Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 42
Текст из файла (страница 42)
такие, что для всех х~8 1 (х)=Т)7"!э!). Для всякого 5~®! 7" и О в силу первой части доказательства определены однозначно. В частности, если 8' и 8" — два таких отрезка, принадлежащих к Ф2, что 8'с=8", то уз,— отображение множества 5' на ~з, (8'), совпадающее на 5' с уз,. Из этого замечания вытекает, что любое объединение отрезков, принадлежащих к 452, также принадлежит к Ф! (гл. П, 9 4, предложение 7). С другой стороны, если 5 ~Ф2, определим на 8=5 О)х) функцию гз, продолжающую /з, положив уз(х)=Т17" ) (гл.
Д, Э 4, предложение 8); и х так как ТР1= Гз, немедленно получаем 5„0 [х) ~Ж!. Таким образом (лемма 2), Е~Ф2, что заканчивает доказательство. Доказанный критерий чаще всего будет применяться з ситуации, в которой существует множество Р, такое, что для всякого отображения й некаторога отрезка множества Е на некоторое подмножества множества Р имеем Т) Ь) ~ Р. Тогда множество (), полученное применением критерия С60, будет частыа множества Р. В самом деле, з предыдущих обозначениях пусть (юг — часть множества (ю2, образованная отрезками 8 множества Е, такими, что ()зс-Р. Сразу же видно, что любое объединение отрезков, принадлежащих к Фг, принадлежит к чог; с другой стороны. предположенное свойство множества Р влечет, что если 8 ~Ф2, то и 5 0 )х) Е!чзг; применение леммы 2 заканчивает доказательство.
4 г. вполне упоеядоченные множества 177 ГЛ ПЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА !70 8. Теорема Цермело Лемма 3. Пусть Š— множество, Ф вЂ” часть множества айг(Е). р — отображение множества Ф в Е, такое, что для всякого Х~Ж выполняется р(Х)(Х. Тогда существуют часть М мкожества Е и полный порядок Р на М, такие, что (обозначая через х ~ у соотношение у~1'(х) в М и через 8 отрезок ) и —, х(): 1' для всякого х~М имеем 8 ~Ж и р(8„) =х; 2' М(Ф.
Пусть ЕИ вЂ” множество частей С множества Е )( Е, удовлетворяющих следующим условиям: а) С вЂ” график полного порядка на рг,б=(3; б) если обозначить через х ( у соотношение (х, у) ~ б в 13, то для всякого х ~ (3 отрезок 8 таков, что 8 ~ Ж и р (8„) = х. Покажем, что если С, С' — два элемента нз ЯВ, а (3, ()!†их первые проекции, то одно из множеств (3, (3' содержится в другом; покажем далее, что если, например 13 г.()а, то С = Са П (Б )( 13) (другими словами, соотношение порядка на 13 индуцировано соотношением порядка на (3') и (3 — отрезок множества (3'. Для доказательства рассмотрим множество Ч таких х~(3 П(3', что отрезки с концом х.
в 13 н ()а совпадают, а порядки, инлуцироваиные на этом отрезке порядками в 13 и в ()а, одинаковы. Ясно, ьтз '!1 — отрезок и в 13, и в (3', а порядки, индуцированные на Ч, одинаковы; наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что ьг=(3 нли Ч=(3'. Рассуждая от противного, предположим Ч + 13 и Ч ~ (3'. Пусть х — наименьший из элементов множества 13 — Ч в (3, а х' — наименьший из элементов 13' — Ч в Г; тогда ь! 8 в (3 и У=8„в (3'. Но из предположений следует 'аГ ~ Ф, х = р (8,) и х' = р (8, ), откуда х = х', но тогда по определению х ~ Н вЂ” противоречие К множеству проекций (3 = рг, С (для С ~ад)е) можно, таким образом, применить предложение 3 и получить вполне упорядоченное множество М = Ц рг, С.
Легко видеть, что график порядка на М о ави принадлежит к ЙФ. Если бы было М~Ф, положив а =р(М), мы получили бы а(М; тогда можно было бы. добавив к М элемент а в качестве наибольшего элемента, получить вполне упорядоченное множество М'= М(3 )а). Так как М = 8„з М', то 8 ~ Ж и р(8 ) = а; а тогда график порядка на М' принадлежит к йус — противоречие. Заметим, что если 8(1В (и, з частности, если 1В пустое), множество М, существование которого утверждается леммой 3, пустое, что видно из п' 1' заключения леммы. Т е О Р е м А 1 (1~ермело). На всяком множестве Е существует полный порядок. Пусть йа= а1г(Е) — )Е] — множество частей множества Е, отличных от Е. Для любого Х ~ !ж положим р (Х) = т„(х ~ Š— Х).
Так как соотношение Х~Ф влечет (=)х)(к~Š— Х). оно по определению влечет и р(Х)~Š— Х (гл. 1, 6 4, и' 1). таким образом, р(Х)(Х. Можно применить лемму 3: на некоторой части М множества Е, такой, что М(Ф, существует полный порядок; но единственная часть множества Е, не принадлежащая к !Е1, есть Е. откуда н следует теорема.
6, Индуктивные множества Опгеделение 3. Упорядоченное множество Е называется индуктивным, если всякая его совершенно упорядоченная часть имеет в Е мажоранту. Примеры. !) Пусть 13 — такое множество частей множества А, упорядоченное включением, что для всякой совершенно упорядоченной части Ю множества (Э объединение множеств из 6$ принадлежит и Е!; тогда Е! Еидухтивно по соотношению с=, тах хан объединение множеств из Е является верхней гранью множества 61 в 3(г (А).
2) Важным примером индуктивного по отношению к!: множества частей является множество ат графиков отображений частей множества А в множество В; в самом деле, К явлается частью множества 6у (А Х В), а утверждение .часть 6) множества В! совершенно упорядочена включением' означает, что хля любых двух графиков отображений из ® одно из этих отображений продолжает другое.
Из этого немедленно вытекает, что объединение множеств из 6$ валяется элементом множества 5 (гл. И, 6 4, п'б, предложение 7). Можно, следовательно, также сказать, что множество Ф(А, В) отображений подмножеств множества А в В индухтивио по соотношению порядка „о продолжает и" между и и о. 3)' Из аксиомы бесконечности вытекает, что вполне упорядоченное множество натуральных целых чисел ие является индуктивным по соотношению (., Теоуемх 2'). Всякое индуктивное упорядоченное множество имеет максимальный элемент.
Эта теорема является частным случаем следующего результата: Пеедложение 4. Пусть Š— упорядоченное множество, всякое вполне упорядоченное подмножество которого ограничено сверху; тогда Е имеет максимальный элемент. Будем говорить, что элемент О~Е является строгой мажорантой части Х множества Е, если ча — мажораита множества Х н о (Х. Пусть 6Š— множество частей множества Е, имеющих строгую мажораиту; положим для всякого 8~®р(8)=т (и — строгая мажоранта множества 8); тогда р(8) — строгая мажоранта множества 8. Применяя к Ж и р лемму 3, видим, что существует часть М ') Называемая также теоремой 1(орка (см. Рез., 6 6, п'10).
— Прим. ред. 12 Н. Еурбахи 178 ГЛ. !!!. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 12* множества Е и полный порядок Р на М, удовлетворяющие условиям леммы; в частности, М не имеет строгой мажоранты в Е. Кроме того, порядок Р совпадает с порядком, индуцированным на М порядком множества Е. В самом деле, В М соотношение ку~Р(х) и х Ф у» эквивалентно х~ 8, а так как р(8 )=у является мажорантой множества 8 (относительно порядка в Е), оно, это соотношение, влечет х ( у в Е. Но это означает, что инъекция множества М в Е является строго возрастающим отображением (когда М наделено порядном 1'), а так как М вЂ” совершенно упорядоченное множество, заключаем, что в М соотношения у Р Р(х) и х ( у эквивалентны (9 1, предложение 13). Теперь к М можно применить условие предложения: существует элемент т, являющийся мажорантой множества М в Е. Так как М не имеет строгой мажоранты, т необходимо является максимальным элементом в Е.
Следствие 1. Пусть Š— индуктивное упорядоченное мнсжистио, а — элемент множистии Е. Существует максимальный элемент т множества Е, такой, что т)~ а. В самом деле, из определения 3 вытекаер, что множество Р элементов х)~а множества Е индуктивное, а максимальный элемент множества Г является также максимальным и в Е. Следствие 2. Пусть гу — множество частей множества Е, такое, что для всякой части Ю множества 5, совершенно упорядоченной включением, обьидииинии (соответственно пересечении) множеств иэ Ю принадлежит $; тогда $ имеет максимальный (соответственно минимальный) элемент.
б. Изоморфизмы вполне упорядоченных множеств Теогема 3. Пусть Е и Р— диа Вполне упорядоченных множистиа; по крайней мере одно иэ следующих диух выскаэыианий истинно: 1) существует и единстиин иэоморфиэм множества Е ка некоторый отрезок множества Р; 2) существует и идинстиин иэоморфиэм множества Р на некоторый отрезок мкожистиа Е. Пусть у — множество таких отображений частей множества Е в Р, каждое из которых определено на некотором отрезке множества Е и является изоморфизмом этого отрезна на некоторый отрезок множества Р.
Множество 1, упорядоченное соотношением „О продолжает и" между и и О, является индуктивным. В самом деле, пусть И вЂ” совершенно упорядоченная часть множества Д; объединение 8 областей определения отображений и ~ Ю является объединением отрезков множества Е и, следовательно, некоторым отрезком множества Е; если ю — верхняя грань множества Ю в Ф(Е, Р) (п'4, пример 2), то ю(8) является объединением областей а э г. ВпОлне упОРядОченные множестВА 179 значения отображений и ~ Ю и, значит, некоторым отрезком множества Р; наконец, для всякой пары элементов х, у множества 8, таких, что х ( у, существует отображение и ~ Ю, область определения которого содержит и х и у (поскольку Ю совершенно упорядоченно), и так как о(х)=и(х)(и(у)=о(у), о является изоморфизмом отрезка 8 на отрезок О(8), что и доказывает наше утверждение.
Пусть тогда ир является максимальным элементом множества Д (теорема 2) и пусть 8р — отрезок множества Е, являющийся областью определения отображения ир. Если мы покажем, что либо 8р = Е, либо ир(8р) = Р, существование одного из изоморфизмов, указанных в формулировке теоремы, будет доказано, Рассуждая от противного, предположим, что 5р чь Е и ир(8р) чь Р; тогда существуют элемент а~Е и элемент Ь~Р, такие, что 8р=)»-, а(, ир(8р)= = )» —, Ь ( (предложение 1); продолжим ир до отображения и, отрезка )»-, а) в Г, положив и,(а)=Ь; так как и, является изоморфизмом отрезка )» —, а ) на отрезок )» —, Ь), получим противоРечие с пРедположением, что ир — мансимальный элемент в 1, Утверждения единственности теоремы 3 вытекают из следующей леммы: Лемма 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
