Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Так как множество отрезков множества А вполне упорядочено включением (э 2, теорема 2), теорема доказана. Обозначим через х («соотношение В]х, «]. Для того чтобы множество Х было равномощно некоторой части множества 1', необходимо и достаточно, чтобы Сагб(Х) (Сагб(1). Яеио, что О < я для всякого кардинального числа к и 1 < к для всякого кардинального числа 8 ~ О. Следствие 1. Из любых двух множеств одно равномощно неноторой части другого. Следствие 2. Если |саждое из двух .иножеств равномощно некоторой насти другого множества, то эти множества равномощны.
Замечание. Для любого множества А существует множество, элементами которого являются кардинальные числа Сагб (Х) всех подмножеств Х множества А; в самом деле, это множество объектов вида Сагб(Х) лля Х~ф(А) (гл. П, 9 1, п'6). Для всякого кардинального числа а соотношение Х вЂ” кардинальное число и Х ( а" является, таким образом, коллективизирующим по х, ибо оно эквивалентно соотношению д имеет вид Стб(Х) для Х|=.а"! Множество кардинальных чисел х, удовлетворяющих этому соотношению, навывается множеством (всех) кардинальных чисел ~,а. 3 3 3 РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 191 190 ГЛ. Н!, УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Пгедложение 2. Для есякого семейстеа (а,), ! кардинальных чисел существует и единственно кардинальное число Ь, такое, что, зо-пераых, а,(Ь для зсякого !~1 и, зо-вторых, есякое кардинальное число с, для которого а, (с для асех !~1, удовлетворяет соотношению с)~$.
В самом деле, существует множество Е, содержащее все множества а, (например, сумма этих множеств (гл. П, 9 4, и'8)1, откуда а, ~(а=Сагб(Е) для всякого !~ !. Так как множество Р кардинальных чисел (а вполне упорядочено и все а, принадлежат к Р, семейство (а,) ~! в этом множестве имеет верхнюю грань Ь. Кроме ~! ! того, пусть с — кардинальное число )~а, для всякого !~1; если с ( Ь ( а, то с ~ Р и неравенство а,( с противоречит тогда определению верхней грани семейства (а,) а упорядоченном множестве Р; предложение доказано. Попуская вольность речи, будем говорить, что кардинальное число Ь есть верхняя грань семейства (а,),, кардинальных чисел, и обозначать его зпр а,. е! Пгедложенив 3.
Пусть Х и !' — множества, Если существует сюръекяия 7' множества Х на миожгстео !', то Сагб (!) ( Сагб (Х), В самом деле, существует иссечение з, ассоциированное с у' (гл. П, $3, предл. 8), и 3 является инъекцией множества !' в Х. 3. Операции над кардинальньгми числами Опгеделеиие 3.
Пусть(а,), ! — семейство кардинальных чисел. Кардинальное число произзедепия (соответственно суммы) множеста а, называется кардинальным произеедением (соответственно кардинальной суммой) кардинальных чисел а, и обозначается ~ а, (соответственно ~, а,) . ~Е! 'е! Когда иет никакой опасности смешения, говорят просто „произведение' н „сумма" вместо „кардинальное произведение" и,кардинальная сумма" и пишут 1! а, вместо Р а, (ср. упр. 2). Р! 'е! Пгедложеннв 4. Пусть (Е,), — семейство множеств, Р— его произведение, 5 — его сумма, а, — кардинальное число множестеа Е,. Кардинальное число мнозкества Р (соответственно 5) есть кардинальное произеедекие (соответстзеиио кардинальная сумма) семейства (а,) В самом деле, существует биекция множества Р (соответственно 5) на произведение множеств а, (соответственно на сумму множеств а,) (гл.
П. 9 4, предложение 10 и $5, следствие предложения 1!). Следствие. Для есякого семейства (Е),Е! множеств кардинальное число объединения Ц Е, меньше или равно сумме е! ,>', Сагб (Е,). ь! В самом деле, существует отображение суммы 5 множеств Е, на их объединение (гл. П, 9 4, и'8); следствие вытекает, таким образом, из предложений 3 и 4.
Пгедложение 5. а) Пусть (а,) с! — семейство кардинальных чисел и пусть 7' — биекция множества К на множество 1; тогда ;У~', аГ<„! — — '~~ а, и Раг<„! —— Рас б) Пусть (а,),Р! — семейстзо кардинальных чисел и (ЛА)А разбиение множества 1; тогда („ассоциатизность суммы и произведения") ~г а, = ~г ( ~, а,), з) Пусть ((а ), ! — семейство (с множеством индексоа !.) !' 'Е~Т~ТЕь семейств кардинальных чисел.
Пусть 1= Иды Тогда („дистри- ТЕС бутивность произведения относительно суммы" ) Р ( ч ', ац) = м ( )~у а, ц,) . Соотношения пункта а) вытекают из аналогичных формул для объединения и произведения множеств, ибо тот факт, что 7' — биекция, влечет, что если (Х,) — семейство попарно не пересекающихся Р! множеств, то то же самое верно и для семейства (ХГН!) (см. гл.
П, $4, предложение 1 и $5, предложение 4). Соотношения пункта б) немедленно следуют из формул ассоциативности объединения и произведения (гл. П, $4, предложение 2 и 9 5, предложение 7) и дистрибутивности пересечения относительно объединения (гл. П, 8 5, предложение 8), которая показывает, что если (Х) — семейство попарно не пересекающихся множеств, то ' е! то же самое верно и для семейства ( Ц Х,1 !ЕЕ Наконец, в) есть следствие дистрибутизности произведения относительно объединения и пересечения (гл. П, $5, предложение 9 н следствие 1 предложения 9).
ГЛ. !Н. УПОРЯЛОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА э 4 3 РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 193 Пусть а и Ь вЂ” два кардинальных числа. Если 1 — множество из двух различных элементов (например, кардинальное число 2), то существует отображение у' множества 1 на )а, Ь), которое определяет некоторое семейство кардинальных чисел; сумма и произведение этого семейства зависят только от а и $ (в силу предложения 5а)); назовем эти кардинальные числа суммой и произведением кардинального числа а и кардинального числа Ь и обозначим их а +Ь и аЬ '). Аналогично определяют и обозначают сумму и произведение нескольких кардинальных чисел. Из предложения 5 вытекает следствие: Следствие.
Пусть а, Ь, с — кардинальные числа! тогда (1) а+Ь=Ь+а, аЬ=Ьа; (2) а+ (Ь+ с) = (а+ $) + с. а (Ьс) = (аЬ) с; (3) а (Ь+ с) = аЬ+ ас. А Свойства кардинальных чисел О и 1 Предложение 6. Пусть (а,),, — семейство кардинальных чисел и 2 (соответственно К) — частв множества 1, такая, что а,=О для всякого !~2 (соответственно а,= 1 для всякого г(К); тогда ~ч"„а,= Ъ', а, 'е' 'ег ( соответственно й а,=~уа,) . ек Для суммы это очевидно, ибо сумма 8! семейства множеств (а,),, равномощна объединению суммы 8у семейства (а,), „и пустого мно- жества, а значит, равномощна множеству 8у. Для произведения это вытекает из того, что проекция рг„ произведения И а, на частичное 'е! произведение И а, есть биекция (гл.
11, э 5. п'5, замечание 1). ~ек Следствие 1. Для всякого кардинального числа а а+О=а. 1=а. Следствие 2. Пусть а и Ь вЂ” кардинальные числа и пусть 1 — множество, разномин(ное Ь; для всякого г~! пусть а,=а, С, = 1; тогда аЬ= ~ч'„' а, и Ь= ~ со с! ') Вместо ВЬ пишут также а Ь (во французском оригинале и. Ь; вообще, как правило, точка, означающая умножение, ставится во французских текстах внизу строки, а в русских текстах в посредине). †Пр. рлд. Вторая формула вытекает из того, что любое множество есть объединение своих одноэлементных частей.
Первая получается из второй умножением на а и использованием следствия 1. прулложение 7. пуста (а),ч! — семейство кардинальных чисел; для того чтобы Р а, + О, необходимо и достаточно, чтобь! а, + О для всякого ! ~ !. Это просто перевод условия, что произведение не пусто (гл. 11, 9 5. следствие 2 предложения 5).
Предложение 8. Если а и Ь вЂ” кардинальные числа, такие, что а+ 1 =$+ 1, то а=Ь. Пусть Х=а+1 =$+ 1. Существуют подмножества А, В множества Х с кардинальными числами а и Ь, такие, что каждое из дополнений Х вЂ” А и Х вЂ” В сводится к одному элементу. Пусть и и о — эти элементы. Пересечение С = А П В имеет в качестве дополнения в Х множество )и, о). Если и=о, то А=В=С. откуда а=Ь. В противном случае А=С() )о), В=СО)и) и а=1+ + Сагб (С) = Ь. Е Не следует думать, что а+ т = Ь+ м! влечет а = Ь для всякого кардинального числа ум (см. 5 6)! 'мы увидим однако, что это верно, когда ум конечное (ф 6, следствие 4 предложения 3 и 6 6, следствие 4 теоремы 2)..
б. Возведение кардинальных чисел в степень Определение 4. Пуств а и Ь вЂ” кардинальные числа; карди- нальное число множества отображений множестаи Ь в а обозначим, допуская аольноств обозначений. через ав. Вольность состоит в том, что этим символом мы обозначили уже множество функциональных графиков отображений множества Ь з а (гл.
П, 5 5, и'2), а это последнее множество не обязательно является кардинальным числом (уир. 2). Контекст всегда ясно укажет смысл, который следует придать символу а . ь Предложение 9. Пусть Х и ! — два множества, а и $ их кардинальные числа; тогда множество Х" имеет кардинальное число а", В самом деле, существует биекция множества Х" на множество отображений множества Ь в а (гл. 11, 6 5, п'2, следствие предло- жения 2).
Предложение 10. Пусть а и Ь вЂ” кардинальные числа, !в такое множество. что Сагб(1)=$! если а,=а для всякого Е1. то а'=Ра,. ! Это вытекает из определения произведения семейства множеств как множества функциональных графиков (гл. 11, 2 5, и' 3). 13 Н Вурвакэ ! % с, нлтррлльнын цнлын числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
