Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Вместо рода структуры отделимой топологической группы в качестве Е можно было бы также взять роды структуры отделимой топологической абелевой группы, компактной группы, отделимого топологического кольца, отделимого -топологического векторного пространства (над топологическим телом, рассматриваемым как вспомогательное базисное множество) и т. д.
ЧШ. Почти периодические функции на топологической группе. Пусть Š— топологическая группа! возьмем в качестве Е род структуры компактной группы, в качестве морфизмов — непрерывные представления, в качестве а-отображений — непрерывные представления группы Е в компактной группе. Условия (ОМИ), (С()!) — (СОИ!) выполнены с а = 2г ' . Компактная группа Ге — решение проблемы Сага !Е) универсального отображения для Š— называется компактной группой, ассоциированной с Е; отображение (а не обязательно инъективно.
Всякая числовая функция, непрерывная на Е, имеющая вид аач)е, где А — числовая функция, непрерывная на Ге, называется .функцией, почти периодической на Е. !Х. Многообразие Альбангзе. Пусть Š— алгебраическое многообразие, Š— род структуры абелевого многообразия над тем же базисным телом. что и Е (полного алгебраического многообразия, наделенного законом алгебраической, необходимым образом коммутативной, группы); морфизмы — рациональные отображения абелевого много- ') См. Яа)иве! Р., )зв вп!те!за! шарр)вйа авй 1!ее !Оро!Оа!са! Егоарз, Ви!!. Атгг, Магд. Зос, Е)Ч (1948), б91 — 598.
образна в другое !они необходимым образом являются композициями гомоморфизма и сдвига); а-отображения — рациональные отображения многообрааия Е в абелево многообразие. Условие (СЦ) не выполняется, но проблема универсального отображения обладает решением Гш называемым многообразием Альбангзе многообразия Е; в общем случае соответствующее рациональное отображение а!а не инъективно., Замечание. В теории .универсальных накрытий' мы позже встретимся также и с другим типом проблемы, представляющим аналогиюс проблемой универсального отображения. На зтот раз имеем понятие .В-отображения' Е-множества Р в Е; пара (Ре, че), образованная, Е-множеством и б-отображением, универсальна, если для всякого В-отображения ч Е-множества 0 в Е существует ч-морфизм у множества Ре в О, такой, что Ре — — РаУ.
'В теории, о которой мы упомянули, Е есть род структуры связного, локально связного и локально односвязного топологического пространства, а ь-морфизмы и В-отображения— сюръективные,локальные гомеоморфизмыеь Упражнении ' 1) Пусть Š— топологическое пространство, Š— один из родов структуры, определенных в упр. 7 и 8 З 2; возьмем в качестве морфизмов морфизмы, определенные в тех же упражнениях, а в качестве а-отображений — непрерывные отображения множества Е в 2-множество.
Показать, что проблема универсального отображения для Е (относящаяся к прель!лущим определениям), вообще говоря, не обладает решением. '2) Пусть Š— поле, Š— род структуры алгебраичесии замкнутого поля; возьмем в качестве морфизмов представления, за а-отображения — представления поля Е в алгебраичесии замкнутом поле. Показать, что алгебраическое замыкание Рь поля Е и каноническая инъекция множества Е в Ре („ Алгебра', гл, Ч, 4 4) удовлетворяют условию (АЦ), но что, вообще говоря, не существует решения проблемы универсального отображения для Е., 3) Пусть Š— род структуры, (А,),Е! — семейство множеств и для каждого ай! пусть Р, — структура рода Х на А,. Пусть Š— сумма семейства (А,),г), причем А, рассматривается как подмножество множества Е.
Предположим заданным понятие а-морфизма для рода структуры Е и определим а-отображение как такое отображение ч множества Е в 2-множество Р, что для всякого !41 сужение отображения Р на А, есть морфизм множества А, в Р. Показать, что если существует решение (Ре, че) проблемы универсального отображения для Е, то структура рода Е на Ре есть Струитура, фикаЛЬНан дЛя СЕМЕйетеа (А„.Ра Ч,) ! ГдЕ ЧЕРЕЗ Ч, абае!' знзчено сужение отображения че на А. Кроме того, пусть Р— множество и для каждого а 4! пусть у,— отображение множества А, в Р, Если на Р существует структура рода Е, финальная для семейства (А„Р„/,),Е), можно написать У, =Уьра гле У вЂ” морфизм множества Ре в Р, и структура множества Р есть прямой оараз структуры множества РР при отображении у'.
Гл. гу. стРуктуРы Увр. Применения к следующим случаям: '!'Х вЂ” род алгебраической структуры, морфизмы — представления, условия (С()г) — (С()цг) выполнены; так обстоит дело лля структур моноида, группы, модуля, алгебры и т. д.
г — множество Ре называется в случае групп — свободным нроизведением множеств А„в случае модулей — нрямой суммой, в случае алгебр — лрямой комлозичивй. 2' 2 — род структуры топологической группы или топологического векторного пространства. Условия (С٠— (С()пг) тогда выполняются; в случае локально выпуклых топологических векторных пространств Рв называется топологической прямой суммой множеств А,, ПРИЛОЖЕНИЕ Критерии переносимости 1. Переносимые термвг Пусть Д' †теор, более сильная, чем теория множеств.
Мы собираемся дать некоторое число критериев, позволяющих устанавливать, что некоторое соотношение теории Д' переносимо (Э 1, и' 3) относительно некоторой типизации. В каждом из этих критериев будет подразумеваться, что сначала введено некоторое число букв. обозначенных через хп ..., х„, з,...., з, различных между собой и отличных от констант теории д, и некоторое число термов А,, ....
А , в которых не встречается никакая из букв хн з~, подразумевается, что критерий применим, каковы бы ни были целые числа я )~ 1, р )~ 1, т )~ О. Для сокрашения мы будем говорить, что х,, зр Ав — исходные буквы и термы критерия. Символ 5 (х, А) будет обозначать ступень $(х,...,, х,, Ап .... А ), где Б — схема конструкции ступени над а+ т термами; для обозначения ступеней вместо Б будут употребляться также буквы, такие, как Ег, Б", 5) и т. д.
В каждом критерии мы будем обозначать через Т)х, з, А1 (или Т) х, з). или просто Т) типизацию „з,~5,(х, А) и ... и УРЕЗ(х, А)", где ЕР ..., Бр — р схем конструкции ступени над и+т термами. хп з . А„— йсходные буквы и термы критерия. В каждом из рассматриваемых критериев речь, кроме того, будет идти о соотношениях теории Д", обозначаемых обычно К, К', )с",..., и о термах теории г)', обозначаемых обычно (), ()', ()е, ...; этк соотношения и термы могут содержать исходные буквы критерия. Если х,(1 <( <и), з)(1 <у.< р), Аа(1 < я < т) — исходные буквы и термы критерия, рассмотрим, кроме того, 2п различных между собой букв у,, ..., у„, уп ..., у"в, отличных от констант теории,T, исходных букв критерия и всех букв, встречаюгцихся в исходных термах А„или в соотношениях и термах, о которых идет речь в критерии.
Назовем тогда соотногиением переноса для типизации Т (в рассматриваемом критерии) соотношение ,Т)х, в, А1 и (г, есть биекция множества х, на у,) и ... и Дв есть бнекция множества х„на у„)"; через,Tе(х, в, А, у, $) (или просто через © мы будем обозначать теорию, полученную добавлением к аксиомам теории Д' соотношения переноса. Если Б есть схема конструкции ступени над и + т термами, обозначим через $ терм теории ,7,, обозначаемый по соглашениям 3 » ПРИЛОЖЕНИЕ. КРИТЕРИИ ПЕРЕНОСИМОСТИ 233' ГЛ.
!Ч. СТРУКТУРЫ 282 з 1, п' 2 через Ц!, ..., у„. 1и .... 1ж), где 1„обозначает тождественное отображение множества А», таким образом, соотношение „$ есть биекция множества 5(х, А) на 5(у, А)" 5 является теоремой теории д; (3 1, п'2, критерий С5ТЗ). В теории,7", мы будем обозначать через г», ..., гв термы 1 ' (г,), .... у Р(гв) .соответственно; для всякого знакосочетания 1!т') х, в1 мы будем обозначать через %1у, з'1 знакосочетание, полученное заменой в % каждого из х! на у! и каждого из г на г . При этих обозначениях утверждение, что соотношение К пвреносимо (е T) при типизации Т, означает, таким образом, что соотношение К) х, в)(=)К)у.
в') есть теорема теории,7;(ф 1, и' 3). При тех же обозначениях мы будем говорить, что терм () — типа (8, х, А) при типизации Т'(или, допуская вольность речи, типа 5(х, А) или даже типа 5!), если соотношение Т=!»(()Е5(х, А)) есть теорема теории д'; соотношение () ~ 5(х, А) является тогда теоремой теории д;. Мы будем говорить, что () — переносимый терм типа (5, х, А) (или типа Я(х, А), или типа 5) при типизации Т, если выполняются следующие условия: 1) П есть терм типа 5(х, А) (для Т); 2) соотношение ()) у, в!) =15(()) х, в)) есть теорема теории Т,. Заметим, что если !Т' — теория, более сильная, чем 7', то всякое соотношение (соответственно терм) теории !Т, !щреносимое при типи- ') Пусть 8 = (с!, ..., с,), 5 (с, ..., с,) — две схемы конструкции ступени над и термами.
Определим нижеследующим образом такую схему 8, конструкции ступени над и термами, обозначаемую 5 )( 5', что 5, (Зь ..., Вл) = 8 (5„..., 3 ) Х 5' (Вь ..., 3„>. Определим сначала с, для 1 (! (г: если с! — — (О, Ь!), положим с, = с,; 1 Р г+! ! ТР!= если с,=(а!, 0), положим с, ! —— (а!+г, 0); наконеп. если св=(а,, Ь,) с а,- ~0 и Ь! + О, положим г, ! =(а, +г, Ьв+г).Тогда последовательность (сь..., сг, с,в!..., с,е ) есть схема конструкции ступени 8 над и термами (~! Ве) = 5 (3! ° " Ев).
Положим, наконец, с +в+, (г, г+г); последовательность (сь ..., с!»вв!) есть искомая схема 5Р Тем же способом (но проще) определим такую .схему 5ь содержащую г+ 1 пар целых чисел, что 5» (Вь ..., Бв) цу(5(ЕР ..., Вж) ), и обозначим зту схему йв(5). зации Т, остается переносимым (при той же типизации), когда оно рассматривается как соотношение (соответственно терм) теории !7'. Заметим, наконец, что предыдущие определения распространяются (в намного более простой форме) на случай, когда никаких букв г) нет; читатель без труда увидит, во что превратятся в этом случае сформулированные ниже критерии (достаточно заменить Т на соотношение, истинное в су).
2. Критерии переносимости Для краткости мы будем часто в нижеследующих формулировках говорить „переносимый" вместо „переносимый при типизации Т", когда это не будет вызывать путаницы. В одном и том же критерии слово „переносимый" всегда (если не оговорено противное) относится к одной и той же типизации Т. СТ1. Если ни одна из букв х,...,, х„, гп ..., гр нв вся»речается е соотношении К, то К пвреносимо. Терм О есть переносимый терм типа !Ьв(5) (какоеа бы ни была схема 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
