Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Говорят, что множество бесконечное, если оио ие является конечным. В частности, кардинальное число бесконечное, если оно не является целым числом. Заметим, что из соотношения „существует бесконечное множество" вытекает, что соотношение ,х — целое число" является иоллеитизизирующим (гл. П, 2 1, и' 4); в самом деле, если а †бесконечное кардинальное число и и — какое-нибудь целое число, то не может быть а ( п Я 4, предложение 2); таким образом, для всякого целого числа и имеем и ( а; это доказывает, что множество целых чисел, строго меньших а Я 3, п'2, замечание, следующее за теоремой 1), содержит все целые числа.
Обратно, если соотношение „х — целое число" коллективизирующее. множество целых чисел Š— бесконечное множество: в самом деле, для всякого целого числа и интервал (О, и) есть часть множества Е, имеющая и+ 1 элементов Я 5, предложение 5), таким образом, Сагб(Е) )~ и+-1 > п) но то, что Сагб(Е) Ф п для всякого целого числа и означает, что Е бесконечно. Введем следующую аксиому: А5 (аксиома бесконечности).
Существует бесконечное множество. ГЛ. П!, УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Не известеи вывод этой аксиомы из до сих пор введекиых аксиом и схем аксиом, и, хотя вопрос онончателько яе решеи, предполагается, что опа яезависима от ких. Предыдущие замечания доказывают, таким образом, следующую теорему: ТеОРемА 1. Соотпошение „х — целое число" является коллективизирующим. Обозпачям через Х множество целых чисел (когда хотят прелохракпть от смешения, говорят также „множество натуральных целых чисел"). Кардинальное число множества Х обозначается через Х е. Опгеделекяе 2. Назовем последовательностью (соответстзееко последовательностью элемектов мкожества Е) всякое семейство (соответствеппо семейство элементов мпожества Е), множество индексов которого есть часть множества Х; последовательность называется бесконечной, если ее множество индексов есть бесконечкаи часть мкожества Х.
Пусть Р(п! — соотношение; обозначим через 1 множество таких целых чисел п, что Р ~ п ! Естянпо; меожество 1 является, таким образом, частью множества Х; последовательность (х„)лч! обозначается часто (хл)р „, говорят, что хл — член последовательности с индексом п. Последовательность, меожество индексов которой есть множество целых чисел и )~ й, обозначается часто (хл) <, плн (хл)л» плк даже (хл), когда Й= О ялп й=1. Прп тех же условиях, чтобы Обозпачпть, например, произведение последовательности множеств (Х„)„ Р используют обозначения П Хл и П Х„; Р!л! л» аналогичные обозначения употребляют для объедппевия, пересечения.
кардинальной суммы и кардинального произведения. Всякое подсемейство какой-либо последовательности есть последовательностьц ее пазывают подпоследователькостью рассматриваемой последовательности. ГОВОРЯТ, Чта ДВЕ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ (Хл)л Н (У„)„П ИМЕЮЩИЕ одинаковое множество индексов, отличаются только порядком членов, если существует перестаиозка у множества индексов 1, такая, что ху1„! — — ул для любого п~1. Кратной последователькостью Назовем семейство, множество индексов которого есть часть некоторого произведения ХР (где р— целое число')) (еще говорят „р-краткая последовательность",,двойная последовательность" для р = 2, «тройная последовательность» для р= 3 и т.
д.). ') Согласно гл. П, ф 5, п'3, множество Х" равно произведению ПХ„ ЕР где сомиожители Х, равиы Х. Не исключено, впрочем, что понятие патураль- 5 Е. БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА Пусть 1 — множество, равномощпое мпожеству Х, а г" — бпекцпя множества Х па 1. Для всякого семейства (х,), с множеством индексов 1 пРо последовательпость и-Рхг!л! говоРЯт, что опа полУ- чена расположением семейства (х,), в порядке, определенном отображением у. Последовательности, соответствующие, таким образом, двум различным биекцпям множества Х еа 1, отличаются только порядком членов. Для конечного семейства с множеством индексов 1 из и элементов аналогично определяют конечную последовательпость с множеством индексов (1, п) пли (О, п — 1), располагая семейство в порядке, определенном некоторой бяекцпей мпожестза ! Еа один из указанных интервалов.
2, Определение отображений иидукцией Так как множество Х вполне упорядоченно, к нему можно прямекпть критерий С60 (й 2, и' 2), который здесь принимает впд (в тех же обозпачениях); С62. Пусть и — буква, Т ! и ! — терм. Тогда существуют множество () и отображение Г' множества Х иа (), такие, что длп любого целого числа п г (и)=Т! г!" 1, где через у(л! обозиачепо отображение интервала (О, п( па у((0, п(). совпадающее ка (О, п( с Р. Кроме того, этими условиями множество () и отображение у определена однозначно.
Выведем сейчас яз этого критерия следующий критерий. С63. Пусть 51о! и а — два терма. Тогда существуют множество Ч и отображение у' мкожества Х ка Ч, такие, что у(0)=а и для любого целого числа и)~1 г' (и) = Б ! у' (п — 1) !. Кроме того, этими условиями множество Т! и отображение г определены однозначно. Чтобы вывести С63 пз С62'), положим для всякой буквы и !)(и)=$„(хЕХ и (Зу)((х, у)~рг!(Рг!(и)))). ного числз употреблено здесь в метаматеиатическом смысле (см. авторское Р Р . л! 1.
'л" л -лх...хл »Р. Рез., $3, и' 12). — Прим. ред. ') Критерий С63 можио было бы доказать также я иепосредствееко рассуждением, аиалогичкым доказательству критерия С60 (6 2, и' 2). ГЛ. 1Н. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 224 з 4 б. БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА 225 Когда и — отображение некоторого подмножества множества М в некоторое множество, 0(и) есть не что иное. как область определения отображения и (гл.
П; 9 3, п' 1). Пусть М(и) — верхняя грань множества 0 (и) в Х '). Пусть ф — пустое отображение (с И в качестве области отправления и 'области прибытия, иначе говоря (гл. П, Э 3, п' 1 и 4), тройка (И. И, И)); рассмотрим соотношение (и=у и у=а) или (и Ф <р и у=5(и(М(и))(), которое мы обозначим через Е(у, и(; наконец, пусть Т)и1 — терм т„(Р(у, и!).
Применим критерий С62 к терму Т(и(; так как 7!б! равно о, Т(7!б>!=а, таким образом, 7(0)=а; если же и ) О, 1о 0 (7!»1) = (О, П вЂ” 1) И М(ГРО) = П вЂ” 1, ОтКУДа Т (У<л1 ( = = 8 У("! (и — ! ) $ = 8 ( У (п — 1) (. Примеры. 1) Предположим, что а — элемент множества Е, 8( и ( — терм д'(и). гле е — отображение множества Е в себя г). Тогла индукция по и тотчас же показывает, что для всякого п ~ Х имеем у" (п) ~Е; таким образом, 7" — это такое отображение множества Х в Е, что 7(0)=а и у(п+1)=б(у(п)) лля всякого целого числа и. Аналогично пусть Ь вЂ отображен множества Х эс', Е в Е н пусть ф — отображение множества М Х Е в себя, определенное равенством ф(п, х) =(и+1, Ь(п, х)), На основании предыдущего существует единственное отображение Е множества Х в М 11', Е, такое, что б'(0)=(0, а) и К(я+1)=ф(Д'(и)) лля всякого п; отсюда заключаем о существовании и единственности такого отображения 7 множества Х в Е, что 7'(0)=а и 7" (п+1)=71(п, г(п)) для всякого целого числа и.
2) Пусть Х вЂ” множество, Š— множество отображений множества Х в себя; пусть е — тождественное отображение множества Х в себя и г' — какой-нибуль элемент из Е. Возьмем зз 8(и( терм у а из). Применяя С63, видим, что существует и единственно отображение множества М в Е (обозначим его и — ьул), такое, что у" = е лЭ! л и 7 + =/а 7 . Отображение 7"" называется и-й итерациед отображения у. ') Определение верхней грани (ф 1, п' 7„8 и 9) может быть сформулировано таким образом, чтобы оно сохраняло смысл ндля множества, не являю. щегося ограниченным сверху (оно указывает некоторый терм формализованного языка вида чл(й(»1), который читатель выявит без труда).
э) Если д = (О, Е, Е), терм е (и) есть терм, обозначенный через У«и, у)6 О). ') Речь идет здесь о терке, обозначаемом через (Т, Х, Х), где Т вЂ” терм, обозначаемый через Ел (» есть пара и (пу) ( (рг, », у) 6 рг, (рг, (и) ) и (у, рг, ») 6 рг, (рг, (г) ) ) ), 3) Если в качестве 8(и1 взять терм ча(и), а в качестве а — множество Е, аналогично видно, что существует такое отображение (обозначим его л-ь Збл(Е) ) множества Х в множество у (Е), что эра(6) = Е, !(а' (Е) = ЯЗ(Е) н 1(элэ1(Е) = Ча(!Рл (Е) ) для всякого целого числа л, Замечание.
Пусть Š— множество, А — часть множества Е, ив отображение множества А в Е, а — элемент множества А. Возьмем за 8(и! терм» (и). Можно применить критерий С63, который докажет существование такого отображения У множества Х на множество Ч, что у(0) = а н у(и+1) = л (у(л) ) для всякого целого числа л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
