Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(Упорядочить множество когерентных семейств х| соотношением ,хг есть подсемейство семейства х и применить б) и теорему Порка ').) |1 '30) Пусть (Мл), (Рл) — две последовательности конечных попарно непересекающихся множеств (не все из которых пусты), имеющие в качестве множества индексов множество 7 рациональных целых чисел; положим лл = Оагб (Мл). Ри Оагб (Ри). Предположим, что существует такое целое число И ) О, что для всякого и ЕЕ и всякого ') То есть теорему 2 из й 2.— Прим.
рест. 1 ~ 1 выполняется «л+ «л+ |+ "° + ли+1.4 Рл-а+ Рл-а«1+ °" + бил|+а Ри+Р ы+ "° +ни+~~а -а+' -а+1+ " + "л+|+а. П ь М вЂ” объединение семейства (Мп), Р— семейства (Рл). По- усть — о казать, что существует биекция ч множества М на Р, тана, о Р я, чт л+а+1 и+ а+1 ч(Ми)с:. О Р| и у (Рл)~ О М| для всякого индекса нб2.
| и-а-1 | л-а-1 (Рассмотреть на каждом Мл (соответственно Рл) совершенный пооядок и взять за М (соответственйо Р) ординальную сумму (5 1, упр. 1) сеей~~ы (Ми)лбе (соответственно (Рп)лбх); если ио — такой индекс, что Ми + 8, рассмотреть изоморфизмы множества М на Р, преобразуюшие наименьший элемент множества М„в один из элементов множеи«о а РИ и показать, что один из этих изоморфизмов искомый.), 0 1 1«л~-а 241 ЛИТЕРАТУРА ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК' ) К 6 5 ГЛАВЫ 1П ЛИТБРАТУРА 16 и. Бурбаки (Римские цифры отсылают к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.) Эволюция идей, касающихся понятий целого числа и кардинального числа, неотделима от истории теории множеств и математической логики; читатель найдет ее изложение в историческом очерке, следующем за гл.
1У. Мы ограничимся здесь краткими указаниями на наиболее выдающиеся фанты из истории счисления и .Комбинаторного анализа . История и археология. знакомят нас с большим числом .систем счисления"; их первоначальная цель — сопоставить каждому индивидуальному целому числу (в пределах, зависящих от потребностей практики) название и письменное изображение, образованное (по более или менее регулярным правилам) комбинацией ограниченного числа знаков.
Наиболее употребительный прием состоит в разложении целых чисел в суммы люследовательиых единиц" бь Ь„..., Ь,..., каждая из которых кратна предыдущей, и, хотя обычно Ьл/б„ берется равным одному и тому же числу Ь (.основание системы, чаще всего 10), наблюдаются неоднократные исключения из этого правила, как, например, у вавилонян, где Ьл1Ь„, рзвио то !О, то 6 [Ц, и в системе хронологии майя, где Ьл/Ьл ! равно 20, если л ~2, и Ьз!Ь, =18 [!Ц. Что касается соответствующей зайиси, то она должна указывать число .единиц" Ь! каждо~о порядка !1 во многих системах (как, например, у египтян, греков, римлян) последовательные кратные Ь Ь! [где Ь изменяется от 1 до (бгьцЪ!) — 11 обозначаются символами, поторые зависят одновременно от Ь и от!.
Первыи и важный прогресс состоит в обозначении всех чисел Ь Ь! (для одного и того же значения Ь) одним и тем же знаком: это принцип позиционности, „пшпегайоп бе роэ!!!оп', когда индекс !' указывается тем фактом, что символ, изображающий Ь Ьн помещается на !-е место в последовательности .кусков', составляющих изображаемое число.
Первая система этого рода встречается у вавилонян, которые, несомненно, за 2000 лет до н. э, обозначзлн одним н тем же знаком все кратные Ь 60з', соответствующие произвольным значениям показателя ! ([Ц, стр. 93 — 109). Неудобство такой системы состоит, разумеется, в неоднозначности употребляемых символов, поскольку ничто не указывает на то, что единицы некоторого порядка могут отсутствовать, другими словами поскольку система не пополнена введением .нуля'. Однако мы видим, что вавилоняне обходились без такого знака на протяжении большей части своей истории; в самом деле, они употребляли .нуль" только в двух последних векэх до и.
э. и вдобавок исключительно внутри числз; до тех пор лишь контекст давал возможность уточнить значение рассматриваемого числа. Только две системы используют систематически „нуль": система майя (употреблявшаяся, по-виднмому, с самого начала христианской эры [П]) и наша современная десятичная система, которая (через арабов) ') Лругой перевод этого очерка (выполненный И. Г. Башмаковой под ред. К.
А. Рыбникова) см. (под названием„Счисление. Комбинаторный анализ") на стр. 6! — 63 книги Бурбаки Н., Очерки по истории математики, ИЛ, М, 1963.— Прим, рвд. пришла из индийской математики, где ее употребление отмечено в первых веках нашей эры. Следует, кроме того, заметить, что понятие нуля как числа (а не как просто разделительного знака) и его введение в вычисления также считаются принадлежащими к оригинальным вкладам индийцев [Ш].
Разумеется, усвоив однажды принцип позиционности, легко было распространить его на любое основание; обсуждение достоинств различных .оснований', предложенных начиная с ХШ! века, относится к технике Численного анализа и не может быть начато здесь. Ограничимси замечанием, что операция, лежащая в основе втих систем, так называемое .эвклидово дедение, не встречалась до греков и восходит, несомненно, к первым пифагорейцау, которые сделали ее существенным орудием в своей Теоретической арифметике (см. исторический очерк к гл.
У! — Ш! . Алгебры' ). Общие проблемы пересчета, собранные под именем „Комбинаторного анализа", не рассматривались до последних веков классической Античности: только формула ! 1! = и (п — 1)/2 засвидетельствована в Ш вене н. э. Индий- !2! и ский математик Бхаскара (Х!1 век) знал общую формулу для ! [. Более Р систематическое исследование находится в манускрипте Леви бен Герсона, в начале Х!!1 века: он получает рекуррентную (по р) формулу, позволяющую вычислить число УР размещений из л элементов по р и, в частности, число перестановок пз и элементов; он формулирует также правила, эквивалентные соотношениям ~ [.= !г„!!р! и ! ]! = ~ ] ([1У], стр. 64 — 65).
Но этот манускрипт, по-видимому, остался неизвестным современникам, и его результаты только мало-помалу переоткрывались математиками следующих веков. Среди дальнейших успеков отметим следующее: Кардан доказал, что число непустых частей множества нз л элементов есть 2" — 1; Паскаль и Ферма, л занимаясь исчислением вероятностей, переоткрыли выражение для [ ], Р и Паскаль первый заметил связь между этими числамн и формулой бинома: эта последняя, по-видимому, была известна арабам в ХШ веке, китайцам и Х!У веке и была переоткрыта на Востоке в начале ХУ1 вена так же, как н метод рекуррентного вычисления, так называемый .арифметьческий треугольник, приписываемый обычно Паскалю ([!У], стр.
35 — 38). Наконе!ь Лейбниц около 1676 года получил (не опубликовав) общую формулу, поли-' номиальных коэффициентов", переоткрытую независимо и опубликованную 20 годами позже Муавром. [Ц ь[о пде ь а нег О., ъгог!езиийеп аьег гг!е Оезсб!сищ!гег апг!ьэи ма(- Летай/г, Вб. 1: Уогйг!езсЫзсйе Ма!Ьешагйг, Вег!!и (Зрг!пйег), 1934 (русский перевод: Н ей ге бауер Отто, Лекции по истории античных математических наун, т. 1, Логреческая математика, перевод с немецкого, М вЂ” Л, ОНТИ, 1937).
[П] Мог! еу я. О., Тбе лис!ел! Мауа, Б!ап1огб Пп!Уегз!!у Ргезз, 1946. [Пц П а ! ! а В., 5 ! и д 5 А. Н.. О!зтогу ог г(!пйи Ма!бета!!сз, !. 1, Байогв (Моща! Вапагз! Паз), 1935. [1У] Тгор(Ке Л Оезсб!сббе ггег Е!етегггаг-Ма!Авели!!Ь, !. У1: Апа!уыз, АпаШ!зсйе Оеошегг!е, Вегцп — [.е!Рх!8 (бе Огпу!ег), 1924. ГЛАВА !У СТРУКТУРЫ Цель этой главы — описать раз и навсегда некоторое число формативных конструкций и доказательств (см. гл. 1, $ 1, и' 3 и $ 3. и' 2), встречающихся очень часто в математике.
и 1. Структуры н нзоморфнзмы 1. Ступени Схема конструкции ступени есть йоследовательность с,, са, .... с пар натуральных целых чисел') с;=(а,, Ь~), удовлетворяющая следующим условиям: а) если Ь,=О, то 1 (а, (1 — 1; б) если а~О и Ь~ФО, то 1(а;(1 — 1 и 1(Ь(1 — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
