Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Следствие 3. Пусть а, Ь, Ь' — целые числа (соответственно целые числа, такие, что а ) 0). Для того чтобы было а+Ь= = а+Ь' (соответственно аЬ= аЬ'), необходимо и достаточно, чтобы было Ь=Ь'. В самом деле, если ЬФЬ', имеем, например. Ь(Ь' и предложение 3 показывает, что а+Ь(а+Ь' и аЬ(аЬ' (если а>0). Следствие 4. Если а и Ь вЂ” такие целые числа, что а (Ь, то существует и единственно целое число с, таков, что Ь=а+с.
Существование числа с вытекает иэ предложения 13 $3, единственность — ив только что доказанного следствия 3. Целое число с такое, что Ь = а + с (для а ( Ь) называется разностью целых чисел Ь и а и обозначается Ь вЂ” а. Мгновенно проверяется, что если а. Ь, а', Ь' — целые числа, такие, что а ( Ь и а' (Ь', то (Ь вЂ” а) + (Ь' — а') = (Ь -)- Ь') — (а + а'). 8. Интервалы в множествах целых чисел Всякое множество целых чисел, будучи множеством кардинальных чисел, вполне упорядочено (й 3, теорема 1); кроме того, для всякого целого числа а соотношение „х — кардинальное число и х ( а" коллективизнрующее (3 3, замечание, следующее за теоремой 1), а множество чисел х, удовлетворяющих этому соотношению, является множеством целых чисел (й 4, предложение 2), которое, таким образом, можно обозначить (О, а). Предложение 4.
Пусть а и Ь вЂ” целые числа; отображение хьа+-х является строго возрастающим изоморфизмом интервала (О, Ь) на интервал (а, а+Ь), ау-з.у — а есть обратный изоморфизм. Ясно, что соотношения 0 ( х ( Ь влекут а (а+х ц„а+Ь; $ б. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ (р', отображение х — ь а+ х — строго возрастающее (и, следовательно. инъективное) в силу предложения 3. Наконец, соотношения а (у ( ( а+Ь влекут у=а+х с х)~0 и а-+ х< а+Ь, откуда х (Ь (предложение 3). чем и заканчивается доказательство. Предложение 5.
Если а и Ь вЂ” целые числа, такие, что а (Ь, то интервал (а, Ь) есть конечное множество с числом элементов (Ь вЂ” а)+ 1. В силу предложения 4 можно ограничиться случаем а = О, Локажем предложение индукцией по Ь. Лля Ь= 0 оно очевидно. С другой стороны, соотношение 0 <х (Ь+ 1 эквивалентно соот- Й) ношению „0 ( х Ь+ 1 или х = Ь+ 1", а соотношение 0 ( х ( < Ь+1 эквивалентно соотношению 0 (х (Ь (3 4, предложение 2); иначе говоря, интервал (О, Ь+ 1) есть объединение интервала (О, Ь) и множества 1Ь+ 1), причем эти два множества не пересекаются; в силу предположения индукции число элементов в (О, Ь+ 1) равно (Ь+ !) + 1, что и доказывает предложение.
в' у( Предложение 6. Для всякого конечного совершенна упоря- доченного множества Е, имеющего и элементов (п)~!), суще- А:: ствует и единствен изоморфизм множества Е на интервал '.: (') Так как Е и (1, и) вполне упорядоченны (3 4, следствие 1 пред- $ ложения 3) и имеют одинаковое число элементов (предложение 5), предложение вытекает из теоремы 3 э 2 и следствия 2 предложения 2 э 4. 4. Конечные последовательности Назовем конечной последовательностью (соответственно ко.д печной последовательностью элементов множества Е) семейство (соответственно семейство элементов множества Е), множество индексов которого есть конечное множество 1 целых чисел; число элементов множества ! называется в этом случае длиной последовательности. Пусть (!1)14, — конечная последовательность длины и. В силу предложения 6 существует единственный изоморфизм У интервала(1, п) иа множество целых чисел 1.
Лля всякого Й~(1. и) говорят. что С ЧО есть Ф-й член последовательности; 1Г!1! (соответственно 1Г<Ю) называется первым (соответственно последним) членом последовательности. Пусть Р !!! — такое соотношение, что элементы 1, для которых выполняется Р 11~, образуют конечное множество 1 целых чисел; конечная последовательность (11)1чг обозначается тогда часто (!1)РП . Например, когда ! =(а, Ь).
употребляют часто обозначение (11) При тех же условиях, чтобы обозначить, например, произведение 14 Н. Вгречш Гл. 111, упоэядоче нные мнОжествА 210 7 5 5. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ 211 ь семейства множеств (Х;),, используют обозначения ЦХ| и ДХ;; аналогичные обозначения применяют для объединения, пересечения, кардинального произведения, кардинальной суммы, 'законов композиции в Алгебре („ Алгебра", гл. 1, й !), и т.
д. Б. Характеристические йдункции множеств Пусть Š— непустое множество, А — часть множества Е. Назовем характеристической функцией части А множества Е отображение 4|А множества Е в множество !О, !), определенное условиями' 4А(х)=! для хсА; |рл(х)=0 для хЕЕ А. Очевидно, что соотношение |рл = |р эквивалентно соотношению А=В; имеем р (х)=1 для всякого х~Е, р (х)=0 для вся- И кого х ~ Е, и это единственные постоянные характеристические функции в Е.
Кроме того, тотчас же из определений вытекает следующее предложение: П~едложение 7. Для всякой пары подмножеств А, В непустого множества Е (1) |Ре А ( ) 9А(х)' (2) (х)=|р„(х)с (х), (3) р (х)+|р (х)=|р (х)+|р (х) для любого х~Е. 6. Эвклидово деление Теогемл !. Пусть а и Ь вЂ” целые числа, такие, что Ь) 01 существуют целые числа |7 и г, такие, что а=дц+г и г (Ь, причем этими условиями целые числа |7 и г определены однозначно. Требуемые условия эквивалентны условиям Ьц ( а < Ь(|7+ 1) и г= а — Ьд (предложение 2).
Все свелось, таким образом, к тому, чтобы найти такое |7, что Ь1) ( а ( Ь(|7+ !); иначе говоря, |7 должно быть наименьшим целым числом, таким, что а ( Ь(|7+1), что показывает, что ц и г= а — Ьд определены однозначно. Для того чтобы показать их существование, заметим, что существуют целые числа р, такие, что а < Ьр, хотя бы а+1, так как Ь) О. Пусть т — наименьшее нз этих целых чисел; т ~ О, и поэтому можно написать т=|7+1 с |7 <т (Э 4, предложение 2); отсюда вытекает, что Ь17 ( а < Ь(|7+ 1). Опгеделение !. В обозначениях теоремы 1 говорят, что г — остаток от деления числа а на Ь.
Если г=О, говорят, что а — краткое (для) числа Ь, или что а делится на Ь, или что Ь вЂ” делитель числа а, или что Ь делит число а; число |7 называется в этом случае частным от деления числа а ка Ь а и обозначается — или а)Ь. Ь Когда а не является кратным для Ь, число |7 называется целой частью частного от деления числа а ка Ь (ср.
„Общая топология", гл. 1Ч, ф 8, п'2). а В этой главе сам факт записи а/Ь или — будет означать, что Ь Ь делит а. Соотношения а =Ьд и |7 = а)Ь эквивалентны (если Ь ) 0). Всякое кратное а' некоторого кратного а для Ь является кратным для Ь, причем а'/Ь=(а'/а)(а(Ь), если а Ф О. С другой стороны, если с и й — кратные для Ь, то с+-й и с — й (когда й (с) — кратные с+и с и с — а с и для Ь, причем Ь Ь Ь Ь Ь Ь' = — + — и Белые числа, кратные для 2, называются четными, остальные— нечетными; эти последние ввиду теоремы 1 имеют вид 2и+ 1.
7. Разложения ио основаниго Ь Пведложение 8. Пусть Ь вЂ” целое число и Ь > 1. Для всякого целого числа й > 0 пусть ń— лвксикографическов произведение (Э 2, п'6) семейства (Зь)екь ь 1 интервалов, совпадающих каждый с (О, Ь вЂ” 1). ДЛЯ всЯкого г=(ге, г,, .... гь 1)~Е» Ь-1 пусть 7ь(г)= ~1 г„ЬА . Тогда отображение 7ь есть изоь=е морфизм упорядоченного множества Е„ка интервал (О, Ь» — 1). Мы будем доказывать предложение индукцией по (г; для А=1 оно тотчас же вытекает из определений. Для всякого г = =(ге, ..., гь,. гь)~Еьь| положим |Р(г)=(ге, ..., гь,) СЕА; отображение г-ь(|р(г), гь) есть изоморфизм множества Еьь| на лексико- графическое произведение множества Еь и множества 5=[0, Ь вЂ” 1), как это вытекает из определений.
Можно записать Ть„, (г) = =Ь.Т (|р(г))+гь! покажем, что соотношение г ( г' в Еь~| влечет 7ьь|(г) (7ь+1(г'). В самом деле, имеем тогда либо |р(г) (ср(г'), либо |р(г)=р(г') и г (г'. В первом случае предположение индукции влечет, что Ть(р(г)) (7 (|р(г')), значит (й 4, предложение 2), Уь(|р(г)),.» Уь(|р(г))+1; следовательно, 7ь.„|(г'))~Ь 7ь(|р(г))+ +Ь ) 7ьь1(г), так как г (Ь вЂ” 1 (пРедложение 3). Если же ы(г)= ='Р(г') и гь ( г', очевидно, что /ь|1(г) < Уьь|(г'). С дРУгой стороны, предположение индукции показывает, что 7ь(|р(г)) (Ьь — 1, откуда / +1(г) (Ь(Ь вЂ” !)+Ь вЂ” 1 =Ь +' — 1.
Отсюда заключаем, что уь~| есть изоморфизм множества Е ь| на некоторое подмно- 14ь 213- гл. Вк ьпооядачвпныв множвствл 212 Ь з. вычислпния с цвлыми числлми жество интервала (О, Ьь+' — 1); на так как этот интервал и Еь имеют одинаковое число элементов Ь (лредложение 5), у +1 есть Ьэ1 биекция (9 4, следствие 4 предложения 2), что и заканчивает доказательство. Заметим теперь, что для всякога целого числа а имеем а ( Ьо: достаточно применить индукцию по а, так как для а = 0 предложение очевидно, а предположение а < Ь' влечет а + 1 < Ьч ( < Ь ° Ь' = Ь'+ (предложение 3 и Э 4, предложение 2). Таким образом существует наименьшее целое число й, для которого а ( Ьь, а предложение 8 доказывает тогда '), что существует и единственна тзкая конечная последовательность (гь) <е<ь 1, что 0 (г„(Ь вЂ” 1 для Ь-1 О < 71 ( й — 1 и а = ~.", г„д " ', кроме тога, необходимо г > О, ь=о иначе из предложения 8 следовало бы, что а " Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
