Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1, приложение, п' 4), то Т (Еь ..., Еп) есть выражение (!.! (Е~ ° ° ° Еп)) 3' если Т имеет вид ХОЧ, где 0 и Ч вЂ” выражения, антецедентные к Т, то Т (Е„..., Еп) есть множество Показать, что для всякого типа ступени Т над х„ ..., хп терм Т (Е„ ..., Еп) есть ступень над термами Еь ...., Еп н обратно (рассуждать индукцивй по длнне типа ступени илн Йо длине схемы конструкции ступени); Т (Е,, ..., Еп) нааывается реализацией на термах Е„ ..., Еп типа ступени Т.
Более точно, всякая ступень на л различнйх буквах может, причем единственным образом, быть записана а виде Т (хь ..., хп), где Т вЂ” тип ступени. Показать также, как можно типу ступени Т над л буквами и л отобРажениЯми Уь ..., Уп сопоставить каноническое РаспР«стРаненив зтнх отображений. Вывести из этого, что если две схемы конструкции ступени Я и Б' над и буквами таковы, что 8 (хь ..., хп) = 8'(х„ ... ....хп) (где хь ..., хп — различные буквы), то % 2 Морфпзыы н производные структуры 1.
Морфизмы ля простоты в этом паРаграфе и дальше мы будем предполагать что рассматриваемые роды структуры содержат только одно базисное множество (необходимым образом основное); читатель без труда распространит определения и результаты на общий случай. Пусть Š— род структуры в теории,7. более сильной, чем т ор я множеств, х, у, г. 1 — четыре буквы, различные межд б й и чем теон отлич ающиеся от констант теории,7'; напомним, что ме ду со о 3' Им, ЧТО СИМВОЛ «у (х, у) обозначает множество отображений множества ( . , й 5, и 2). Предположим, что дан терм «1 х, у, г, г) теогл, И,, и ества х в у рии Д, удовлетворяющий следующим условиям: (МО,) Соотношение „г есть структура рода Е на х и 1 есть структура рода Е на у" влечет з,7' соотношение а! х, у,г, 1!С=«7 (х, у).
(МОМ). Если в теории,7", более сильной, чем г7', Е, Е', Е" суть гири множества, наделенные структурами «Р', «уп', «У" рода Е. то соотношения т ца!Е, Е' «У, «Р" ! и у'~а 1Е', Е", У", влекут соотношение д«7~«) Е, Е", «Р', Уп'~. (МОРЦ. Если в теории г7", более сильной, чем г7, Е и Е' — два множества, наделенные структурами «Р', У" рода Е, то биекция 7 множества Е на Е' будет изоморфизмом тогда и только тогда, когда 7~«)Е, Е', «У, Я" ( и ~~«~Е', Е, «Р", «У!. с Когда Е и а даны, соотношение у~а) х, у, г, 11 выражаю ловами: у есть морфизм (или а-морфизм) множества х, наде«..., т ленного структурой г, в множестго у, наделенное структурой П если (в теории г7" более сильной, чем сг) Е, Е' — два множества, наделенные структурами «у, «уп' рода Е, терм а) Е, Е', «Рг.
«Р" 1 называется множеством а-морфигма«множества Е з Е'. П римеры. 1) Возьмем за 2 род структуры порядка, а за «)х, у, г, Г1 множество таких отображений у' множества х в множество у, что соотношение (и, а) е г влечет (у(и), у(н)) Е д В обозначениях б 1 гл.
1!! это также означает, что и (Р влечет у(и) ( г (а), т. е. что у возраставшее. Проверка аксиом (МО,), (МОЫ) и (МОРМ) легка. 2) Возьмем за 2 некоторый род алгебраической структуры, содержзщий один всюду определенный (внутренний) закон композиции (ф 1, и'4, пример 2). Пусть А, А' — два множества, наделенные структурами рода Е, и пусть р, р' — законы композиции этих уР. тих структур. Рассмотрим такие отображения У множества А в А', что у)) =/©х, у)) для х Е А и уб А; эти отображения удовлетворяют аксиомам ( !), (МОц) и (МОц!); онн называются пр«дстиплениями или гомоморфигмпми множества А а А'.
ме 3. П сть 3) Возьмем за -' род топологической структуры (а 1, и'4, р ). у А, А' — два множества, наделенные топологиями Ч Ч' , и', при- 2 4 2. могеизмы и цроизводныи стРУктУРы 232 256 ГЛ 1Ч. СТРУКТУРЫ ' 2 ф 17 и. Бурев»» соответственно; рассмотрим такие отображения У множества А в А', -1 что соотношение Х'РЧ' влечет у (Х') бЧ (иначе говоря, полный прообраз относительно У всякого множества, открытого в ч', должен быть открытым в Ч); эти отображения, удовлетворяющие аксиомам (МО,), (МО ) и (МО ), извиваются явпрврывными отображениями мно- 111 ( 1Цр жества А в А' (для топологий Ч и Ч') (см.
„Общая топология", гл. 1, Я 4). Замечание. для заданного рода структуры 2 часто имеется возможность определения различных тернов а)х, у, з, Г(, удовлетворяющих условиям (МО1), (МО,1) и (МОЫ1), Например, лля рода 2 топологической структуры назовем (в обозначениях предыдущего примера) отобпажеиие У множества А в А' открытым, если соотношение ХбЧ влечет у(Х) РЧ' (иначе говоря, если образ при отображении у всякого открытого множества есть открытое множество). Легко устанавливается, что открытые отображения также удовлетворяют условиям (МО1), (МОц) и (МОцг) для рода Е; 'кроме того, можно показать, что непрерывное отображение не обязательно является открытым, а открытое отображение — не обязательно непрерывным.. Таким образом, задзние рода структуры нв влечет вполне определенное понятие морфизма.
для структур порядка, алгебраических структруфп и топологических с труктур, если противное не оговорено, под мо измами будут подх Р У азумеваться те морфизмы, которые были определены в примерз выше. Условие (МОц,) и характеристика биекций (гл. 11, 3 3, п' 8, следствие предложения 8) влекут следующий критерий: С8Т8. Пусть Е, Е' — диа множества, кадвлииныв каждое структурой рада Е.
Пусть У есть а-морфизм множества Е и Е', а я есть а-морфизм множества Е' в Е. Если а»у — тождественное отображении множества Е на себя и у ах" — тождиствинпое отображение множества Е' на себя, то у есть изоморфизм множества Е ка Е', а я" есть обратный изоморфизм. За етим, что биекция множества Е иа Е' может быть а-морфизмом и без того, чтобы обратное отображение было а-морфззмом.
'Нзпрм имер, биективное отображение топологического пространства А з топол огическое пространство А' может быть непрерывным без того, чтобы обратное отображение было таковым (.Общая топология", гл. 1, 4 )., 4. Замечании. Когда род структуры 2 содержит несколько основных базисных множеств х„..., х» и вспомогательных базисных множеств А,...
А,тогда а-морфизм есть система (Уь ..., У»), где Л есть отображение множества х; в у, (1 (1 ( и); зти системы отображений удовлетворяют условиям, айэлогичиым условиям (МОц) и (МЙц1), которые читатель легко сформулирует. 2. Более тонкие структуры Во всей оставшейся части этого параграфа мы будем предполагать заданными род структуры Е и понятие а-морфизма относительно этого рода структуры; исе понятия, которые будут вводиться, зависят ие только от Е, ко также и от фиксированного понятия а-морфизма. Мы будем обычно говорить „морфизм" вместо „а-морфизм".
Пусть Š— множество, »9»1 и а9»2 — две структуры рода Е на Е. Мы будем говорить, что структура а9', тоньше, или мельче, чем структура »9' (или что »92 грубее, или крупнее, чем а1Р1), если тождественное отображение множества Е, наделенного структурой »У1. на множество е, наделенное структурой »9»2, есть морфизм. Если зто необходимо для избежания смешения, мы будем говорить, что,г', тоньше, чем 6'а, ОтноситЕЛЬНО р»ССМ»тривавмога »О»ятия а-морфизма; аналогично — для всех понятий, которые будут определены в этом параграфе. ПРедположим, что »9', тоньше, чем »9'2; если Е' — множество, наделенное структурой »9»' рода Е, и у — морфиам множества Е, наделенного структурой »92, в множество Е', наделенное'структурой аг', то у является также морфизмом множества Е, наделенного структуРой »9»1, в множество Е'.
наделенное стРУктУРой »У', это вытекает из предыдущего определения и (МОц). Аналогично, если р — морфизм множества Е', наделенного структурой »9", в множество Е, наделенное структурой »9'1, то д является также морфизмом множества Е', наделенного структурой »9", в множество Е, наделенное структурой аз» Говоря более образно, чвм структура (рода 2) иа Е тоньше, твм больши существует морфизмов с областью отправления Е и твм меньше существует морфизмов с областью прибытия Е. Соотношение „»91 грубее, чем »92", есть соотношении порядка между »9»1 и аУ2 з множестве структур рода Е на Е; в самом деле, оно рефлексивно в силу (МОц,), транзитивно в силу (МОц) и, если некоторая структура рода Е одновременно и тоньше и грубее, чем некоторая другая структура, то она тождественна ей в силу (МО1ц) и определения изоморфизма (Э 1, ц'5). В соответствии с общими определениями (гл.
1П, э 1, и' 14) говорят, что две структуры рода Е на Е сравнимы, если одна из них тоньше, чем другая; говорят, что одна структура строго тоньше, или строго мельче (соответственно строго грубее, или строго крупнее), чем другая структура, если она токьшв (соответственно грубее), чем эта другая структура, и отлична от нее. Примири. 1) для того чтобы структура порядка с графиком и на множестве А была тоньше, чем структура порядка с графином и', необкодимо и достаточно, чтобы было и ~ в'. Иначе говоря, соотношение х ( у для и влечет х .4 у для и'1 мы снова получаем определение, данное в гл.
81, $1, п' 4, примере 3. 2) Рассмотрим две алгебраические структуоы Р, Р' одного и того же рода Х на множестве А, тэк, что Р и Р суть графики законов (всюду определенных) композиции этих структур. В силу определения морфизмов для этого случая (п' 1, пример 2) Р тоньше, чем Р', означает, что Р ~ Р'. Но так как Р и Р' — функциональные гранки, имеющие оба одну н ту же область определения А х', А, то 258 2 2. МОРФИЗМЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ СТРУКТУРЫ ГЛ.
!У. СТРУКТУРЫ необходимо Р = Р'. Иначе говоря, дее сравнимые структуры рода Е необходимо тождественны. 3) Пусть Ч, Ч' — дее топологии на одном и том же множестве А. Ч тоньше, чем Ч', зто означает в силу определения морфизмов (и'1, пример 3), что Ч'~ Ч; другими словами, всякая часть множества А, являющаяся открытым множеством относительно Ч', является также открытым множеством и относительно Ч (нлн, более образно, чем топология тоньше, тем в ней больше открытых множеств). Ф Залгечание.
Мм только что видели пример (пример 2), в котором две сравнимые структуры одного н того же рода 2 были необходимо тождественны. Встречается много примеров таких структур: структуры совершенного порядка, 'топологии компактного пространства, структуры пространства Фреше (морфизиами являются непрерывные линейные отображения), топологии, определенные на теле при помощи абсолютной величины (илн оценки); н т. д.' Для тзного рода структуры Х морфизм У множества Е в Е', являющийся биективным отображением, есть изоморфизм: перенося посредством у структуру гг множества Е, получим структуру рода Х, более тонкую, чем структура в" множества Е', которая, таким образом, необходимо тождественна втой последней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
