Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (947355), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Например, если множество Е упорядочено соотношением равенства, то тождественное отображение множества Е на себя является одновременно возрастающим и убывающим, ио не постоянным, если только Е содержит не менее двух элементов (ср. упр. 7). Определение 2. Пусть Е и Р— дза упорядоченных множества; мы говорим, что отображение 7 иэ Е з Р леляется строго возрастающим, если соотношение х ( у влечет 7(х) ( < Г'(у); отображение 7" является строго убывающим, если соотношение х(у влечет у'(х) Ру(у). Отображение множества Е з множество Р называется строго монотонным, если оио строго возрастающее или строго убывающее.

Примеры. 1) Пусть Š— множество; отображение Х ьŠ— Х множества Чр(Е) (упорядоченного включением) на себя является строго убывающим. 2) Пусть Š— унорядоченное множество. Для всякого х б Е пусть ()„, есть множество таких уб Е, что у > х. Отображение х-! ()„является строго убывзющим отображением множества Е в множество чр(Е) (упорядоченное включением); можно даже заметить, что соотношение х < у эквивалентно Б„~ 1) .

Монотонное и взаимно однозначное отображение множества Е в Р строго монотонно; обратное, вообще говоря, неверно, ибо соотношение 7(х) =7 (у) может быть верным и тогда, когда ни одно из соотношений х ( у, х) у ие верно (ср. и' 14, предложение 13). Для того чтобы вазимио однозначное отображение У упорядоченного множества Е на упорядоченное множество Е' было изоморфизыом множества Е иа Е' (и' 3), необходимо и достаточно, чтобы у и обратное отображение к нему были возрастающими.

Когда ! есть упорядоченное множество индексов, говорят, что семейство частей (Х),ч! множества Е является возрастающим. если ! — ьХ, есть возрастающее отображение из ! в эйэ(Е), где эйр(Е) унорядочеио включением (иными словами, если ! (к влечет Х,~Х„). Аизлогичио определяются убывающее, строго возрастающее и строго убывающее семейство частей (Х,) 6.

Максимальные и минимальньге элементы Опведелеиие 3. Пусть Š— упорлдоченкое множество. Злемент а ~Е называется минимальным (соответственно максимальным) элементом множества Е, если соотношение х (а (соответстк нио х)~а) влечет х= а. Вск!сэ;й минимальный элемент множества Е есть максимальный элемент для иротивоположного порядка, и обратно. Примеры. 1) Пусть А — множество; в части множества !(У (А) (упорядоченной включением), образуемой ненустыми частями от А, минимальными элементамн служат части множества, состоящие из одного злемента. 2) В множестве Ф (Е, Р) отображений частей множества Е в не- пустое множество Р, если Ф (Е, Р) упорядочено соотношением .и продолжает и" между и и Р, максимальными элементами служат отображения всего множества Е в Р.

3) 'В множестве натуральных чисел > 1, упорядоченном соотношением „т есть делитель для и" между и и и, минимальными элементами служат простые числа., 4) 'Множество действительных чисел не обладает ни максимальными, ни минимальными элементами., 7. Наиболыиий элемент; наименыиий элемент Если в упорядоченном множестве Е существует такой элемент а, что а ( х для всякого х ~ Е, то а есть единственный элемент из Е, обладающий этим свойством; действительно, если еще и Ь (х для всякого х~Е, то отсюда следует, что а <Ь и Ь (а, а поэтому а=А.

Определение 4. Пусть Š— упорлдочеиное множество. Мы говорим, что элемент а ~Е есть наименьший (соответственно наибольший) элемент множества Е, если длл всякого х П Е справедливо а ( х (соответственно х ( а). Упорядоченное множество не обязательно содержит наибольший и наименьший элементы; если Е имеет наименьший элемент а, то а есть наибольший элемент для противоположного порядка.

Если Е имеет наименьший элемент а, то а есть единственный минимальный элемент множества Е; действительно, а < х для всякого х, отличного от а. Примеры. 1) Пусть Э — непустая часть множества Чг(Е) частей какого-нибудь множества Е. Если ЭВ имеет наименьший (соответственно наибольший) элемент А для соотношения включения, то А есть ие что иное, как пересечение (соответственно объединение) множеств из т.

Обрзтно, если пересечение (соответственно объединение) множеств из !В принадлежит к Ф, то оно является наименьшим (соответственно наибольшим) элементом в Ж. 2) В частности, О есть наименьший и Š— наибольший элемент в чэ (Е). В множестве Ф (Е, Р) отображений частей множества Е в множество Р, где Ф(Е, Р) упорядочено продолжением (и' 1, пример 3), пустое отображение есть наименьший элемент, а наибольшего элемента не существует, если только Р не состоит из единственного элемента. Наконец, диагональ Ь в Е )( Е есть наименьший эгеиент в множестве графиков эквивалентностей на Е (или иредиорядков нз Е).

Предложение 2. Пусть Š— упорядоченное множество, Е'— сумма множества Е и множества [а), состоящего из единственного элемента; иа Е' существует и единстзен порядок, индудирующий на Е заданный порядок и обладающий тем 10 Н. Бурбаки ГЛ. |||. УПОРЯДОЧЗННЪ|В МНОЖЕСТВА 146 Э $ Ь СООТНОШЕНИЯ ПОРЯДХА. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 147 свойством, что ари ием а есть наибольший элемент множества Е', В самом деле, если Π— график порядка на Е, то график, отвечающий на наш вопрос, должен быть объединением О' графика С и множества пар (х, а), где хцЕ', обратно, непосредственно очевидно, чго О' есть график порядка на Е', отвечающего поставленным условиям.

Мы говорим, что упорядоченное множество Е' получается присоединением к Е наибольшего элемеитиа а (ср. упражнение 3). Мы говорим, что часть А упорядоченного множества Е конфинальна (соответственно коикипиальна) множеству Е, если для всякого хцЕ существует такое у~А, что х (у (соответственно у (х). Сказать, что упорядоченное множество имеет наибольший (соответственно наименьший) элемент, значит сказать, что в Е существует ьонфинальная (соответственно коинициальная) часть, состоюцая из единСтвзнного элемента. 8. Мажаранты; маноранты Опгвдилвнип 5.

Пусть Š— упорядоченное множество и Х вЂ” часть множества Е. Л(ииорактой (соответственно мажорантой) [или нижним (соответственно верхним) ограничителем[ множества Х называется любой такой элемент х~Е, что для всякого у~Х справедливо х (у (соответственно х)~у); мы говорим тогда, что х минорирует (соответственно мажорирует) Х. Всякая мажоранта множества Х есть миноранта множества Х при противоположном порядке, и обратно. Если х минорирует Х, то всякий элемент г (х тоже минорирует Х, Миноранта множества Х есть также миноранта всякой части множества Х. Для того чтобы Х имело наименьший элемент, необходимо и достаточно, чтобы существовала миноранта множества Х, принадлежащая к Х.

Множество минорант части Х множества Е может быть пустым: например, когда Х=Е и Е не имеет наименьшего элемента. Часть Х от Е с непустым множеством минорант (соответственно мажорант) называется минорирозаниой (соответственно мажорирозанкой) или ограниченной снизу (соответственно сверху); часть, ограниченная и снизу, и сверху, называется ограниченной.

Если Х ограничено снизу (соответственно ограничено сверху, ограничено), то и всякая часть от Х ограничена снизу (соответственно ограничена сверху, ограничена). Всякая часть, состоящая из единственного элемента, ограничена. Однако двухэлементная часть уже не обязательно ограничена снизу нлн сверху (п' 10), Пусть Š— упорядоченное множество, а г — отображение произвольного множества А в множество Е. Допуская вольность речи, мы говорим, что отображение у ограничено снизу (соответственно нажорировано, ограничено), если множество у(А) мажорировано (соответственно минорировано, ограничено). В, Верхняя грань; нижняя грань Опгздвлзнив 6.

Пусть Š— упорядоченное множество, Х вЂ” часть множества Е. )Иы говорим, что элемент из Е есть нижняя (соответственно верхняя) грань множества Х з множестве Е, если этот элемент есть наибольший (соответственно наименьший) элемент множества мииораит (соответственно мажорант) части Х множества Е. Пусть дана часть Х упорядоченного множества Е; символом зпр Х (соответственно !и!в Х) или, если можно не опасаться путаницы, символом зпр Х (соответственно !и! Х) обозначается верхняя (соответственно нижняя) грань множества Х в Е, когда она существует. Верхняя (соответственно нижняя) грань двухэлементного множества [х, у[ обозначается (когда она существует) слмволом зпр(х, у) [соответственно !п((х, у)[; аналогичные обозначения вводятся для верхней и нижней граней трехэлементного множества и т. д.

Если часть Х множества Е имеет наибольший элемент а. то а есть верхняя грань множества Х в множестве Е. Если Х имеет нижнюю грань а в Е, то а есть верхняя грань для Х при противоположном порядке на Е; это нам позволит в дальнейшем большей частью рассматривать лишь верхние грани. Примеры. !) Множество нажорант пустой части И упорядоченного множества Е есть, очевидно, само множество Е; для того чтобы И обладало в Е верхней гранью, необходимо н достаточно, чтобы Е имело наименьший элемент, которыи тогда буде~ верхней гранью для И.

2) В множестве ф (Е) частей множества Е, если 41(Е) упорядочено включением, всякая часть ® множества й) (Е) имеет верхнюю грань, которой служит обьедииекие множеств нз ®, и нижнюю грань, которой служит пересечение множеств нз !Ю. 3) Пусть Е н Р— два множества, а  — часть множества Ф(Е, Р) отображений частей множества Е в множество Р, упорядоченного продолжением (п' 1, пример 3). !(Ая всякого из Ф(Е, Р) пусть 0 (и) есть область определения этого и.

Характеристики

Список файлов книги