Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2) изоморфно с !. б) Если множество ! есть ординальная сумма упорядоченных множеств ЩЛЕ1, где Ь УпоРЯдочено, показатгь что УпоРЯдоченное множество ~г Е, канонически изоморфво ординальной сумме гт Рл, где ~ег лес Рл= ~~ Е, (.ассоциативность ординальной суммы). Когда ! есть сос!) вершенно упорядоченное множество (1, 2), ординальная сумма множеств Е, и Е, записывается также в виде Е,+Еы показать, что, вообще говоря, Е,+Е, и Е,+ Е, не изоморфны. в) Для того чтобы ординальная сумма ~~ Е, была фильтрующимся 'Ег вправо (соответственно совершенно упорядоченным) множеством, достаточно, чтобы 1 и каждое из Е, были фильтрующимися вправо (соответственно совершенно упоридочеиными). Для того чтобы ~ Е, было 'Е' сетчатым множеством, достаточно, чтобы ! н каждое из Е, были сетчатыми и, кроме того, чтобы для всякого и Е 1, для которого существуют гл.
Пп гпогядоченньш множества Уэш 164 у (!и!(х, у) ) = !и!(7(х), у(у) ), два таких различных индекса 8, у, что а зир(6, у) (соответственно а !и!(8, «)), Е, обладало наименьшим (соответственно наибольшим) элементом. 11 4) Пусть Š— упорядоченное множество и пусть (Е,),6! — его азбиеиие, образованное связными компонентами множества Е (гл. П, 6, «пражнение 10) для рефлексивного и симметричного соотношения „х = у илн х и у несравнимы'.
а) Показать, что если ~ ф н, х 6Е, и у 6 Е„, то х и у сравнимы, и что если у'6Е„, у' ~ у и (например) х (у, то х (у' (учесть, что не существует разбиения множества Е„на два таких множества А, В, чтобы всякий элемент из А был сравним со всяким элементом из В), б) Вывести из а), что соотношение эквивалентности 3, соответствующее разбиению (Е,) множества Е, совместимо с соотношением порядка х (у в Е и что упорядоченное фактормножество Е!3 (упражнение 2) совершенно упорядоченно. в) Каковы связные компоненты Е, упорядоченного множества Е = Г «( О, являющегося произведением двух совершенно упорядоченных множеств) 5) Пусть Š— упорядоченное множество, а у — множество ееободиых частей Х множества Е, т. е. таких частей Х, что любые два различных элемента нз Х несравнимы.
Показать, что в «соотношение .наково бы ии было хЕ Х, существует такое у 6Т, что х(у' есть соотношение порядка между Х и У; оно обозначается через Х (Т. Отображение х-ь (х) есть изоморфизм множества Е на часть упорядоченного множества ф Если Хс-у(Хбф, У63), показать, что Х(Х. Для того чтобы Д было совершенно упорядоченным, необходимо и достаточно, чтобы Е было совершенно упорядоченным, и тогда)' изоморфно с Е. 6) Пусть Е н Р— два упорядоченных множества и п«сть А(Е, Р)— подмножество упорядоченного множества-произведения Р, образован- Е ное возрастающими отображениями множества Е в Р.
а) Показать, что упорядоченное множество А(Е, Г «( О) изоморфно с А (Е, Р) )( А (Е, О). б) Показать, что упорядоченное множество А (Е «( Р, О) изоморфно упорядоченному множеству А(Е, А(Р, О)). в) Для того чтобы А(Е, Р) было сетчатым, необходимо и достаточно, чтобы Г было сетчатым. г) Показать, что А(Е, Г) может быть совершенно упорядоченным лишь в тех случаях, когда Р состоит из единственного алемента, или же когда Е.совершенно упорядоченно, а Р есть совершенно упорядоченное множество из двух элементов, нли, наконец, Е состоит из единственного элемента, а Р совершенно упорядоченно.
7) Для того чтобы всякое такое отображение у' упорядоченного множества Е в упорядоченное множество Р, состоящее не менее чем из двух элементов, которое является сразу возрастающим н убывающим, было постоянным, необходимо и достаточно, чтобы Е было связной компонентой для рефлексивного и симметрического соотношения „х и у сравнимы' (гл.
!1, 66, упражнение 10); в частности, это условие выполняется, когда Е является фильтрующимся вправо и влево. 8) Пусть Е и Р— два упорядоченных множества, 7 — возрастающее отображение множества Е в Р, и — возрастающее отображение множества Р в Е. Пусть А (соответственно В) — множество таких хе Е соответственно у г Р), что д(у(х) ) = х (соответственно у(я(у) ) = у).
оказать, что упорядоченные множества А и В изоморфны. инв, 4 !. соотношения погядкл. нпогядоченные множества 165 9) В сетчатом множестве Е доказать соотношению 8ИР /!П! ХВ«(!П! /8НР Хг!), для всякого конечного двойного семейства (хг)) зир(!п((х, х), !п((у !)) (!п1(8пр (х, у), 8ир(ш !)). 1О) Пусть Е и à — два сетчатых множества. Показать, что если у — такое отображение множества Е в множество Р, что то у' является возрастающим. 'Дать пример возрастающего отображения множества-произведения «!««( «!«в 1Ч, не удовлетворяющего предыдущему условию., 11) Мы говорим, что сетчатое множество Е является полным, если всякая часть множества Е допускает верхнюю и нижнюю грани в Е.
а) Поназать, что если упорядоченное множество Е таково, что всякая часть множества Е допускает верхнюю грань в Е, то Е есть полное сетчатое множество. б) Для того чтобы произведение упорядоченных множеств было полным сетчатым множеством, необходимо и достаточно, чтобы каждый сомножитель был полным сетчатым множеством. в) Для того чтобы ординальная сумма (упражнение 3) ~ Е, была сг полным сетчатым множеством, достаточно, чтобы ! и наждое из Е, было полным сетчатым множеством. г) Для того чтобы упорядоченное множество А(Е, Р) возрастающих отображений упорядоченного множества Е в упорядоченное множество Р (упр. 6) было полным сетчатым множеством, необходимо и достаточно. чтобы Р было полным сетчатым множеством.
12) Пусть Ф вЂ” множество отображений множества А в себя. Пусть й — часть множества «(з(А), образованная такими множествами Х ~ А, что у (Х) ~ Х для всякого 7" е Ф; показать, что $ — полное сетчатое множество для соотношения включения. 13) Пусть Š— упорядоченное множество; мы говорим, что отображение У множества Е в себя является замыканием, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) у' является возрастающим; 2) для всякого х6Е имеет место у(х)ьх; 3) для всякого хбЕ имеет место 7 (у(х)) =у(х).
Пусть à — множество элементов из Е, инварнантных относительно 7. а) Показать, что для всякого х 6 Е множество Р„ таких элементов уеГ, что х(у, непусто и допускает наименьший элемент 7"(х). Обратно, если Π— часть множества Е, такая, что для всякого хе Е множество тех у 6 О, для которых х ( у, допускает наименьший элемент х(х), то хг есть замыкание и О тождественно с множеством элементов, инвариантных относительно е. б) Предположим, что Š— полное сетчатое множество; поназатзь что нижняя грань в Е произвольной непустой части множества Р принадлежит к Р, 14) Пусть Е и à †д множества, (1 — произвольная часть множества Е Х Р.
Для всякой части Х ~ Е (соответственно всякой части У ~ Р) символом р(Х) (соответственно а(у)) обозначается множество таких у 6 Р (соответственно х 6 Е), что (х, у) 6 К для всех х 6 Х (соответственно (х, у) 6 й для всякого у 6 У), 3'пр. $ !. СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА !67 ГЛ.
!П. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Упр, а) Показать, что р и а — возрастающие и что Х~а(р(Х)) и Уу(а(У)) для всяко~о Х ~Е н всякого У !=Р; вывести отсюда, что р (а (р (Х) ) ) = р (Х) н а (р (а (г) ) ) =а (а). б) Отображение Х -ь а (р (Х) ) (соответственно т' — ь р (а (у) ) ) является замыканием (упражнение !3) в )эч (Е) (соответственно в !8)(Р)). !5) Пусть дано произвольное упорядоченное множество Е. Для всякой части Х множества Е обозначим через р(Х) множество мажо- рант Х, а через п(Х) — множество минопзнт Х. Показать, что в чл(Е) множество Е таких Х, что Х =п(р(Х)), есть полное сетчатое множество (ср.
упражнения 13 и 14) н что ото- бражение х — !.и((«]) есть изоморфизм множества Е на упорядоченное подмножество Е' в Е, такой, что если семейство (х,) элементов из Е имеет верхнюю (соответственно нижнюю) грань в Е, то образ этой верхней (соответственно нижней) грани есть верхняя (соответственно нижняя), грань в Е для семейства образов элементов ха Мы гово- рим, что Е есть пополнение упорядоченного множества Е. 11 16) Мы говорим, что сетчатое множество Е является диспгри- бутипнмм, если оно удовлетворяет двум следующим условиям: (О') зпр («, !п1 (у, «) ) = !п1 (зир (х, у), зир (х, ») ); (Оа) !п1(х, зпр(у, «) )= зир(!и!(х, у), !п1(«, «)). а) Показать, что каждое из условий (О'), (О") влечет условие: (О) зир(!п1(х, у), !и!(у, «), !п1(«, х)) = = !п1(зир(«, у), зир(у, «), зир(«, х)). б) Показать, что условие (О) влечет условие; (М) если х)~ «, то зир(«, !п1(х, у)= !п1(к, зир(у, «)).
Вывести отсюда, что (О) влечет каждое из условий (О') и (Оа) и, следовательно, все три аксиомы (О), (О'), (Оа) эквивалентны (для доказательства того, например, что (О) влечет (О'), взять верхнюю грань для х и каждого из элементов, фигурирующих в (О), и исполь- зовать (М)). в) Показать, что если !п1(«, эир(х, у)) (зпр(х, !п1(у, «)), иаковы бы ни были х, у, «в Е, то Е дистрибутивно (рассмотреть элемент !п1(«, зпр(«, !п1(у, «) ))). Вывестн отсюда, что если !и!(зир(х, у), зпр(ш !п1(«, у))) = лир(!и!(х, у), !п1(у, «), !п1(», х)), то Е днстрибутивно.
17) Пусть Š— множество не менее чем с тремя элементами, ,Р— множество разбиений множества Е, упорядоченное отношением „м .мельче, чем м'", между м и м' (п' 1, пример 4): а) показать, что Ф вЂ полн сетчатое множество (упражнение 11); б) показать, что Р не дистрибутивно (упражнение !Вр); в) показать, что для всякого разбиения м 6 Ф существует такое разбиение м', что верхняя грань для м и м' есть наибольший элемент В Уа а Иижияя ГраиЬ дпя м И м' ЕСТЬ НаИМЕНЬШий ЭЛЕМЕНТ В д' (ВПОЛНЕ упорядочить множества, принадлежащие к м)ч !8) Мы говорим, что упорядоченное множество Е есть множество без дмр, если оно содержит два различных сравнимых элемента и если для всякой пары таких элементов х, у из Е, что х < у, существует такое «Е Е, что х < «< у.
Показать, что, для того чтобы ординальная сумма ~Ч~ Е, (упраж'е! кение 3) была множеством без дыр, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1' либо 1 содержит два различных сРавнимых элемента, либо сУществьтет такое !6 1, что Е, содеРжит два различных сравнимых элемента; 2 каждое Е„содержащее не менее двух элементов, есть множество без дыр; 3' если а, 8 — два такик элемента нз 1, что а < 3, н если не существует ни одного такого элемента А 61, что а < 1 < 8, то либо Еа не имеет максимальных элементов, либо Ез не имеет минимальных элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
