за первыми шагами этого „дедуктивного метода", который появился перед нами сразу близким к совершенству в тот самый момент, когда мы замечаем его существование.
Можно только предполагать, что он довольно естественно включился в постоянные поиски „объяснений" мира, характерные для греческой мысли и столь заметные уже у ионийских философов ЧИ века; кроме того, традиция единогласно приписывает развитие и окончательную отделку метода пифагорейской школе в период между концом Ч] и серединой Ч века. Именно в этой „дедуктивной" математике, полностью осознавшей свои цели и методы, упражняется философская и математическая мысль последующих веков. Мы видим, с одной стороны, как по образцу математики мало-помалу строилась „формальная" Логика, что приводило к созданию формализованных языков; с другой ') Например, Демокритом, которому Архимед приписывает открытие формулы, дающей объем пирамиды [ [2 ]ив), стр.
13]. Это упоминание следует сопоставить с известным отрывком, приписываемым Демокриту (его подлинность, впрочем, оспаривается), где он заявляет: „никто не превзошел меня в настроении фигур г ломощью доказательств, даже — египетские „гарледоналты", как их называют'. [Н, Р ! е! в, Р!е ргаг телее дег [гогвоагаГ!лег, 2 изд., т.
1, стр. 439 и т. П, 1, стр. 727 — 728, Вег! !и (Же!дшзпп), 1906 — 1907]. Замечание Архимеда и тот факт, что в дошедших до нас египетских текстах не было найдено ни одного доказательства (в классическом смысле), заставляют думать, что ,доказательства', о которых упоминает Демокрит, не рассматривались уже квк таковые в классическую эпоху и тем более не были бы ими теперь. истОРическии ОчеРк ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ стороны, главным образом — с начала Х1Х века, все больше и больше интересовались понятиями, лежащими в основе Математики, и старались выяснить их природу, особенно после пришествия Теории множеств.
Формализация Логики Общее впечатление, которое производят имеющиеся у нас (весьма неполные) тексты по греческой философской мысли Ч века, состоит в том, что она подчинена все более и более сознательному стремлению распространить на все области человеческого мышления методы построения речи, с таким успехом примененные тогдашней риторикой и математикой, другими словами, — создать логику в самом общем смысле этого слова. Тон философских сочинений претерпевает в эту эпоху резкое изменение: если в ЧП или в Ч[ веке философы утверждают или пророчествуют (или, самое большее, намечают туманные рассуждения, основанные на не менее туманных аналогиях), то начиная с Парменида и особенно с Зенона они аргументируют и стараются выделить общие принципы, которые могли бы служить основой их диалектики: именно у Парменида мы находим первое утверждение о принципе исключенного третьего, а доказательства „от противного' Зенона Элейского знамениты и сейчас.
Но Зенон пишет в середине Ч века; и каковы бы ни были неточности наших источников'), весьма правдоподобно, что в эту эпоху математики, в своей собственной области свободно пользовались этими принципами. Как мы уже сказали выше, нам не нужно излагать бесчисленные трудности, возникавшие на каждом шагу при зарождении логики, и вызванные ими споры, от Элеатов через Софистов до Платона и Аристотеля; здесь мы только отметим роль, которую в этой эволюции играют тщательно разработанная культура ораторского искусства и, как следствие из нее, анализ языка, развитые, как считают сейчас, главным образом Софистами Ч века. С другой стороны, если влияние математики и не всегда признается явно, оно не становится от этого менее очевидным, в частности, в сочинениях Платона и Аристотеля. Можно сказать, что Платон был почти одержим математикой; не будучи сам творцом в этой области, он, начиная с некоторого периода своей жизни, находился в курсе открытий современных ему математиков (из которых многие были его друзьями или учениками) и не переставал интересоваться математикой самым непосредственным образом, вплоть до того, что указывал новые направления исследований; кроме того, в его трудах математика постоянно служит ') Наилучший классический пример Рассуждения от противного в математике в зто доказательство иррациональности для 1'"2, о котором несколько раз упоминает Аристотель; но современные ученые не смогли сколько- нибудь точно датировать это открытие, одни относят его к началу, другие— к самому концу Ч века (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
